Université de Sherbrooke 29 septembre 2010

Éléments de déformations algébriques

Grégoire Dupont

Rapport rédigé d’après les notes d’exposés de Juan Carlos Bustamante, Grégoire Dupont et Ndoune Ndoune au Groupe de Travail Déformations ayant eu lieu entre février et juin 2010 à l’Université de Sherbrooke.

Avant-propos

Ce survol reprend les notes d’un groupe de travail organisé au Département de Mathématiques de l’université de Sherbrooke de février à juin 2010. Ce groupe de travail s’adressait à un public d’algébristes à la fois constitué d’étudiants et de chercheurs dont aucun ne connaissait a priori le domaine. Le groupe de travail s’est donc déroulé dans un esprit aussi élémentaire que possible, esprit que j’ai cherché à conserver dans ces notes qui ne nécessitent que très peu de prérequis et devraient être accessibles aux étudiants de premier cycle ou des cycles supérieurs. L’ensemble des notes manuscrites du groupe de

travail se trouve en ligne : http://pages.usherbrooke.ca/gdupont2/deformations.

Outre ce qui est traité dans le présent survol, ces notes manuscrites contiennent une série d’exposés additionnels de Patrick Le Meur dédiée au théorème d’Hochschild-Kostant-Rosenberg. Bien que fondamental, ce sujet ne m’a pas semblé incontournable pour une introduction élémentaire à la théorie des déformations et il a donc volontairement été omis dans ce survol. J’invite le lecteur désireux d’en savoir plus sur ce théorème à consulter ces notes manuscrites ou l’article des trois auteurs éponymes [HKR62].

Le but de ce survol étant de surtout de donner une bonne intuition des idées fondatrices de ce domaine, beaucoup de preuves sont omises ou simplement ébauchées. Cependant, on trouvera un certain nombre de références au fil de l’article, permettant au lecteur curieux de développer sa lecture plus avant.

Je tiens à remercier tous les participants de l’équipe d’algèbre et de géométrie de l’Université de Sherbrooke qui ont rendu ce groupe de travail possible. Je remercie particulièrement Juan Carlos Bustamante, Patrick Le Meur et Ndoune Ndoune pour le temps qu’ils ont accordé à la préparation de leurs exposés à ce groupe de travail. Je remercie aussi Ibrahim Assem pour m’avoir incité à rédiger ce survol. Enfin, je remercie Claude Roger pour ses conseils bibliographiques éclairés.

Sherbrooke, Août 2010.

Table des matières

1 Déformations d’algèbres 7

1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Equivalences de déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Prolongements, restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Déformations et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Le complexe de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Infinitésimaux et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Obstructions et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Structure d’algèbre de Lie différentielle graduée et cohomologie de Hochschild 16 1.3.1 Le crochet de Gerstenhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 L’algèbre de Gerstenhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Associativité et équation de Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Rigidités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Quelques rappels de géométrie algébrique affine . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 La variété affine des algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Rigidité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.4 Comparaison des notions de rigidités . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Déformations de modules 24

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Déformations de modules et déformations d’algèbres . . . . . . . . 25 2.1.4 Equivalences de déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.5 Prolongements, restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Déformations et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Le complexe de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Infinitésimaux et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Obstructions et cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Structure d’algèbre de Lie différentielle graduée et cohomologie de Hochschild 30 2.3.1 La structure d’algèbre de Lie différentielle graduée . . . . . . . . . 31 2.3.2 L’équation de Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Rigidités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Rigidité infinitésimale et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Rigidité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A Structures graduées 35 A.1 Modules gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A.2 Algèbres graduées et différentielles graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 A.3 Algèbres de Lie graduées et différentielles graduées . . . . . . . . . . . . . 36 A.4 L’équation de Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Introduction

En 1964, Gerstenhaber définit un cadre théorique pour la déformation des structures algébriques [Ger64]. Cette définition peut être vue comme le versant algébrique des déformations analytiques introduites par Frölicher, Kodaira, Nijenhuis et Spencer à la fin des années 1950 [KS58]. Selon Gerstenhaber, l’idée générale d’une théorie de déformation, qu’elle soit analytique ou algébrique, consiste à définir une classe d’objets que l’on peut « déformer de manière lisse » et dont les déformations infinitésimales doivent pouvoir être naturellement interprétées en termes cohomologiques.

Au-delà de son intérêt propre, la théorie algébrique des déformations a su trouver de nombreuses applications en mathématiques. L’un des points culminants en est probablement le théorème de quantification par déformation des variétés de Poisson dû à Kontsevich. La quantification des variétés de Poisson était un objectif majeur de la physique mathématique où les variétés de Poisson jouent le rôle de systèmes mécaniques classiques alors que leurs quantifications jouent le rôle de systèmes mécaniques quantiques. De nombreux travaux se sont concentrés sur des possibilités de quantifications de telles variétés et l’idée d’utiliser la théorie des déformations algébriques, appelée quantification par déformation, revient à Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz et Sternheimer en 1978 [BFF^{+}78]. Il faudra cependant attendre 2003 pour que Kontsevich parvienne à démontrer que toute variété de Poisson admet une quantification par déformation, ce qui lui vaudra la médaille Fields [Kon03].

Dans ce survol, nous nous concentrerons sur les fondements de la théorie algébrique des déformations. Nous n’aborderons ni les implications physiques, ni la quantification des variétés de Poisson. Pour plus de détails sur ce sujet, nous renvoyons par exemple le lecteur à l’introduction de la thèse de Butin [But09], aux notes d’exposés de Markl [DMZ07] ou au survol de Keller sur le théorème de quantification par déformation de Kontsevich [Kel03].

La déformation des algèbres associatives fait maintenant partie du paysage classique de l’algèbre. On peut cependant raisonnablement imaginer déformer toutes les structures algébriques en suivant les idées de Gerstenhaber, comme par exemples les modules [Yau05] ou les algèbres de Lie [NR66]. Dans ce survol, nous avons arbitrairement décidé de nous restreindre aux déformations des algèbres associatives et aux déformations de modules. Le premier chapitre présente ainsi la théorie classique de déformations des algèbres associatives. Le second chapitre présente la théorie analogue de la déformation des modules sur une algèbre associative.

Pour faciliter la lecture et la comparaison des deux théories, le plan des deux chapitres est volontairement similaire. Dans chacun des chapitres, la première section se consacre aux définitions élémentaires relatives aux déformations des structures considérées. Conformément aux idées de Gerstenhaber, nous introduisons dans la deuxième section des complexes, appelés complexes de Hochschild, dont la cohomologie encode des informations relatives aux déformations. La troisième partie montre que ce complexe peut être étudié à travers la structure d’algèbre de Lie différentielle graduée dont il est muni. Et la quatrième section présente des résultats complémentaires concernant les interprétations géométriques de la théorie algébrique des déformations.

Enfin, en annexe du présent survol, nous rappelons les définitions des structures graduées et différentielles graduées dont il sera question au long de notre étude.

Chapitre 1

Déformations d’algèbres

Dans ce premier chapitre, nous étudions les propriétés élémentaires et fondamentales des déformations des algèbres au sens de Gerstenhaber. Nous survolerons les résultats classiques mettant notamment en interaction la cohomologie de Hochschild d’une algèbre et ses déformations ainsi que les interprétations géométriques de ces déformations.

La référence principalement utilisée pour ce chapitre est le survol de Fox [Fox93] qui reprend de manière élémentaire et concise les principaux résultats de l’article original de Gerstenhaber [Ger64]. Notre exposition adopte aussi en grande partie le vocabulaire et la présentation modernisés du survol de Keller sur le théorème de quantification par déformation de Kontsevich [Kel03] ainsi que des notes d’exposés de Geiss pour l’école d’hiver sur la théorie des représentations à l’ICTP en 2006 [Gei06].

1.1 Généralités

Dans toutes les notes, sauf mention du contraire, k désignera un anneau commutatif arbitraire. Le symbole ⊗ sans mention de l’anneau de base, désignera toujours le produit tensoriel au-dessus de l’anneau k. Pour tout ensemble X on notera 𝟙_{X} : X⟶ X l’application identité.

1.1.1 Rappels

Nous supposons que le lecteur est familier avec les notions élémentaires d’algèbres et de modules. Cependant, pour bien définir la notion de déformation d’une algèbre, il est nécessaire de préciser la terminologie et les conventions que nous utiliserons.

Soit V un k-module. Une application α ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) est dite associative si

α(α ⊗ 𝟙_{V}) = α(𝟙_{V} ⊗ α),

autrement dit, si le diagramme suivant commute

\xymatrix{V ⊗ V ⊗ V \ar[d]_{𝟙_{V} ⊗α} \ar[r]^{α⊗𝟙_{V}} & V ⊗ V \ar[d]^{α} \\ V ⊗ V \ar[r]_{α} & V.}

Une k-algèbre (unitaire) est la donnée d’une paire A = (V, α) où V est un k-module et α ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) est associative et telle qu’il existe un élément unité 1_{α} ∈ V, c’est à dire un élément tel que

α(1_{α} ⊗ 𝟙_{V}) = 𝟙_{V} .

L’application α est appelée la multiplication de A et le k-module V est appelé l’espace sous-jacent à A.

S’il n’y a pas de confusions possibles, on utilisera aussi la lettre A pour désigner l’espace sous-jacent V. Cependant, puisque nous allons travailler avec plusieurs multiplications différentes sur de mêmes espaces sous-jacents, nous ferons autant que possible la distinction entre une algèbre et son espace sous-jacent.

1.1.2 Définitions

Intuitivement, la déformation d’une algèbre A peut-être vue comme une famille {A_{t}}_{t} d’algèbres qui varie polynomialement en fonction d’un paramètre t et qui spécialise à A en t = 0. Il convient cependant de donner un sens précis à ce que l’on entend par « varier polynomialement ». Pour cela, nous allons introduire la notion de R-déformation d’une algèbre A = (V, α) par n’importe quelle algèbre de test R. Comme nous allons le voir, le procédé de déformation vise à modifier la multiplication α et non pas l’espace sous-jacent V.

On se fixe dorénavant une k-algèbre de test (R, 𝔪, η), c’est à dire, une k-algèbre (unitaire) commutative locale R d’idéal maximal 𝔪 telle que R/𝔪 ≃ k et où la projection η : R⟶ R/𝔪 ≃ k est appelée co-unité.

En pratique, nous nous intéresserons principalement aux algèbres de test suivantes :

– la k-algèbre k⟦t⟧ des séries formelles en une indéterminée sur k ;

– la k-algèbre k[t] des polynômes en une indéterminée sur k ;

– la k-algèbre k[ϵ] = k[t]/(t^{2}) des nombres duaux (où ϵ désigne la classe de t).

Pour tout k-module V, on notera V_{R} = V ⊗ R.

