Présentation de mémoire : Étude de l'opérateur de Hill et des courbes de Hill

Description :

Candidat : Cédrick Couture

Résumé : Ce mémoire porte sur l’étude du lien entre l’opérateur de Hill et un certain type de surface de Riemann compacte appelé courbe de Hill. Ce mémoire se divise en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on introduit les notions fondamentales nécessaires à cette étude, notamment les surfaces de Riemann compactes. On étudie ensuite les applications holomorphes dans le but de définir la notion de revêtement ramifié. On y présente ensuite les notions d’homotopie et d’homologie sur une surface de Riemann compacte pour arriver à construire le polygone fondamental sur une surface de Riemann. Par la suite, on aborde les différentielles abéliennes sur les surfaces de Riemann. Ce chapitre se termine avec l’étude des courbes algébriques et projectives dans le but de pouvoir construire des surfaces de Riemann compactes. Le deuxième chapitre est dédié aux courbes hyperelliptiques et à la définition des courbes de Hill. Après avoir décrit la construction et la compactification des courbes hyperelliptiques, on introduit les cartes locales et les différentielles holomorphes qui leur sont associées. Les courbes de Hill sont ensuite définies et étudiées, et l’équivalence entre deux descriptions de ces courbes est mise en évidence. Le troisième chapitre introduit l’opérateur de Hill. On étudie ses valeurs propres en introduisant le spectre de Bloch. Plusieurs propriétés des valeurs propres sont ensuite présentées jusqu’à l’obtention d’une fonction particulièrement intéressante. On étudie ensuite un cas particulier de l’opérateur de Hill qui nous permet de construire une courbe hyperelliptique où la fonction introduite précédemment est bien définie. Enfin, le quatrième chapitre établit le lien entre l’opérateur de Hill et les courbes de Hill. On y montre que la courbe hyperelliptique construite au Chapitre 3 est en fait une courbe de Hill. Pour ce faire, on étudie le comportement de la fonction construite au Chapitre 3 dans sa partie affine et dans un voisinage de l’infini.

Membres du jury : 

• Directrice : Vasilisa Shramchenko
• Codirectrice : Emily Cliff
• Évaluateur interne : Alex Weekes
• Président-rapporteur : Maxence Mayrand