Horaire

L'horaire complet de l'école d'été peut être téléchargé dans un document en format PDF (contenu en anglais): Horaire des cours

Description des cours

1.   Catégories amassées   (Charles Paquette)

Les catégories amassées ont été introduites en 2004 par Buan, Marsh, Reineke, Reiten et Todorov et, indépendamment, par Caldero, Chapoton et Shiffler dans le cas A_n. Ce sont des catégories triangulées construites à partir de carquois acycliques (un carquois est un graphe orienté).  Non seulement ces catégories procurent un environnement dans lequel nous pouvons étudier une grande classe d’algèbres amassées telles qu'introduites par Fomin et Zelevinsky en 2001, mais elles apportent un nouveau cadre qui permet de généraliser la théorie de l’inclinaison, qui est un sujet important en théorie des représentations. Depuis leur introduction, les catégories amassées ont été généralisées de plusieurs façons, incluant dans le cadre des carquois avec potentiels (les carquois ne sont alors plus requis être acycliques) par Amiot.

Ce cours donnera une introduction aux catégories amassées. Nous regarderons en détails la construction classique pour les carquois acycliques. Après avoir défini la notion d’objet incliné amassé et la notion de mutation, nous discuterons du lien qui existe entre les catégories amassées et les algèbres amassés. Si le temps le permet, je donnerai quelques indications sur la construction d’Amiot.

Contenu : Catégories triangulées, algèbres amassées, algèbres inclinées amassées.

Durée : 6 h

Professeur : Charles Paquette, Université de Connecticut

2.   Champs vectoriels combinatoires  (Tomasz Kaczynski)

Contenu :
1. Introduction. Complexe simplicial. Homologie.
2. Champ vectoriel combinatoire et V-paths au sens de Forman.
3. Extension de V-paths en vue d'analyse de la dynamique asymptotique.
4. Ensembles invariants isolés et décomposition de Morse.

Durée : 3 h

Professeur : Tomasz Kaczynski, Université de Sherbrooke

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BIBLIOGRAPHIE

T. Kaczynski, M. Mrozek et K. Mischaikow, Computational Homology, Appl. Math. Sci. Vol. 157, Springer, NY 2004; section 11.1.
R. Forman, Combinatorial vector fields and dynamical systems, Mathematische Zeitschrift 1998.
T. Kaczynski, M. Mrozek, and T. Wanner, Towards a formal tie between combinatorial and classical vector field dynamics, J. Comput. Dynamics, 3 (1), (2016), 17-50.

3.   Conditions de stabilité  (Thomas Brüstle)

La stabilité, en tant que propriété d'objets géométriques, a été introduite par Mumford vers 1960. Elle a été inventée comme un outil pour la construction d'espaces modulaires, par exemple de courbes et de fibrés vectoriels. Depuis leur introduction en géométrie, de telles idées ont trouvé de la traction dans de nombreux contextes. Par exemple, dans la théorie des représentations des carquois, elles se produisent dans la théorie semi-invariante après leur introduction dans les articles  de Schofield et King en 1990. La  théorie des semi-invariants des représentations est également réapparue en physique mathématique, par exemple dans l'étude de Kontsevich et Soibelman sur le «wall crossing» et les invariants de Donaldson-Thomas en systèmes intégrables et symétrie miroir en 2014.

Ce cours donnera une introduction pédagogique à divers aspects des conditions de stabilité pour carquois.

Contenu : Représentation de carquois, semi-invariants, charge centrale et conditions de stabilité.

Durée : 6 h

Professeur : Thomas Brüstle, Université de Sherbrooke et Université Bishop's

4.   Courbes algébriques   (Vasilisa Shramchenko)

Une courbe algébrique est un ensemble des zéros d'un polynôme en deux variables. Étant un objet fréquent d'étude en géométrie algébrique, les courbes algébriques sont omniprésentes en science moderne avec des applications allant de la théorie des nombres jusqu'à la physique moderne et la théorie des cordes. Ce cours donnera une introduction à la théorie des courbes algébriques avec l'accent sur la détermination de la topologie de la courbe en utilisant le polynôme qui la définit.

Contenu : Points singuliers d'une courbe algébrique, théorème de Bézout, la formule de degré-genre.

Durée : 6 h

Professeure : Vasilisa Shramchenko, Université de Sherbrooke

5.   Modèles de matrices aléatoires   (Patrick Labelle)

La théorie quantique des champs est un outil essentiel en physique théorique qui est aussi devenue d'importance centrale  en mathématiques pures, particulièrement en géométrie différentielle et en topologie algébrique. Cette présentation se concentrera sur quelques applications des modèles de matrices aléatoires, le plus simple type de théorie quantique des champs. Nous verrons comment ils peuvent être utilisés pour énumérer certains types de graphes et comment un modèle particulier a joué un rôle clé dans la preuve de Kontsevich d'une célèbre conjecture de Witten concernant certains espaces de modules de courbes et leur relation avec la gravité quantique.

Contenu : Modèles de matrices aléatoires, application à l'énumération de graphs, à la gravité quantique et à des invariants topologiques. 

Durée : 6 h

Professeur : Patrick Labelle, Université de Sherbrooke et Université Bishop's

6.   Structures géométriques   (Virginie Charette et Son Lam Ho)

Une (G,X)-structure sur une variété M veut dire qu’elle ressemble « localement » à X, avec une géométrie préservée par G.  Les exemples incluent les variétés euclidiennes, les surfaces projectives, les variétés hyperboliques, etc.

Notre cours offrira une brève introduction aux (G,X)-structures et nous passerons rapidement à des exemples concrets. Nous discuterons du fait que l’ensemble des (G,X)-structures sur M et souvent lui aussi un espace muni d’une structure géométrique riche.

Contenu :
1. Exemple de base : les structures euclidiennes sur un tore.
2. Théorie : application développante et holonomie d’une (G,X)-structure.
3. Surfaces hyperboliques et espace de Fricke.
4. Structures projectives sur une surface.
5. CP^1 structures.​

Durée : 9 h

Professeurs : Virginie Charette et Son Lam Ho, Université de Sherbrooke

Note : Pour chacun des cours, des exercices obligatoires seront corrigés à la fin de l'École d'été.