Définition 1.1.1. Soit A = (V, α) une k-algèbre. Une R-déformation de A est la donnée d’un couple (V_{R}, α_{R}) où

α_{R} ∈ Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} V_{R}, V_{R})

réduit modulo 𝔪 à α, c’est à dire, est telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[r]^{α_{R}} \ar[d]_{(𝟙_{V} ⊗η)⊗_{R}(𝟙_{V} ⊗η)} & V_{R} \ar[d]^{𝟙_{V} ⊗η} \\ V ⊗ V \ar[r]_{α} & V.}

Si cela ne prête pas à confusion, l’application α_{R} elle-même sera appelée R-déformation de α. On notera que rien n’impose qu’une R-déformation d’algèbre associative reste associative, c’est à dire que le diagramme suivant commute

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[d]_{𝟙_{V_{R}} ⊗_{R}α_{R}} \ar[r]^{α_{R}⊗_{R}𝟙_{V_{R}}} & V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[d]^{α_{R}} \\ V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[r]_{α_{R}} & V_{R}.}

Si c’est le cas, α_{R} est appelée une R-déformation associative de A = (V, α).

Définition 1.1.2. Pour les algèbres de test classiques, nous avons la terminologie suivante :

– Si R = k⟦t⟧, une R-déformation de (V, α) est appelée une déformation formelle.

– Si R = k[t], une R-déformation de (V, α) est appelée une déformation polynomiale.

– Si R = k[ϵ], une R-déformation de (V, α) est appelée une déformation infinitésimale ou déformation au premier ordre.

Exemple 1.1.3. Considérons l’algèbre

A = ℝ[x, y]/(y^{2} − x^{3}).

Une base ℝ-linéaire de A est donnée par {x^{n}, yx^{n}}_{n≥0}.

Considérons ensuite l’algèbre

A_{t} = ℝ[x, y, t]/(y^{2} − x^{3} − x^{2}t).

Intuitivement, l’algèbre A_{t} peut être vue comme une déformation de l’algèbre A (on peut pour cela regarder les courbes planes dans ℝ^{2} obtenues en spécialisant t à différentes valeurs). Nous allons voir que A_{t} est bien une déformation polynomiale de A au sens où nous l’avons introduit.

Soit A[t] = A ⊗ k[t] et soit α_{t} ∈ Hom_{k[t]}(A[t], A[t]) définie par

α_{t} : \{ \begin{matrix}x^{m} ⊗ x^{n} & ↦ & x^{m+n} \\ y ⊗ y & ↦ & x^{3} + x^{2}t \\ y ⊗ x^{n} & ↦ & x^{n}y \\ x^{n} ⊗ y & ↦ & x^{n}y \\ yx^{n} ⊗ yx^{m} & ↦ & x^{m+n+3} + x^{m+n+2}t \end{matrix}

Si on réduit A[t] modulo l’idéal maximal (t) de k[t], on voit que l’on retrouve la structure d’algèbre sur A. Il s’ensuit donc que A[t] est bien une k[t]-déformation de A. Maintenant, on vérifie immédiatement que l’on a un isomorphisme de ℝ[t]-algèbres

\begin{matrix}(A[t], α_{t}) & ⟶ & A_{t} \\ x^{a}y^{b} & ↦ & x^{a}y^{b}. \end{matrix}

1.1.3 Equivalences de déformations

On se fixe toujours une k-algèbre (V, α) et une algèbre de test (R, 𝔪, η). On note E_{R}(V) l’ensemble des automorphismes du R-module V_{R} qui réduisent modulo 𝔪 à l’identité, c’est à dire l’ensemble des g ∈ Aut_{R}(V_{R}) tels que le diagramme suivant commute :

[figure: V_{R}; 𝟙_{V} ⊗η; g; V_{R}; 𝟙_{V} ⊗η; V; V.]

Il est alors clair que E_{R}(V) est un sous-groupe de Aut_{R}(V_{R}).

Le groupe Aut_{R}(V) agit sur Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} V_{R}, V_{R}) en posant pour tout g ∈ Aut_{R}(V) et tout α_{R} ∈ Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} V_{R}, V_{R}) :

α_{R}^{g} = g^{−1}α(g ⊗ g).

Ceci induit une action de E_{R}(V) sur les R-déformations de α et on vérifie facilement que cette action préserve les R-déformations associatives.

Définition 1.1.4. Deux R-déformations de (V, α) sont dites équivalentes si elles appartiennent à la même orbite sous l’action de E_{R}(V).

On remarquera que deux R-déformations α_{R} et α′_{R} sont équivalentes s’il existe g ∈ Aut_{R}(V_{R}) tel que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[r]^{α_{R}} \ar[d]_{g⊗_{R}g} & V_{R} \ar[d]^{g} \\ V_{R} ⊗_{R} V_{R} \ar[r]_{α′_{R}} & V_{R}}

autrement dit, si g induit un isomorphisme de R-algèbres (non nécessairement unitaires) entre (V_{R}, α_{R}) et (V_{R}, α′_{R}).

Définition 1.1.5. Une R-déformation de A = (V, α) est dite triviale si elle est équivalente à α où α a naturellement été identifié à l’élément α ⊗_{R} 𝟙_{R} de Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} V_{R}, V_{R}).

Remarque 1.1.6. Si k est un corps, on peut décomposer R comme k-espace vectoriel en

R = k𝟙_{R} ⊕ 𝔪.

En vertu de la R-linéarité, un élément g ∈ Hom_{R}(V_{R}, V_{R}) est déterminé par ses composantes k-linéaires. Autrement dit, en abusant les notations, on peut voir g comme un élément de Hom_{k}(V, V_{R}). Mais

V_{R} ≃ V ⊗ (k𝟙_{R} ⊕ 𝔪) ≃ V ⊕ V ⊗ 𝔪

Ainsi, g ∈ Hom(V, V ⊕ V ⊗ 𝔪) se décompose en g = [g_{0}, g_{𝔪}]^{t} où g_{0} ∈ End_{k}(V) et g_{𝔪} ∈ Hom_{k}(V, V ⊗ 𝔪). Et si g ∈ E_{R}(V), alors on a g_{0} = 𝟙_{V} et donc, toujours avec les abus de notations précédents, on a

E_{R}(V) = {𝟙_{V} + g_{𝔪} | g_{𝔪} ∈ Hom_{k}(V, V ⊗ 𝔪)}

Exemple 1.1.7. Si k est un corps, dans le cas des déformations infinitésimales, on a

E_{R}(V) = {𝟙_{V} + g_{1} ⊗ ϵ | g_{1} ∈ End_{k}(V)} .

En effet, on a 𝔪 = kϵ et donc g ↦ g ⊗ϵ induit un isomorphisme End_{k}(V) ≃ Hom_{k}(V, V ⊗ 𝔪). En abusant encore les notations, on note

E_{R}(V) = {𝟙_{V} + ϵg_{1} | g_{1} ∈ End_{k}(V)} .

1.1.4 Prolongements, restrictions

Nous nous intéressons maintenant aux questions de savoir si, étant donnée une déformation formelle associative d’une algèbre A, ses restrictions, qui sont des déformations polynomiales de A, sont aussi associatives. De manière duale, on va s’intéresser à la possibilité de prolonger une déformation polynomiale d’un degré donné en une déformation formelle. Les références pour cette section sont les premières sections de l’article de Gerstenhaber [Ger64, §1-2] et la deuxième section de l’article de Fox [Fox93, §2].

Déformations formelles vs déformations polynomiales

En identifiant canoniquement k[t] à un sous-anneau de k⟦t⟧, toute déformation polynomiale est aussi une déformation formelle. L’exemple suivant nous montre que toute déformation formelle n’induit cependant pas une déformation polynomiale.

Considérons l’algèbre A = k[x] des polynômes en une indéterminée munie de la multiplication habituelle, notée α. Soit R = k[t] et A[t] = A_{R} = A ⊗ k[t]. On abusera les notations en notant at^{i} les éléments de la forme a ⊗ t^{i}.

Considérons l’application

α′ = α_{0} + α_{1}t ∈ Hom_{k[t]}(A[t], A[t])

où α_{0} = α et α_{1}(x^{m} ⊗ x^{n}) = x^{m+n}. Alors α′ est une R-déformation de α mais elle n’est pas associative. On remarquera cependant qu’elle l’est modulo l’idéal (t^{2}).

On prolonge α′ en α′′ en posant

α′′ = α′ + α_{2}t

où α_{2}(x^{m} ⊗ x^{n}) = \frac{m^{2}n^{2}}{2} x^{m+n}. Alors α′′ est associative modulo (t^{3}) mais pas modulo (t^{4}). On pose donc pour tout n ≥ 1

α^{(n)} = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i}

où α_{i}(x^{m} ⊗ x_{n}) = \frac{m^{i}n^{i}}{i!} x^{m}x^{n}. On vérifie que α est associative modulo (t^{n+2}) mais pas modulo (t^{n+3}). Finalement, on pose

α^{•} = ∑_{k=0}^{∞} α_{i}t^{i} ∈ Hom_{k⟦t⟧}(A⟦t⟧, A⟦t⟧).

qui est une k⟦t⟧-déformation associative de A ne se restreignant jamais en une déformation polynomiale associative.

Infinitésimal

On considère l’anneau R = k⟦t⟧ des séries formelles en une indéterminée et on pose α_{R} = ∑_{i≥0} α_{i}t^{i} une R-déformation de α.

Définition 1.1.8. Si α_{R} ≠ α, l’infinitésimal de α_{R} est α_{i_{0}} ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) où

i_{0} = min {i > 0|α_{i} ≠ 0} .

Sinon, l’infinitésimal de α est nul par convention.

Obstruction

Soit R = k⟦t⟧ l’anneau des séries formelles en une indéterminée et soit α_{R} = ∑_{i≥0} α_{i}t^{i} une R-déformation de α.

Lemme 1.1.9. α_{R} est associative si et seulement si pour tout n ≥ 0, on a

∑_{i=0}^{n} α_{i}(α_{n−i} ⊗ 𝟙_{V}) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}(𝟙_{V} ⊗ α_{n−i}).

Démonstration. Laissée en exercice.

Définition 1.1.10. Soit n ≥ 1 et soient α_{0}, …, α_{n−1} ∈ Hom_{k}(V ⊗V, V) tels que α^{(n−1)} = ∑_{i=0}^{n−1} α_{i}t^{i} soit une k⟦t⟧-déformation associative de A. Alors le terme

∑_{i=1}^{n−1} α_{i}(α_{n−i} ⊗ 𝟙_{V}) − α_{i}(𝟙_{V} ⊗ α_{n−i})

s’appelle l’obstruction de α^{(i)}.

Remarque 1.1.11. L’emploi de ce mot provient du fait que l’obstruction est le terme qu’il faut contrôler pour pouvoir prolonger une déformation polynomiale en une déformation polynomiale de degré plus grand. En effet, d’après le lemme 1.1.9, si on on trouve un α_{n} ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) tel que α^{(n)} = α^{(n−1)} + α_{n}t^{n} est une déformation associative de α, alors nécessairement ∂α_{n} est égal à l’obstruction, où ∂ est l’opérateur bord qui sera défini dans la section 1.2.

