Aller au contenu

Chaire de recherche du Canada sur la topologie en basses dimensions

Liam Watson cherche à découvrir un mystère mathématique

Professeur Liam WatsonTitulaire de la Chaire de recherche du Canada sur la topologie en basses dimensions
Professeur Liam Watson
Titulaire de la Chaire de recherche du Canada sur la topologie en basses dimensions
Photo : Michel Caron, UdeS

Le mathématicien Liam Watson ne voit pas de différence entre une boule, un cube et un verre. Pour lui, ces objets se trouvent équivalents. C’est qu’il les observe du point de vue de la topologie, une science qui étudie les propriétés géométriques invariantes d'un objet étiré, tordu ou rétréci de façon continue. Ce domaine le passionne, car il lui permet de résoudre des problèmes mathématiques ouverts, mais aussi d’approfondir un mystère irrésolu.

La topologie à basse dimension utilise de manière essentielle des objets de dimensions 1 et 2 (comme les surfaces ou les points fixes d’une symétrie) pour étudier les espaces de dimension 3 et 4, soit les dimensions de notre univers (espace et espace-temps, respectivement). On y retrouve un échange riche entre la géométrie et l’algèbre. On y distingue en plus trois structures qui, à première vue, ne semblent pas reliées, mais le sont-elles?

Cette question, Liam Watson tentera de l’éclaircir au cœur de la Chaire de recherche du Canada sur la topologie en basses dimensions dont il est titulaire pour cinq ans grâce au prestigieux Programme des chaires de recherche du Canada.

Comprendre la richesse de l’espace où nous habitons

« Mon domaine de recherche est la topologie à faible dimension. Je m'intéresse aux homologies de Khovanov et de Heegaard Floer. Mon travail est guidé par les liens entre ces deux théories. Jusqu'à présent, elles suivent deux lignes distinctes, mais en fait assez interconnectées », soulève le professeur du Département de mathématiques de la Faculté des sciences.

Selon la topologie, des objets à première vue différents, comme une boule, un cube et un verre, se montrent équivalents, à condition que l'un puisse devenir l'autre en se déformant par étirement, plissement et compression, sans bris. Un peu comme le procédé vidéo, appelé morphing, qui fait passer d’un objet à un autre par déformation progressive. Les topologues ignorent les angles et la forme exacte des objets.

La topologie classe les objets et donne un sens aux notions intuitives de voisinage, continuité, limite. Par exemple, dans le cas d’un objet de dimension 3, nous le décomposerons, le long des surfaces, en petits morceaux plus simples et facile à étudier pour en découvrir les propriétés.

Un mystère à résoudre

Le noeud en 8 — que connaissent les adeptes de l'escalade! — donne lieu à un espace de dimension trois dont le bord est un tore (un beigne) et ces courbes nous donnent les invariants de l'homologie de Heegard Floer qui sont associés à cet espace.
Le noeud en 8 — que connaissent les adeptes de l'escalade! — donne lieu à un espace de dimension trois dont le bord est un tore (un beigne) et ces courbes nous donnent les invariants de l'homologie de Heegard Floer qui sont associés à cet espace.

Photo : Image fournie par Pr Liam Watson

Les travaux de Liam Watson l’amènent ainsi à se pencher sur un mystère à propos de trois structures en basse dimension qui, à première vue, ne semblent pas reliées : les feuilletages, les groupes ordonnables à gauche et l’homologie de Floer.

Tout d’abord, les feuilletages représentent une structure géométrique décomposant l’espace en surfaces (appelées les feuilles du feuilletage), ce qui en fait un outil précieux. Ensuite, les groupes ordonnables à gauche constituent une structure algébrique additionnelle sur le groupe fondamental d’un espace de dimension 3 (aussi appelé 3-variété); il s’agit d’un objet algébrique clé, encodant de l’information géométrique à propos de la dimension 3. Finalement, la troisième structure vient de la physique et offre un nouvel outil pour l’exploration de la dimension 3.

« Il semble possible qu’il y ait équivalence entre ces trois structures, et mon défi est de l’expliquer. C’est un défi passionnant, puisqu’il ouvre la porte à des connexions et des dialogues entre différentes communautés de recherche », conclut le chercheur.

Lorsque des avancées surviennent dans un domaine, de nouvelles questions surgissent dans un autre. Et, en dégageant le potentiel pour ces connexions inédites, on ouvre la porte à d’étonnants progrès en mathématiques.


Informations complémentaires