Courir avec un verre d’eau sans faire de dégâts

Par Samuel Côté

Avez-vous déjà été pressés d’accomplir une tâche, mais obligés de prendre votre temps pour ne pas la bâcler ? C’est le défi qu’affronte aussi le recuit quantique contre-diabatique, une méthode qui vise à résoudre des problèmes d’optimisation rapidement, sans compromettre la qualité des résultats. 

Les problèmes d’optimisation, c’est-à-dire où il faut trouver la meilleure solution parmi de nombreuses possibilités, peuvent être difficiles à résoudre. Pensez par exemple à un facteur qui cherche le chemin le plus efficace pour passer par toutes les maisons où il doit livrer des lettres. Certains problèmes de ce type, comme l’exercice de MaxCut, peuvent être représentés par des systèmes quantiques. Par là, on entend qu’il existe un système quantique dont l’état qui minimise son énergie correspond à une solution optimale au problème d’optimisation. 

Pour mieux comprendre cela, imaginez que vous ayez deux aimants qui se repoussent. Vous considérez deux états distincts, à savoir des aimants qui peuvent être près ou éloignés l’un de l’autre. Lorsque les aimants sont proches, le système a beaucoup d’énergie, car si on lâche les aimants, ils vont être projetés vers l’extérieur. À l’inverse, si les aimants sont déjà éloignés, le système a peu d’énergie. De manière analogue, il est possible de placer des électrons dans une configuration particulière de sorte que les états des électrons nous donnent des informations sur un problème d’optimisation. L’état combiné de tous ces électrons qui possède l’énergie la plus basse est la solution optimale. 

Dans de rares cas, l’état d’énergie minimale (aussi appelé état fondamental) d’un système quantique est facile à calculer, mais généralement, c’est difficile. Alors, même si on a représenté un problème par un système quantique, rien ne garantit que l’on puisse trouver sa solution optimale. 

Heureusement, il existe une astuce : le théorème adiabatique affirme que si l’on trouve l’état fondamental d’un système simple à résoudre, et que l’on fait lentement évoluer ce système vers celui du problème d’intérêt, le système en changement devrait rester dans son état fondamental tout au long du processus. Il devrait donc finir dans l’état cherché, qui représente la solution optimale du problème à résoudre. On appelle cette technique le recuit quantique, en référence au procédé de recuit en métallurgie, où on chauffe un métal à haute température avant de le refroidir très lentement. Malheureusement, le théorème adiabatique demande idéalement un temps infini, et l’infini, c’est long longtemps! 

Simple comme crier verre d’eau ! 

Imaginez la scène suivante. Trois collègues, Alice, Bob et Charlie, veulent transporter sur un plateau un verre rempli d’eau d’un côté à l’autre d’une pièce. Alice veut le faire rapidement et part en courant, versant toute l’eau sur elle. Bob est plus précautionneux et prend son temps, s’assurant de ne verser aucune goutte. Il réussit à ne pas perdre d’eau, mais il n’atteint jamais l’autre côté de la pièce. Charlie essaie une autre tactique. Elle se dit que si elle accélère, le verre et l’eau seront poussés vers l’arrière par rapport à elle. Pour compenser, elle décide d’incliner légèrement le plateau, pour que l’eau reste dans le verre. Cette manœuvre lui permet d’atteindre le fond de la pièce dans un temps raisonnable, en ne perdant pas trop d’eau. 

Figure 1. Comparaison des stratégies des collègues. 

Cette situation est très similaire au recuit quantique. Alice s’est mouillée, car elle n’a pas respecté la longue durée du théorème adiabatique. Bob l’a respectée, mais cela lui a pris trop de temps. La stratégie de Charlie offre un compromis qui peut être exploité dans le cadre du recuit quantique. 

Mathématiquement, la transformation rapide d’un système ajoute une contribution indésirable, dite diabatique, sur l’état quantique. On peut ajouter un terme contre-diabatique, qui est l’inverse de cet élément parasite, pour l’annuler et faire comme s’il n’avait jamais été là. Pour Charlie, incliner le plateau est équivalent à un terme contre-diabatique. 

C’est semblable aux écouteurs anti-bruit. Les sons extérieurs sont des ondes sonores parasites que l’on souhaite éliminer. Les écouteurs produisent donc des ondes qui sont leurs inverses afin d’annuler les bruits ambiants. 

Savoir mettre de l’eau dans son vin 

La théorie est belle, mais il y a encore de nombreux défis pour résoudre ce genre de problèmes sur un ordinateur quantique. Entre autres, il faut faire face à l’erreur de Trotter, qui est une conséquence nécessaire des approximations qui sont faites pour travailler sur un tel ordinateur.  

Fait amusant : il arrive parfois qu’une approximation grossière de l’erreur de Trotter peut être associée à une approximation grossière d’un terme contre-diabatique. En d’autres mots, dans certains cas, l’erreur de Trotter aide à contenir l’état fondamental ! Malheureusement, comme il ne s’agit que d’une approximation du terme contre-diabatique, il reste des erreurs, et beaucoup de travail pour traduire parfaitement l’évolution contre-diabatique sur un ordinateur quantique. 

Les physiciens n’ont donc pas fini de peaufiner leurs courses avec verre d’eau !