1.2 Déformations et cohomologie de Hochschild

Dans cette section, nous verrons comment la cohomologie de Hochschild d’une algèbre encode des informations sur les déformations de celle-ci. Pour faciliter la tâche au lecteur non-familier avec l’algèbre homologique, nous travaillerons dans cette section avec une version élémentaire de la cohomologie de Hochschild. Pour une introduction détaillée à la cohomologie de Hochschild, nous renvoyons le lecteur à l’article de Redondo [Red01], tout en prenant garde que certaines conventions changent entre cet article et le présent survol.

Dans toute cette section k désigne toujours un anneau commutatif et A = (V, α) une k-algèbre. Quand cela ne prête pas à confusion, la lettre α sera omise et on la notera comme une simple multiplication, c’est à dire que l’on notera ab pour α(a ⊗ b).

1.2.1 Le complexe de Hochschild

Pour tout n ≥ 1, on pose

C^{n}(A) = Hom_{k}(V^{⊗n}, V)

le n-ème k-module des cochaînes de Hochschild, on note C^{0}(A) = V et on pose C^{•}(A) le k-module ℕ-gradué

C^{•}(A) = ⨁_{n≥0} C^{n}(A).

On définit l’application bord

∂ ∈ End_{k}(C^{•}(A))

en posant pour tout n ≥ 0 et tout f ∈ C^{n}(A)

(−1)^{n}∂f = α(𝟙_{V} ⊗ f) + ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}f(𝟙_{V}^{⊗i−1} ⊗ α ⊗ 𝟙^{⊗n−i}) + (−1)^{n+1}α(f ⊗ 𝟙_{V}) ∈ C^{n+1}(A).

(1.1)

Alors ∂ est une application k-linéaire et homogène de degré 1 au sens où

∂(C^{n}(A)) ⊂ C^{n+1}(A)

pour tout n ≥ 1.

De manière plus prosaïque, l’équation (1.1) peut se réécrire en disant que pour tout f ∈ C^{n}(A), ∂f ∈ C^{n+1}(A) est l’application définie par

(−1)^{n}(∂f)(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n+1}) = a_{1}f(a_{2} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n+1})

− f(a_{1}a_{2} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n+1}) + ⋯ + (−1)^{n}f(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}a_{n+1})

+ (−1)^{n+1}f(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n})a_{n+1}

Remarque 1.2.1. On prendra garde que le signe (−1)^{n} apparaissant dans le membre de gauche de la définition de l’application bord n’est pas standard. Il n’apparaît par exemple pas dans certaines des références que nous mentionnons comme l’article de Redondo [Red01]. Mais comme nous le verrons dans la suite, ce signe est nécessaire pour définir une structure d’algèbre de Lie différentielle graduée compatible avec l’application bord. Néanmoins, pour toutes les considérations purement cohomologiques, la présence de ce signe est sans influence.

Lemme 1.2.2.

∂ ∘ ∂ = 0.

Démonstration. C’est un résultat classique. On pourra par exemple se référer à [Red01].

Ainsi, (C^{•}(A), ∂) est un complexe, appelé complexe de Hochschild de A. On prendra garde que ce complexe dépend du choix de la multiplication α de A et non pas simplement de l’espace sous-jacent V.

Pour tout n ≥ 0, on note

Z^{n}(A) = Ker(∂) ∩ C^{n}(A)

le k-module des n-cocycles de Hochschild et

B^{n}(A) = Im(∂) ∩ C^{n}(A)

le k-module des n-cobords de Hochschild avec la convention que B^{0}(A) = 0.

D’après le lemme 1.2.2, on a ∂ ∘ ∂ = 0 et donc pour tout n ≥ 0, on a B^{n}(A) ⊂ Z^{n}(A). Il s’ensuit qu’on peut former le k-module quotient

H^{n}(A) = Z^{n}(A)/B^{n}(A)

appelé n-ème k-module de cohomologie de Hochschild de A.

En d’autres termes, (C^{•}(A), ∂) est un complexe de k-modules, appelé complexe de Hochschild de A = (V, α), dont le n-ème module de cohomologie est noté H^{n}(A).

Remarque 1.2.3. On remarquera que, en abusant les notations,

Z^{1}(A) = {f ∈ End_{k}(V)|∂f = 0}
= {f ∈ End_{k}(V)|f(ab) = af(b) + f(a)b pour tous a, b ∈ V }

est l’ensemble des dérivations k-linéaires de V.

L’ensemble B^{1}(A) est l’ensemble des dérivations intérieures de V, c’est à dire l’ensemble des endomorphismes k-linéaires de V de la forme

b ↦ ab − ba

où a ∈ V.

Il s’ensuit que le premier k-module de cohomologie est le quotient des dérivations par les dérivations intérieures.

Remarque 1.2.4. Puisque nous nous intéressons principalement aux multiplications sur V, c’est à dire à des éléments de Hom_{k}(V ⊗ V, V) = C^{2}(A), il peut être utile d’avoir une description explicite de l’ensemble des 2-cobords et des 2-cocycles. Il suit immédiatement des définitions que

B^{2}(A) = {f ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V)|∃g ∈ End_{k}(V) tq ∂g = f}
= {f ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V)|∃g ∈ End_{k}(V) tq α(𝟙_{V} ⊗ g) − gα + α(g + 𝟙_{V}) = f}

et

Z^{2}(A) = {f ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V)|∂f = 0} .

Ainsi, f ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) est un 2-cocyle si et seulement si, pour tous a, b, c ∈ V, on a

af(b ⊗ c) − f(ab ⊗ c) + f(a ⊗ bc) − f(a ⊗ b)c = 0.

1.2.2 Infinitésimaux et cohomologie de Hochschild

Théorème 1.2.5. Soit R = k⟦t⟧ et soit α_{R} une déformation formelle de α. Si α_{R} est associative alors l’infinitésimal de α_{R} est un 2-cocycle.

Démonstration. Il suffirait d’appliquer le lemme 1.1.9 mais, pour se familiariser avec les notions ici présentées, nous donnons une esquisse de preuve. Soit α_{R} = ∑_{i≥0} α_{i}t^{i} une déformation formelle de α avec α_{i} ∈ C^{2}(A) = Hom_{k}(V ⊗V, V) pour tout i ≥ 0. Si α_{R} = α alors son infinitésimal est nul par définition. Sinon, on note α_{k} son infinitésimal. On peut donc écrire

α_{R} = α + α_{k}t^{k} + (∑_{i>k} α_{i}t^{i−k−1}) t^{k+1}.

Ainsi, si α_{R} est associative, pour tous a, b, c ∈ V, α_{R}(ab ⊗ c) = α_{R}(a ⊗ bc) et donc, en réduisant modulo (t^{k+1}), on a

(ab)c + (α_{k}(a ⊗ b)c + α_{k}(ab ⊗ c))t^{k} = a(bc) + (aα_{k}(b ⊗ c) + α_{k}(a ⊗ bc))t^{k}

mais α est associative donc

α_{k}(a ⊗ b)c + α_{k}(ab ⊗ c) = aα_{k}(b ⊗ c) + α_{k}(a ⊗ bc),

c’est à dire

α(𝟙_{V} ⊗ α_{k}) − α_{k}(α ⊗ 𝟙_{V}) + α_{k}(𝟙_{V} ⊗ α) − α_{k}(𝟙_{V} ⊗ α) = 0,

autrement dit, ∂α_{k} = 0 et donc α_{k} ∈ Ker(∂) ∩ C^{2}(A) = Z^{2}(A).

Proposition 1.2.6. Soient α_{R} = α + ϵα_{1} et α′_{R} = α + ϵα′_{1} deux k[ϵ]-déformations associatives de α. Alors α_{R} et α′_{R} sont équivalentes si et seulement si α_{1} et α′_{1} ont les mêmes classes de cohomologie dans H^{2}(A).

Démonstration. Puisque, R = k[ϵ], nous avons vu à l’exemple 1.1.7 que le groupe E_{R}(V) est constitué des éléments de la forme g = 𝟙_{V} + ϵg_{1} où g_{1} parcourt End_{k}(V). Ainsi,

α_{R} ≃ α′_{R} ⇔ ∃g ∈ E_{R}(V) ; α′_{R} = α_{R}^{g}
⇔ ∃g ∈ E_{R}(V) ; (α + ϵα′_{1}) = g^{−1}(α + ϵα_{1})(g ⊗ g)
⇔ ∃g ∈ E_{R}(V) ; g(α + ϵα′_{1}) = (α + ϵα_{1})(g ⊗ g)

⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(V) ; (𝟙_{V} + ϵg_{1})(α + ϵα′_{1}) = (α + ϵα_{1})((𝟙_{V} + ϵg_{1}) ⊗ (𝟙_{V} + ϵg_{1})) ⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(V) ; α + ϵα′_{1} + ϵg_{1}α = α + ϵα(g_{1} + 𝟙_{V}) + ϵα(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) + ϵα_{1}

⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(V) ; α′_{1} + g_{1}α = α(g_{1} + 𝟙_{V}) + α(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) + α_{1}
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(V) ; α′_{1} − α_{1} = α(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) − g_{1}α + α(g_{1} + 𝟙_{V})
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(V) ; α′_{1} − α_{1} = ∂g_{1}
⇔ α′_{1} − α_{1} ∈ B^{2}(A)

Mais puisque α_{R} et α′_{R} sont des R-déformations associatives de α, il suit du théorème 1.2.5 que α_{1} et α′_{1} appartiennent à Z^{2}(A). Ainsi, α_{R} et α′_{R} sont équivalentes si et seulement si α_{1} et α′_{1} ont les mêmes classes de cohomologie dans H^{2}(A).

De manière générale, on a les résultats suivants :

Théorème 1.2.7. Toute déformation formelle associative non-triviale de α est équivalente à une déformation formelle associative de α dont l’infinitésimal n’est pas un cobord.

Démonstration. Voir [Fox93, Théorème 3.2].

Théorème 1.2.8. Si H^{2}(A) = 0, alors toutes les k⟦t⟧-déformations associatives sont triviales.

Démonstration. Voir [Fox93, Théorème 3.1].

En conséquence, on peut poser la définition suivante :

Définition 1.2.9. Une algèbre A est dite infinitésimalement rigide si H^{2}(A) = 0.

1.2.3 Obstructions et cohomologie de Hochschild

De manière analogue, les obstructions peuvent être réalisées grâce au complexe de Hochschild :

Théorème 1.2.10. Soit n ≥ 1 et soient α_{0}, …, α_{n−1} ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) tels que ∑_{i=0}^{n−1} α_{i}t^{i} est une déformation formelle associative de α. Alors, l’obstruction

∑_{i=1}^{n−1} α_{i}(α_{n−i} ⊗ 𝟙_{V}) − α_{i}(𝟙_{V} ⊗ α_{n−i})

est un 3-cocycle de Hochschild.

Démonstration. Voir [Ger64, Proposition 3] ou [Fox93, Théorème 9.1].

Corollaire 1.2.11. Si H^{3}(A) = 0, alors tout 2-cocyle peut se prolonger en une déformation formelle associative de A.

On pose alors la définition suivante :

Définition 1.2.12. Une algèbre A est dite analytiquement rigide si toute les k⟦t⟧- déformations associatives de A sont triviales.

Nous comparerons à la section 1.4.4 les notions de rigidités analytique et infinitésimale ainsi qu’une troisième notion de rigidité géométrique que nous définirons à la section 1.4.3.

1.3 Structure d’algèbre de Lie différentielle graduée et cohomologie de Hochschild

Nous équipons maintenant le complexe de Hochschild d’une structure d’algèbre de Lie différentielle graduée. Nous verrons que l’associativité d’une déformation peut s’exprimer en termes de l’équation de Maurer-Cartan dans cette algèbre de Lie différentielle graduée. Pour les définitions concernant les algèbres de Lie différentielles graduées et les structures graduées en général, nous renvoyons à l’annexe A.

Dans cette section k désignera un anneau commutatif et A = (V, α) une k-algèbre associative unitaire.

1.3.1 Le crochet de Gerstenhaber

Soient p > 0, q ≥ 0 des entiers. Pour tout i ∈ {0, …, p − 1}, et f ∈ C^{p}(A), g ∈ C^{q}(A), on définit :

f ∘_{i} g ∈ C^{p+q−1}(A) = Hom_{k}(V^{⊗p+q−1}, V)

en posant

(f ∘_{i} g) = f(𝟙_{V}^{⊗i} ⊗ g ⊗ 𝟙_{V}^{⊗p+i−1})

ou, de manière plus prosaïque, pour tous a_{1}, …, a_{p+q−1} ∈ V, on a

(f ∘_{i} g)(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{p+q−1}) = f(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{i} ⊗ g(a_{i+1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{i+q}) ⊗ a_{i+q+1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{p+q−1}).

Et on pose

f ∘ g = ∑_{i=0}^{p−1}(−1)^{i(q+1)}(f ∘_{i} g) ∈ Hom_{k}(V^{⊗p+q−1}, V).

On définit le crochet de Gerstenhaber en posant pour f ∈ C^{p}(A) et g ∈ C^{q}(A) :

[f, g] = f ∘ g − (−1)^{(p−1)(q−1)}g ∘ f.

Le lemme suivant montre que le crochet de Gerstenhaber étend naturellement la notion d’application bord ∂ :

Lemme 1.3.1. Pour tout g ∈ C^{•}(A), on a [α, g] = −∂g.

Démonstration. Il suffit de le montrer pour g homogène. Soit donc g ∈ C^{q}(A), alors α ∘ g ∈ C^{q+1}(A) est donné par

(α ∘ g)(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{q+1}) = α(g(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{q}) ⊗ a_{q+1}) − (−1)^{q+1}α(a_{1} ⊗ g(a_{2} ⊗ ⋯ ⊗ a_{q+1}))

et g ∘ α ∈ C^{q+1}(A) est donné par

(g ∘ α)(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{q+1}) = ∑_{i=1}^{q−1}(−1)^{i}g(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α(a_{i} ⊗ a_{i+1}) ⊗ ⋯ ⊗ a_{q+1}).

et finalement, il vient

[α, g] = −∂g.

Lemme 1.3.2. Si la caractéristique de k est différente de 2, alors un élément β ∈ C^{2}(A) est associatif si et seulement si \frac{1}{2}[β, β] = 0.

Démonstration. Soit β ∈ C^{2}(A) = Hom_{k}(V ⊗ V, V). Alors

[β, β] = β ∘ β − (−1)β ∘ β = 2β ∘ β.

Mais pour tous a, b, c ∈ V,

(β ∘ β)(a ⊗ b ⊗ c) = β(β(a ⊗ b) ⊗ c) − β(a ⊗ β(b ⊗ c)).

Ainsi, β est associative si et seulement si β ∘ β = 2[β, β] = 0.

1.3.2 L’algèbre de Gerstenhaber

On note

L^{•}(A) = C^{•}(A)[1]

le complexe de Hochschild décalé de 1. C’est à dire tel que pour tout n ∈ ℕ,

L^{n}(A) = C^{n+1}(A)

et dont la différentielle, induite par celle de C^{•}(A), est toujours notée ∂.

Proposition 1.3.3. (L^{•}(A), [−, −], ∂) est une algèbre de Lie différentielle graduée.

Démonstration. L’énoncé n’est pas totalement trivial car l’application ∘ n’est en général pas associative sur C^{•}(A). Cependant, son associateur A(f, g, h) = (f ∘ g) ∘ h − f ∘ (g ∘ h) est super-symétrique au sens où pour tous f, g, h homogènes de degrés respectifs p, q et r, on a

A(f, g, h) = (−1)^{(q−1)(r−1)}A(f, h, g).

Il suit alors que (L^{•}(A), [−, −], ∂) est une algèbre de Lie différentielle graduée (voir annexe A).

1.3.3 Associativité et équation de Maurer-Cartan

Dans cette section, k désigne un corps.

Par définition, MC(L^{•}(A)) est l’ensemble des f ∈ L^{1}(A) = C^{2}(A) = Hom_{k}(V ⊗ V, V) qui satisfont à l’équation de Maurer-Cartan, c’est à dire tels que

∂f + \frac{1}{2}[f, f] = 0

(voir la section A.4.)

On fixe maintenant une k-algèbre de test (R, 𝔪, η) et une R-déformation α_{R} de α. En abusant les notations comme précédemment, on écrit

α_{R} = α + α_{𝔪}

où α_{𝔪} ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V ⊗ 𝔪).

Alors, α_{R} est associative si et seulement si

α(α_{𝔪} ⊗ 𝟙_{V} − 𝟙_{V} ⊗ α_{𝔪}) + α_{𝔪}(α ⊗ 𝟙_{V} − 𝟙_{V} ⊗ α) + α_{𝔪}(α_{𝔪} ⊗ 𝟙_{V} − 𝟙_{V} ⊗ α_{𝔪}) = 0. (1.2)

On peut naturellement munir L^{•}(A)⊗𝔪 d’une structure d’algèbre de Lie différentielle graduée. Dans cette algèbre, α_{𝔪} est un élément de degré 1 et on a

α(α_{𝔪} ⊗ 𝟙_{V} − 𝟙_{V ⊗𝔪} ⊗ α_{𝔪}) + α_{𝔪}(α ⊗ 𝟙_{V} − 𝟙_{V} ⊗ α) = −[α, α_{𝔪}] = ∂α_{𝔪}.

et

α_{𝔪}(α_{𝔪} ⊗ 𝟙_{V}) − (𝟙_{V} ⊗ α_{𝔪}) = \frac{1}{2}[α_{𝔪}, α_{𝔪}].

Ainsi, il suit de l’équation (1.2) :

Proposition 1.3.4. Une R-déformation α_{R} de α est associative si et seulement α_{𝔪} est un élément de MC(L^{•}(A) ⊗ 𝔪).

1.4 Rigidités

Bien que la terminologie soit empruntée à la géométrie, les notions de déformations d’algèbres telle qu’elles ont été ici introduites semblent indépendantes de toute notion géométrique. Nous verrons dans cette section qu’il existe cependant bien une interprétation des déformations en termes de géométrie algébrique.

L’un des points culminants de ces interactions est probablement les articles de Kontsevich et de Yekutieli sur la déformation par quantification des variétés algébriques [Kon01, Yek05] mais ces interactions profondes dépassent largement le cadre de ce survol. Ici, nous resterons dans un cadre parfaitement élémentaire dont nous rappellerons toutes les définitions. Pour des résultats légèrement plus avancés sur ces liens, le lecteur pourra consulter les dernières sections des notes de Geiss [Gei06, §4-7].

Dans toute cette section k désignera un corps.

1.4.1 Quelques rappels de géométrie algébrique affine

Pour une introduction détaillée à la géométrie algébrique affine, nous renvoyons le lecteur au livre de Northcott [Nor80] ou aux premiers chapitres du livre de Geck [Gec03, §1-2].

Soit n ≥ 1 un entier. Les polynômes dans k[X_{1}, …, X_{n}] sont naturellement vues comme des fonctions de k^{n} dans k.

Un ensemble algébrique dans k^{n} est un sous-ensemble V ⊂ k^{n} tel qu’il existe un sous-ensemble non-vide S de k[X_{1}, …, X_{n}] tel que

V = {x ∈ k^{n} | f(x) = 0 pour tout f ∈ S} .

La famille des complémentaires d’ensembles algébriques dans k^{n} forme une topologie sur k^{n} (exercice), appelée topologie de Zariski, et on note 𝔸^{n} l’espace topologique ainsi construit, appelé espace affine de dimension n.

Un ensemble X ⊂ 𝔸^{n} est dit localement fermé s’il est l’intersection d’un ouvert et d’un fermé de 𝔸^{n}.

À tout ensemble localement fermé X, on peut associer l’anneau des fonctions régulières sur X comme étant l’ensemble O(X) des fonctions θ : X⟶ k qui s’écrivent localement comme un quotient de polynômes. Formellement, c’est l’ensemble des fonctions θ : X⟶ k telles que pour tout x ∈ X, il existe un voisinage ouvert U_{x} de x dans X et des polynômes f, g ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] tels que pour tout y ∈ U_{x}, g(y) ≠ 0 et

θ(y) = \frac{f(y)}{g(y)}.

C’est un exercice classique que de vérifier que O(X) est un anneau pour la multiplication et l’addition point par point.

Un morphisme entre deux espaces localement fermés X ⊂ 𝔸^{n} et Y ⊂ 𝔸^{m} est une application ϕ : X⟶ Y qui est continue et telle que, pour tout ouvert U ⊂ Y et toute fonction θ ∈ O(U), la composition

ϕ^{−1}(U) ⟶^{ϕ} U ⟶^{θ} k

est dans l’anneau O(ϕ^{−1}(U)) des fonctions régulières sur ϕ^{−1}(U).

Un morphisme ϕ : X⟶ Y entre deux espaces localement fermés X et Y est appelé un isomorphisme s’il existe un morphisme ψ : Y ⟶ X tel que ψϕ = 𝟙_{X} et ϕψ = 𝟙_{Y}.

Remarque 1.4.1. Il est clair qu’un isomorphisme est en particulier un morphisme bijectif. En revanche, tout morphisme bijectif n’est pas nécessairement un isomorphisme. Par exemple, si k est algébriquement clos et si p > 1, l’application ϕ : 𝔸^{1}⟶ 𝔸^{1} qui a x associe x^{p} est un morphisme bijectif qui n’admet pas de morphisme inverse.

Définition 1.4.2. Une variété affine est un ensemble localement fermé X ⊂ 𝔸^{n} qui est isomorphe à un fermé dans un espace affine 𝔸^{m} (où m ≥ 1 est un entier non nécessairement égal à n).

1.4.2 La variété affine des algèbres associatives

Pour parler de déformation d’une algèbre en un sens géométrique du terme, il convient d’abord de définir la variété algébrique dans laquelle nous considèrerons les algèbres en question. Pour de plus amples références sur le sujet, nous renvoyons le lecteur aux notes de Crawley-Boevey sur la géométrie des représentations [CB93]. Pour le lien avec la théorie des déformations formelles, nous renvoyons au second chapitre de l’article initial de Gerstenhaber [Ger64, II.1].

Soit k un corps et V un k-espace vectoriel de dimension finie n. La variété avec laquelle nous travaillerons est celle des constantes de structures d’algèbres sur l’espace vectoriel V. Dorénavant, on se fixe une base e = (e_{1}, …, e_{n}) de V.

Soit α ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V), alors pour tous i, j ∈ {1, …, n}, α(e_{i} ⊗ e_{j}) est un élément de V, on a donc une famille (Γ_{ij}^{l})_{1≤l≤n)} ⊂ k de scalaires appelés constantes de structure de α tels que

α(e_{i} ⊗ e_{j}) = ∑_{l=1}^{n} Γ_{ij}^{l}e_{l}.

Ainsi, l’application

\begin{matrix}Hom_{k}(V ⊗ V, V) & ⟶ & k^{n^{3}} \\ α & ↦ & (Γ_{ij}^{l})_{1≤i,j,l≤n} \end{matrix}

identifie Hom_{k}(V ⊗ V, V) à l’espace affine 𝔸^{n^{3}} de dimension n^{3}.

On considère alors l’ensemble des éléments associatifs de Hom_{k}(V ⊗ V, V) :

Ass(V) = {α ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V)|α(α ⊗ 𝟙_{V}) = α(𝟙_{V} ⊗ α)} .

Ainsi, α ∈ Ass(V) si et seulement si, pour tous i, j, l ∈ {1, …, n}, on a

α(α(e_{i} ⊗ e_{j}) ⊗ e_{l}) = α(e_{i} ⊗ α(e_{j} ⊗ e_{l})).

En termes de constantes de structures, on obtient

α ∈ Ass(V) ⇔ ∑_{s=1}^{n} Γ_{ij}^{s}Γ_{sl}^{t} − Γ_{is}^{t}Γ_{jl}^{s} = 0, pour tous 1 ≤ i, j, l, t ≤ n.

Il s’ensuit que Ass(V) est fermé dans Hom_{k}(V ⊗ V, V) et donc en particulier :

Proposition 1.4.3. Ass(V) est une variété algébrique affine.

Comme nous nous intéressons aux structures d’algèbres, il convient aussi de prendre en compte l’existence d’un élément unité pour la multiplication considérée. On définit donc l’ensemble Alg(V) des structures d’algèbres sur V en posant :

Alg(V) = {α ∈ Ass(V) | ∃1_{α} ∈ V tel que α(1_{α} ⊗ 𝟙_{V}) = α(𝟙_{V} ⊗ 1_{α}) = 𝟙_{V} } .

Proposition 1.4.4. Alg(V) est un ouvert de Ass(V).

Démonstration. Soit α ∈ Ass(V). Pour tout a ∈ V, on pose l_{a}^{α} = α(a ⊗ 𝟙_{V}) ∈ End_{k}(V) la multiplication par a à gauche et r_{a}^{α} = α(𝟙_{V} ⊗ a) ∈ End_{k}(V) la multiplication par a à droite. Alors on peut montrer (exercice) qu’il existe un élément neutre 1_{α} pour α si et seulement si les applications l_{a}^{α} et r_{a}^{α} sont inversibles et dans ce cas, on a 1_{α} = (l_{a}^{α})^{−1}(a).

Pour tout a ∈ V, on pose

D_{a} = {α ∈ Ass(V) | det(l_{a}^{α}) det(r_{a}^{α}) ≠ 0}

qui est un ouvert de Ass(V) (le déterminant est une fonction polynomiale).

Il s’ensuit que

Alg(V) = ⋃_{a∈V} D_{a}

est un ouvert de Ass(V).

Théorème 1.4.5. Alg(V) est une variété algébrique affine.

Démonstration. La proposition 1.4.4 montre que Alg(V) est un espace localement fermé dans 𝔸^{n^{3}}. Pour munir Alg(V) d’une structure de variété affine, il faut montrer que Alg(V) est isomorphe à un fermé dans un espace affine 𝔸^{m} pour un certain entier m ≥ 1.

Considérons l’application

θ : \{ \begin{matrix}Alg(V) & ⟶ & V \\ α & ↦ & 1_{α}. \end{matrix}

Il suit de la preuve de la proposition 1.4.4 que localement sur D_{a}, l’application θ s’écrit comme α ↦ (l_{a}^{α})^{−1}(a) qui est une fonction régulière sur D_{a}. Il s’ensuit que θ ∈ O(Alg(V)).

Mais alors on obtient un isomorphisme

(𝟙, θ) : \{ \begin{matrix}Alg(V) & ⟶ & \{(α, a) ∈ Ass(V) × V |a = 1_{α}\} \\ α & ↦ & (α, (l_{a}^{α})^{−1}(a)) \end{matrix}

dont l’inverse est donné par la première projection.

L’ensemble {(α, a) ∈ Ass(V) × V |a = 1_{α}} étant la préimage de 1_{α} sous la seconde projection Ass(V) × V ⟶ V, il s’ensuit que c’est un fermé de Ass(V) × V et donc Alg(V) est isomorphe à un fermé de 𝔸^{n^{3}} × 𝔸^{n}, ce qui prouve le théorème.

1.4.3 Rigidité géométrique

Intuitivement, une algèbre A = (V, α) est géométriquement rigide, si elle est invariante par de petites perturbations. Nous donnons maintenant un cadre formel à cette idée intuitive.

Le groupe linéaire GL(V) agit sur Alg(V) en posant

g.α = g^{−1}α(g ⊗ g)

de sorte que le quotient Alg(V)/GL(V) s’identifie naturellement aux classes d’isomorphisme de structures d’algèbres sur V.

Définition 1.4.6. On dit qu’une algèbre A = (V, α) est géométriquement rigide s’il existe un voisinage ouvert U_{α} de α dans Alg(V) tel que pour tout α′ ∈ U_{α}, les algèbres (V, α) et (V, α′) sont isomorphes. De manière équivalente, on dit que A = (V, α) est géométriquement rigide si GL(V).α est un ouvert de Alg(V).

Remarque 1.4.7. On prendra garde qu’en général, la variété Alg(V) n’est pas irréductible. Ainsi, un ouvert non-vide n’est en général pas dense dans Alg(V). Lorsque la dimension de V est petite, le nombre de composantes irréductibles a été dénombré par Gabriel [Gab74].

1.4.4 Comparaison des notions de rigidités

Dans cette section, nous comparons brièvement les notions de rigidités issues de la géométrie algébrique d’une part et de la théorie des déformations formelles d’autre part. Pour plus de détails concernant la comparaison des différents concepts de rigidités, nous renvoyons le lecteur à l’article de Gerstenhaber et Schack [GS86, §3] ou aux notes d’exposés de Markl [DMZ07, §3].

Dans cette section, k désigne un corps et A = (V, α) est une k-algèbre de dimension finie sur k.

Nous remarquons d’abord qu’il suit du théorème 1.2.8 que si A est infinitésimalement rigide, alors A est analytiquement rigide. Gerstenhaber et Schack ont démontré que la réciproque est fausse si la caractéristique du corps k est positive [GS86].

La proposition suivante montre cependant que, sous une hypothèse supplémentaire, la réciproque est vraie sur n’importe quel corps :

Proposition 1.4.8. Si A est analytiquement rigide et H^{3}(A) = 0, alors H^{2}(A) = 0.

Démonstration. Soient f = α + ϵf_{1} et g = α + ϵg_{1} deux k[ϵ]-déformations associatives de α. Alors puisque H^{3}(A, α) = 0, elles s’intègrent en des déformations formelles associatives f̃ et g̃ de α. Puisque A est analytiquement rigide, il s’ensuit que f̃ et g̃ sont dans la même orbite sous l’action de E_{k⟦t⟧}(V) et donc, en réduisant modulo (t^{2}), il suit que f et g sont deux déformations infinitésimales équivalentes. Mais il suit alors de la Proposition 1.2.6 que H^{2}(A) = 0.

Le lien avec la rigidité géométrique a été donné par Gerstenhaber et Schack [GS86] :

Théorème 1.4.9. Si A est analytiquement rigide, alors A est géométriquement rigide.

De plus, Nijenhuis et Richardson ont démontré que sous l’hypothèse que le troisième espace de cohomologie de A s’annule, toutes ces notions sont équivalentes [NR66] :

Théorème 1.4.10. Si H^{3}(A) = 0, alors les conditions suivantes sont équivalentes : 1. A est infinitésimalement rigide ;

2. A est analytiquement rigide ;

3. A est géométriquement rigide.

Dans le cas où le corps k est de caractéristique nulle, Nijenhuis et Richardson ont de plus démontré qu’une algèbre A est analytiquement rigide si et seulement si elle est géométriquement rigide [NR66].

Chapitre 2

Déformations de modules

Dans ce second chapitre, nous proposons une introduction à la théorie des déformations de modules. Analogue à la théorie des déformations d’algèbres, de nombreux résultats peuvent en être adaptés directement. L’une des premières investigations formelles de ce sujet a été menée par Donald et Flanigan [DF74] mais pour ce survol, nous avons principalement utilisé les notes de Geiss [Gei06] et l’article de Yau [Yau05].

Dans tout ce chapitre, sauf mention du contraire, k désignera un anneau commutatif et A = (V, α) désignera une k-algèbre (associative unitaire) d’élément neutre 1_{α}. Si il n’y a pas de précisions supplémentaires, R désignera toujours une k-algèbre de test d’idéal maximal 𝔪 telle que R/𝔪 ≃ k et où la projection est notée η : R⟶ R/𝔪 ≃ k.

2.1 Généralités

2.1.1 Rappels

Nous supposons depuis le début de ce survol que le lecteur est familier avec la notion de module sur une algèbre. Cependant, pour bien comprendre la notion de déformation de module, il peut être utile de préciser ici les définitions que nous utiliserons.

Définition 2.1.1. Un A-module est la donnée d’une paire (W, μ) où :

1. W est un k-module, appelé espace sous-jacent à M ;

2. μ ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W), appelée structure de module de M est telle que :

(M1) le diagramme suivant commute :

\xymatrix{V ⊗ V ⊗ W \ar[r]^{𝟙_{V} ⊗μ} \ar[d]_{α⊗𝟙_{W}} & V ⊗ W \ar[d]^{μ} \\ V ⊗ W \ar[r]_{μ} & W,}

(M2) μ(1_{α} ⊗ 𝟙_{W}) = 𝟙_{W}.

De par son analogie avec la condition d’associativité pour les algèbres, la condition (M1) sera appelée associativité de μ.

Comme dans le cas des algèbres, quand cela ne prête pas à confusion, on pourra utiliser la lettre M pour désigner l’espace sous-jacent W. Cependant, puisque nous travaillerons avec plusieurs structures de modules différentes sur le même espace sous-jacent, nous ferons autant que possible la distinction entre un module et son espace sous-jacent.

2.1.2 Définitions

Soit (R, 𝔪, k) une k-algèbre de test. Comme au chapitre 1, si X est un k-module, on notera X_{R} = X ⊗ R. De plus, en abusant les notations, on identifiera toujours l’élément α ∈ Hom_{k}(V ⊗ V, V) à la R-déformation triviale canonique dans Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} V_{R}, V_{R}).

Définition 2.1.2. Soit M = (W, μ) un A-module. Une R-déformation de M est la donnée d’un couple (W_{R}, μ_{R}) où

μ_{R} ∈ Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} W_{R}, W_{R})

est telle que le diagramme suivant commute

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[d]_{α⊗_{R}𝟙_{W_{R}}} \ar[r]^{𝟙_{V_{R}} ⊗_{R}μ_{R}} & V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[d]^{μ_{R}} \\ V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[r]_{μ_{R}} & W_{R}.}

et qui réduit modulo 𝔪 à μ, c’est à dire, est telle que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[r]^{μ_{R}} \ar[d]_{(𝟙_{V} ⊗η)⊗_{R}(𝟙_{W} ⊗η)} & W_{R} \ar[d]^{𝟙_{W} ⊗η} \\ V ⊗ W \ar[r]_{α} & W.}

On remarquera en particulier que, contrairement au cas des algèbres où l’on n’imposait pas à une déformation d’être associative, on supposera toujours dans ces notes que les déformations de modules le sont.

Comme pour le cas des algèbres, on parlera de déformations formelles, de déformations polynomiales et de déformations infinitésimales (aussi appelées au premier ordre) si l’algèbre de test considérée est l’algèbre de séries formelles en une variable, l’algèbre des polynômes en une variable ou l’algèbre des nombre duaux.

2.1.3 Déformations de modules et déformations d’algèbres

Une k-algèbre A = (V, α) est naturellement un A-module pour la structure de module induite par la multiplication. Il est alors naturel de se demander si les notions de déformations de A vu comme A-module et comme k-algèbre associative coïncident. Si α_{R} est une R-déformation associative de A comme k-algèbre, alors on a

α_{R}(α_{R} ⊗ 𝟙_{V_{R}}) = α_{R}(𝟙_{V_{R}} ⊗ α_{R}),

ce qui n’est en général pas équivalent à demander que α_{R} soit une R-déformation du A-module A puisque dans ce cas on demande que

α_{R}(α ⊗ 𝟙_{V_{R}}) = α_{R}(𝟙_{V_{R}} ⊗ α_{R}),

c’est à dire que la multiplication de l’anneau agissant (ici α vu comme multiplication dans A) est fixée, alors qu’elle est aussi déformée dans le cas des k-algèbres. Nous verrons cependant que les deux théories sont très analogues.

2.1.4 Equivalences de déformations

Comme au chapitre 1, E_{R}(W) désigne le sous-groupe de Aut_{R}(W_{R}) constitué des g ∈ Aut_{R}(W_{R}) tels que le diagramme suivant commute :

[figure: W_{R}; 𝟙_{W} ⊗η; g; W_{R}; 𝟙_{W} ⊗η; W; W.]

On fait agir E_{R}(W) sur Hom_{R}(V_{R} ⊗ W_{R}, W_{R}) en posant pour tout g ∈ E_{R}(W) et tout μ ∈ Hom_{R}(V_{R} ⊗ W_{R}, W_{R})

μ_{R}^{g} = g^{−1}μ(𝟙_{V_{R}} ⊗ g).

On vérifie que cette action induit une action de E_{R}(W) sur les R-déformations de μ.

Définition 2.1.3. Deux R-déformations de (W, μ) sont dites équivalentes si elles appartiennent à la même orbite sous l’action de E_{R}(W).

On remarquera que deux R-déformations μ_{R} et μ′_{R} sont équivalentes s’il existe g ∈ Aut_{R}(W_{R}) tel que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[r]^{μ_{R}} \ar[d]_{𝟙_{V_{R}} ⊗_{R}g} & W_{R} \ar[d]^{g} \\ V_{R} ⊗_{R} W_{R} \ar[r]_{μ′_{R}} & W_{R}}

autrement dit, si on omet l’axiome (M2), si g induit un isomorphisme de R-modules entre (W_{R}, μ_{R}) et (W_{R}, μ′_{R}).

Définition 2.1.4. Une R-déformation de M = (W, μ) est dite triviale si elle est équivalente à μ où μ est canoniquement identifié à un élément de Hom_{R}(V_{R} ⊗_{R} W_{R}, W_{R}).

2.1.5 Prolongements, restrictions

Comme pour le cas des algèbres, nous nous intéresserons aux obstructions et aux infinitésimaux. Cependant, par souci de concision nous étudierons directement ces notions à l’aide du complexe de Hochschild que nous introduisons maintenant.

2.2 Déformations et cohomologie de Hochschild

De manière analogue au cas des algèbres, nous associerons à tout module un complexe, appelé complexe de Hochschild de l’algèbre à coefficients dans le module, dont la cohomologie encode des informations relatives aux déformations du module.

Dans toute cette section k désigne un anneau commutatif, A = (V, α) désigne une k-algèbre et M = (W, μ) désigne un A-module.

2.2.1 Le complexe de Hochschild

Pour tout n ≥ 0, on pose

C^{n}(A, M) = Hom_{k}(V^{⊗n} ⊗ W, W)

et on pose C^{•}(M) le k-module ℕ-gradué

C^{•}(A, M) = ⨁_{n≥0} C^{n}(A, M).

Soit d_{μ} ∈ End_{k}(C^{•}(A, M)) définie par

d_{μ}f = μ(𝟙_{V} ⊗ f) + ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}f(𝟙_{V}^{⊗i−1} ⊗ α ⊗ 𝟙^{⊗n−i} ⊗ 𝟙_{W}) + (−1)^{n+1}f(𝟙_{V}^{⊗n} ⊗ 𝟙_{W}).

pour tout entier n ≥ 0 et tout f ∈ C^{n}(A, M). Alors d_{μ} est une application k-linéaire homogène de degré 1 et on vérifie que c’est une différentielle au sens où d_{μ} ∘ d_{μ} = 0. Ainsi (C^{•}(A, M), d_{μ}) est un complexe, appelé complexe de Hochschild (à coefficients dans M).

Pour tout n ≥ 0, on note

Z^{n}(A, M) = Ker(d_{μ}) ∩ C^{n}(A, M)

le k-module des n-cocycles de Hochschild (de A à coefficients dans M) et

B^{n}(A) = Im(d_{μ}) ∩ C^{n}(A, M)

le k-module des n-cobords de Hochschild (de A à coefficients dans M).

Puisque d_{μ} ∘ d_{μ} = 0, on a B^{n}(A, M) ⊂ Z^{n}(A, M) pour tout n ≥ 1. Il s’ensuit qu’on peut former le k-module quotient

H^{n}(A, M) = Z^{n}(A, M)/B^{n}(A, M)

appelé n-ème k-module de cohomologie de Hochschild (de A à coefficients dans M).

Exemple 2.2.1. Si g ∈ C^{0}(A, M) = End_{k}(W), alors

d_{μ}(g) = μ(𝟙_{V} ⊗ g) − gμ

autrement dit, pour tous a ∈ V et m ∈ W, en utilisant des notations abusives, on a

d_{μ}(g)(a ⊗ mw) = ag(m) − g(am).

Ainsi, g ∈ End_{k}(W) est A-linéaire si et seulement si g ∈ Z^{0}(A, M).

Remarque 2.2.2. On prendra garde que les notations C^{•}(A) du complexe de Hochschild de l’algèbre A introduit au chapitre 1 et le complexe C^{•}(A, A) de l’algèbre A à coefficients dans le A-module A désignent des complexes différents.

Remarque 2.2.3. Puisque nous nous intéressons principalement aux structures de modules sur W, nous nous intéresserons particulièrement aux éléments de Hom_{k}(V ⊗W, W) = C^{1}(A, M). Il peut donc être utile d’avoir une description explicite de l’ensemble des 1cobords et des 1-cocycles. Il suit immédiatement des définitions que

B^{1}(A, M) = {f ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W) | ∃g ∈ End_{k}(W) tel que d_{μ}g = f}

donc f ∈ B^{1}(A, M) si et seulement s’il existe g ∈ End_{k}(W) tel que pour tous a ∈ V et m ∈ W, on a

f(a ⊗ m) = ag(m) − g(am).

Et si f ∈ C^{1}(A, M) = Hom_{k}(V ⊗ W, W), alors

d_{μ}(f) = μ(𝟙_{V} ⊗ f) − f(α ⊗ 𝟙_{W}) + f(𝟙_{V} ⊗ μ)

autrement dit, pour tous a, b ∈ V et m ∈ W, en utilisant des notations abusives, on a

d_{μ}(f)(a ⊗ b ⊗ m) = af(b ⊗ m) − f(ab ⊗ m) + f(a ⊗ bm).

Ainsi,

f ∈ Z^{1}(A, M) ⇔ f(ab ⊗ m) = af(b ⊗ m) + f(a ⊗ bm).

Remarque 2.2.4. Dans certaines références que nous citons, comme l’article de Yau [Yau05], le livre de Weibel [Wei94] ou la thèse de Eriksen [Eri00], la définition du complexe de Hochschild diffère légèrement de celle que nous prenons au sens où, pour tout n ≥ 0, l’espace C^{n}(A, M) est défini comme étant Hom_{k}(V^{⊗n}, End_{k}(W)). Pour faire coïncider les deux définitions, il suffit de remarquer que l’on a un isomorphisme canonique

Hom_{k}(V^{⊗n}, End_{k}(W)) ≃ Hom_{k}(V^{⊗n} ⊗ W, W)

qui à f ∈ Hom_{k}(V^{⊗n}, End_{k}(W)), associe g ∈ Hom_{k}(V^{⊗n} ⊗ W, W) donnée par

g(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n} ⊗ w) = f(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n})(w)

pour tous v_{1}, …, v_{n} ∈ V, w ∈ W.

2.2.2 Infinitésimaux et cohomologie de Hochschild

Dans cette section, on considère l’anneau R = k[[t]] des séries formelles en une indéterminée et on pose μ_{R} = ∑_{i≥0} μ_{i}t^{i} une R-déformation de μ.

Définition 2.2.5. Si μ_{R} ≠ μ, l’infinitésimal de μ_{R} est μ_{i_{0}} ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W) où

i_{0} = min {i > 0|μ_{i} ≠ 0} .

L’infinitésimal de μ est nul par convention.

On peut montrer l’analogue du théorème 1.2.5 :

Théorème 2.2.6. Soit R = k[[t]] et soit μ_{R} une déformation formelle de μ. Alors l’infinitésimal de μ_{R} est un 1-cocycle.

Démonstration. Si μ_{R} = μ son infinitésimal est nul et appartient donc appartient à Z^{1}(A, M). Sinon, on écrit μ_{R} = ∑_{i≥0} μ_{i}t^{i} et on note μ_{k} son infinitésimal, de sorte que

μ_{R} = μ + μ_{k}t^{k} + (∑_{i>k} μ_{i}t^{i−k−1}) t^{k+1}.

De l’associativité et de la R-linéarité, on déduit que pour tous a, b ∈ V et m ∈ W, on a

μ_{R}(α(a ⊗ b) ⊗ m) = μ_{R}(a ⊗ μ_{R}(b ⊗ m)).

En réduisant modulo (t^{k+1}), on obtient

μ(α(a⊗b)⊗m)+t^{k}μ_{k}(α(a⊗b)⊗m) = μ(a⊗μ(b⊗m))+t^{k}(μ_{k}(a⊗μ(b⊗m))+μ(a⊗μ_{k}(b⊗m))

mais μ satisfait (M1) donc

μ_{k}(α(a ⊗ b) ⊗ m) = μ_{k}(a ⊗ μ(b ⊗ m)) + μ(a ⊗ μ_{k}(b ⊗ m)

c’est à dire, en abusant les notations,

μ_{k}(ab ⊗ m) = aμ_{k}(b ⊗ m) + μ_{k}(a ⊗ bm),

et donc, en utilisant la remarque 2.2.3, on voit que μ_{k} ∈ Z^{1}(A, M), ce qui prouve le théorème.

De plus, on peut montrer l’analogue de la proposition 1.2.6, à savoir qu’à équivalence près, les déformations infinitésimales de M sont classifiées par H^{1}(A, M) :

Lemme 2.2.7. Soient μ_{R} = μ + ϵμ_{1} et μ′_{R} = μ + ϵμ′_{1} deux k[ϵ]-déformations de μ. Alors μ_{R} et μ′_{R} sont équivalentes si et seulement si μ_{1} et μ′_{1} appartiennent à la même classe de cohomologie dans H^{1}(A, M).

Démonstration. Le groupe E_{R}(W) est formé des éléments de la forme g = 𝟙_{W} + ϵg_{1} où g_{1} parcourt End_{k}(W). Ainsi,

μ_{R} ≃ μ′_{R} ⇔ ∃g ∈ E_{R}(W) ; μ′_{R} = μ_{R}^{g}
⇔ ∃g ∈ E_{R}(W) ; gμ′_{R} = μ_{R}(𝟙_{V} ⊗ g)

⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; (𝟙_{W} + ϵg_{1})(μ + ϵμ′_{1}) = (μ + ϵμ_{1})(𝟙_{V} ⊗ (𝟙_{W} + ϵg_{1}))

⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; μ + ϵμ′_{1} + ϵg_{1}μ = μ + ϵμ(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) + ϵμ_{1}
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; μ′_{1} + g_{1}μ = μ(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) + μ_{1}
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; μ′_{1} − μ_{1} = μ(𝟙_{V} ⊗ g_{1}) − g_{1}μ
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; μ′_{1} − μ_{1} = d_{μ}(g_{1})
⇔ ∃g_{1} ∈ End_{k}(W) ; μ′_{1} − μ_{1} ∈ B^{1}(A, M).

Puisque μ_{R} et μ′_{R} sont des R-déformations de μ, il suit du théorème 2.2.6 que μ_{1} et μ′_{1} appartiennent à Z^{1}(A, M). Ainsi, μ_{R} et μ′_{R} sont des déformations équivalentes ssi μ_{1} et μ′_{1} appartiennent à la même classe de cohomologie dans H^{1}(A, M).

De manière générale, on peut aussi démontrer l’analogue du théorème 1.2.7 :

Théorème 2.2.8. Toute déformation formelle non-triviale de μ est équivalente à une déformation formelle de μ dont l’infinitésimal n’est pas un cobord.

Démonstration. Voir [Yau05, Théorème 3.2].

Et en corollaire, l’analogue du théorème 1.2.8 :

Théorème 2.2.9. Si H^{1}(A, M) = 0, alors toutes les k[[t]]-déformations de μ sont triviales.

En conséquence, on pose la définition suivante :

Définition 2.2.10. Un A-module M est dit infinitésimalement rigide si H^{1}(A, M) = 0.

2.2.3 Obstructions et cohomologie de Hochschild

Soit R = k[[t]] l’anneau des séries formelles en une indéterminée et soit ∑_{i=0}^{n−1} μ_{i}t^{i} une R-déformation polynomiale de μ. On définit son obstruction comme étant l’élément

∑_{i+j=n} μ_{i}(𝟙_{V} ⊗ μ_{j}).

Comme dans le cas des algèbres (théorème 1.2.10), les obstructions peuvent être réalisées grâce au complexe de Hochschild :

Théorème 2.2.11. Soit n ≥ 1 et soient μ_{0}, …, μ_{n−1} ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W) tels que ∑_{i=0}^{n−1} μ_{i}t^{i} est une déformation formelle de μ. Alors, l’obstruction de cette déformation est un 2-cocycle de Hochschild.

Démonstration. [Yau05, Lemme 4.1].

Théorème 2.2.12. Une déformation polynomiale de μ de degré n s’étend en une déformation polynomiale de μ de degré n+1 si et seulement si son obstruction est un 2-cobord.

Démonstration. [Yau05, Théorème 4.2].

2.3 Structure d’algèbre de Lie différentielle graduée et cohomologie de Hochschild

Nous munissons maintenant le complexe de Hochschild C^{•}(A, M) d’une structure d’algèbre de Lie différentielle graduée et nous verrons que les déformations de M correspondent aux solutions de l’équation de Maurer-Cartan dans cette algèbre de Lie différentielle graduée. Pour les définitions concernant les algèbres de Lie différentielles graduées, nous renvoyons à l’annexe A.

Dans cette section k désigne un corps, A = (V, α) une k-algèbre associative unitaire et M = (W, μ) un A-module.

2.3.1 La structure d’algèbre de Lie différentielle graduée

On considère l’application k-bilinéaire

∘ : \{ \begin{matrix}C^{•}(A, M) × C^{•}(A, M) & ⟶ & C^{•}(A, M) \\ (f, g) & ↦ & f ∘ g. \end{matrix}

où, pour f et g homogènes de degrés respectifs p et q, on a posé

f ∘ g = f(𝟙_{V}^{⊗p} ⊗ g) ∈ C^{p+q}(A, M).

Alors (C^{•}(A, M), ∘, d_{μ}) est une algèbre différentielle graduée (voir la section A.2), au sens où

d_{μ}(f ∘ g) = d_{μ}(f) ∘ g − (−1)^{n}f ∘ d_{μ}(g)

pour tout n ≥ 0 et tout f ∈ C^{n}(A, M) et tout g ∈ C^{•}(A, M).

Le crochet est alors défini par

[f, g] = f ∘ g − (−1)^{pq}g ∘ f

pour tous p, q ≥ 0 et tous f et g homogènes de degrés respectifs p et q dans C^{•}(A, M).

Lemme 2.3.1. (C^{•}(A, M), [,], d_{μ}) est une algèbre de Lie différentielle graduée.

Démonstration. Laissée en exercice.

Remarque 2.3.2. On remarquera que contrairement au cas des algèbres, il n’est pas nécessaire d’effectuer un décalage pour obtenir la structure d’algèbre de Lie différentielle graduée sur le complexe de Hochschild C^{•}(A, M).

2.3.2 L’équation de Maurer-Cartan

Si (μ_{i})_{i≥1} est une famille d’applications dans Hom_{k}(V ⊗ W, W), l’application μ_{R} = μ + ∑_{i≥1} μ_{i}t^{i} est une déformation formelle de μ si et seulement si pour tout n ≥ 1, on a

μ(𝟙_{V} ⊗ μ_{n}) − μ_{n}(α ⊗ 𝟙_{W}) + μ_{n}(𝟙_{V} ⊗ μ) + ∑_{i+j=n} μ_{i}(𝟙_{V} ⊗ μ_{j}) = 0.

En termes d’algèbres graduées, on peut le réécrire en disant que μ_{R} est une déformation formelle de μ si et seulement si

d_{μ}(μ_{n}) + ∑_{i+j=n} μ_{i} ∘ μ_{j} = 0

pour tout n ≥ 1.

De manière générale, si k est un corps de caractéristique différente de 2 et (R, 𝔪, η) est une k-algèbre de test, alors une R-déformation de μ est entièrement déterminée par sa composante k-linéaire

μ_{𝔪} ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W ⊗ 𝔪).

Alors, on vérifie que pour toute application μ_{𝔪} ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W ⊗ 𝔪), l’application μ_{R} = μ + μ_{𝔪} est une R-déformation de μ si et seulement si on a

d_{μ}(μ_{𝔪}) + \frac{1}{2}[μ_{𝔪}, μ_{𝔪}] = 0

dans l’algèbre de Lie différentielle graduée C^{•}(A, M)⊗𝔪. En d’autres termes, μ_{R} est une R-déformation de μ si et seulement si μ_{𝔪} ∈ MC(C^{•}(A, M) ⊗ 𝔪).

2.4 Rigidités

2.4.1 Rigidité infinitésimale et extensions

Dans cette section, k est un corps, A = (V, α) est une k-algèbre et M = (W, μ) est un A-module.

Nous étudions maintenant des liens élémentaires entre la cohomologie de Hochschild et les extensions de A-modules. Pour plus de détails sur ces espaces et ces liens, nous renvoyons le lecteur à un livre traitant d’algèbre homologique comme par exemple le livre de Benson [Ben98] ou celui de Weibel [Wei94].

On rappelle qu’une auto-extension de M est la donnée d’un triplet (E, f, g) où E est à un A-module, où f ∈ Hom_{A}(M, E) est un monomorphisme, g ∈ Hom_{A}(E, M) est un épimorphisme et Im f = Ker g. On note E_{A}(M, M) l’ensemble de toutes les autoextensions de M et un élément (E, f, g) de E_{A}(M, M) est noté

0⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} M⟶ 0.

On définit une relation d’équivalence sur E_{A}(M, M) en disant que deux suites exactes (E, f, g) et (E′, f′, g′) sont équivalentes, ce que l’on note (E, f, g) ∼ (E′, f′, g′), s’il existe un morphisme de A-modules ϕ ∈ Hom_{A}(E, E′) tel que le diagramme suivant commute :

[figure: 0; M; f; E; ϕ; g; M; 0; 0; M; f′; E′; g′; M; 0.]

On pose alors

Ext_{A}^{1}(M, M) = E_{A}(M, M)/ ∼ .

Proposition 2.4.1. L’espace Z^{1}(A, M) est en bijection avec E_{A}(M, M)

De plus, cette bijection induit une bijection une bijection

H^{1}(A, M) ≃ Ext_{A}^{1}(M, M).

Démonstration. Montrons que E_{A}(M, M) est en bijection avec Z^{1}(A, M). Soit une auto-extension de M :

0⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} M⟶ 0.

Le k-espace vectoriel sous-jacent à E est isomorphe à W ⊕ W et on peut supposer que les composantes k-linéaires de f et g sont respectivement la première inclusion et la seconde projection. La structure de A-module sur E est donc donnée par β ∈ Hom_{k}(V ⊗ (W ⊕ W), W ⊕ W) que l’on note

β = [ \begin{matrix}β_{11} & β_{12} \\ β_{21} & β_{22} \end{matrix} ]

où chaque β_{ij} est dans Hom_{k}(V ⊗ W, W).

Comme f est A-linéaire, en abusant les notations, on a pour tous m_{1}, m_{2} ∈ W et tout a ∈ V,

[ \begin{matrix}μ(a ⊗ m_{1}) \\ 0 \end{matrix} ] = f(am_{1}) = af(m_{1}) = β(a ⊗ (m_{1}, 0))

et, comme g est A-linéaire,

am_{2} = ag(m_{1}, m_{2}) = g(β(a ⊗ (m_{1}, m_{2})))

or β(a ⊗ (m_{1}, m_{2})) est donné par

[ \begin{matrix}β_{11} & β_{12} \\ β_{21} & β_{22} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a ⊗ m_{1} \\ a ⊗ m_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}β_{11}(a ⊗ m_{1}) + β_{12}(a ⊗ m_{2}) \\ β_{21}(a ⊗ m_{1}) + β_{22}(a ⊗ m_{2}) \end{matrix} ] .

Mais alors am_{2} = μ(a ⊗ m_{2}) = β_{21}(a ⊗ m_{1}) + β_{22}(a ⊗ m_{2}) pour tous m_{1}, m_{2} ∈ W et a ∈ V. Et donc β_{21} = 0 et β_{22} = μ. De la même manière, on montre que β_{11} = μ et β_{12} ∈ Hom_{k}(V ⊗ W, W) est arbitraire.

Mais puisque β est une structure de module, elle vérifie pour tous m_{1}, m_{2} ∈ W et tous v, v′ ∈ V,

β(v′ ⊗ β(v ⊗ (m_{1}, m_{2}))) = β(α(v′ ⊗ v) ⊗ (m_{1}, m_{2})).

Mais le membre de gauche est égal à

[ \begin{matrix}μ(v′ ⊗ μ(v ⊗ m_{1})) + μ(v′ ⊗ β_{12}(v ⊗ m_{2})) + β_{12}(v′ ⊗ μ(v ⊗ m_{2})) \\ μ(v′ ⊗ μ(v ⊗ m_{2})) \end{matrix} ]

et celui de droite à

[ \begin{matrix}μ(α(v′ ⊗ v) ⊗ m_{1}) + β_{12}(α(v′ ⊗ v) ⊗ m_{2}) \\ μ(α(v′ ⊗ v) ⊗ m_{2}) \end{matrix} ] ,

donc, puisque μ est une structure de module, on en déduit que β est une structure de module si et seulement si

μ(v′ ⊗ β_{12}(v ⊗ m_{2})) + β_{12}(v′ ⊗ μ(v ⊗ m_{2})) = β_{12}(α(v′ ⊗ v) ⊗ m_{2}).

Autrement dit, β est une structure de module si et seulement si β_{12} ∈ Z^{1}(A, M), ce qui établit la bijection.

Montrons que Ext_{A}^{1}(M, M) est en bijection avec H^{1}(A, M). Soient (E, f, g) et (E′, f′, g′) deux suites exactes dans E_{A}(M, M). On note β et β′ les structures de modules sur E et E′ que l’on peut donc écrire

β = [ \begin{matrix}μ & β_{12} \\ 0 & μ \end{matrix} ] et β′ = [ \begin{matrix}μ & β′_{12} \\ 0 & μ \end{matrix} ]

avec β_{12}, β′_{12} ∈ Z^{1}(A, M).

Soit ϕ ∈ Hom_{A}(E, E′) induisant une équivalence (E, f, g) ∼ (E′, f′, g′), alors, on peut écrire k-linéairement

ϕ = [ \begin{matrix}ϕ_{11} & ϕ_{12} \\ ϕ_{21} & ϕ_{22} \end{matrix} ]

avec chaque ϕ_{ij} ∈ End_{k}(W). On vérifie alors facilement que

ϕ_{11} = ϕ_{22} = 𝟙_{W} et ϕ_{21} = 0.

De plus, comme ϕ est A-linéaire, on a pour tout a ∈ V et tous m_{1}, m_{2} ∈ W,

ϕ(β(a ⊗ (m_{1}, m_{2}))) = β′(a ⊗ ϕ(m_{1}, m_{2}))

et donc

β_{12} − β′_{12} = d_{μ}(ϕ_{12}) ∈ B^{1}(A, M).

Réciproquement, si β_{12} − β′_{12} ∈ B^{1}(A, M), on peut construire une équivalence ϕ entre (E, f, g) et (E′, f′, g′). Ainsi, le quotient Z^{1}(A, M)/B^{1}(A, M) est en bijection avec E_{A}(M, M)/ ∼ .

Remarque 2.4.2. De manière générale, on peut montrer que la cohomologie de Hochschild encode toutes les informations relatives aux extensions. Par exemple, on peut montrer que pour tout n ≥ 1, il existe un isomorphisme de k-espaces vectoriels H^{n}(A, M) ≃ Ext_{A}^{n}(M, M). Une version encore plus générale de ce résultat est par exemple démontrée dans la thèse de Eriksen [Eri00, Annexe A] ou dans le livre de Weibel [Wei94, §9.1].

Une conséquence directe de la proposition 2.4.1 est :

Corollaire 2.4.3. Un A-module M est infinitésimalement rigide si et seulement si Ext_{A}^{1}(M, M) = 0.

2.4.2 Rigidité géométrique

Nous conclurons ce chapitre en mentionnant que de manière analogue au cas des algèbres, on peut définir une notion de rigidité géométrique d’un module en définissant une variété algébrique des structures de modules sur un espace vectoriel de dimension fini W. Dans ce cadre, le lemme de Voigt fournit une description de Ext_{A}^{1}(M, M) comme l’espace cotangent à la structure de module de M dans cette variété. Comme dans le cas des algèbres, on peut donc en déduire une interprétation de la rigidité infinitésimale en termes géométriques. Les détails concernant cette construction dépassant le cadre de ce survol, nous renvoyons le lecteur intéressé aux notes de Geiss [Gei06, §6] ou de Crawley-Boevey [CB93, §5].

Annexe A

Structures graduées

Les structures graduées et différentielles graduées sont des généralisations naturelles des structures algébriques usuelles (anneaux, modules, algèbres, algèbres de Lie, etc...) qui apparaissent dans de nombreux domaines mathématiques et physiques. Dans cette annexe, nous ne présentons que les définitions élémentaires des structures graduées impliquées dans le présent survol.

Dans toute cette annexe, sauf mention contraire, k désigne un anneau commutatif unitaire.

On prendra garde que dans cette section, si S est une structure algébrique graduée (anneau, module, etc...), alors pour tout entier n, la notation S^{n} ne désigne pas le produit de n copies de S mais un certain groupe abélien indexé par n, qui sera précisé dans les définitions suivantes.

A.1 Modules gradués

Définition A.1.1. Un anneau k est dit ℕ-gradué si il s’écrit comme une somme directe de groupes abéliens

k = ⨁_{n∈ℕ} k^{n}

et si pour tout m, n ∈ ℕ, on a

k^{m}k^{n} ⊂ k^{m+n}.

On dit qu’un anneau est concentré en degré 0 si k = k^{0}. En particulier les anneaux usuels sont des anneaux ℕ-gradués concentrés en degré 0.

Définition A.1.2. Si k est un anneau ℕ-gradué, un k-module ℕ-gradué est un k-module M qui s’écrit comme une somme directe de groupes abéliens

M = ⨁_{n∈ℕ} M^{n}

et tel que pour tout m, n ∈ ℕ, on a

k^{m}M^{n} ⊂ M^{m+n}.

Pour tout n ∈ ℕ, un élément x de M^{n} est dit homogène de degré n et on note |x| = n son degré.

On dit que M est concentré en degré 0 si M = M^{0}. En particulier les modules usuels sur les anneaux usuels sont des modules ℕ-gradués concentrés en degré 0.

On remarquera par ailleurs que si M est un k-module ℕ-gradué sur un anneau usuel, alors chaque M^{n} est lui-même muni d’une structure de k-module.

Une application f ∈ End_{k}(M) est dite homogène de degré d ∈ ℕ si pour tout n ∈ ℕ on a

f(M^{n}) ⊂ M^{n+d}.

A.2 Algèbres graduées et différentielles graduées

Soit k un anneau commutatif unitaire (concentré en degré 0).

Définition A.2.1. Une k-algèbre ℕ-graduée est la donnée d’un k-module ℕ-gradué

B = ⨁_{i∈ℕ} B^{i}

et d’une multiplication k-bilinéaire associative satisfaisant :

1. l’existence d’un élément neutre dans B^{0} ;

2. B^{m}B^{n} ⊂ B^{m+n} pour tous m, n ∈ ℕ.

En particulier, toute k-algèbre usuelle est une k-algèbre ℕ-graduée concentrée en degré 0.

Définition A.2.2. Une k-algèbre différentielle graduée est la donnée d’une k-algèbre ℕ-graduée B munie d’une application linéaire

∂ ∈ End_{k}(B),

appelée différentielle, satisfaisant :

1. ∂ ∘ ∂ = 0 ;

2. ∂ est homogène de degré 1 ;

3. ∂(ab) = ∂(a)b + (−1)^{|a|}a∂(b) pour tous a, b homogènes dans B.

En particulier, toute k-algèbre usuelle est une algèbre différentielle graduée concentrée en degré 0 et munie d’une différentielle nulle.

A.3 Algèbres de Lie graduées et différentielles graduées

Soit k un anneau commutatif unitaire (concentré en degré 0).

Définition A.3.1. Une algèbre de Lie ℕ-graduée est un k-module ℕ-gradué

L = ⨁_{i∈ℕ} L^{i}

muni d’une opération k-bilinéaire

[−, −] : L ⊗ L⟶ L,

appelée crochet de Lie, telle que :

1. [L^{m}, L^{n}] ⊂ L^{m+n} pour tous m, n ∈ ℕ;

2. [x, y] = (−1)^{|x||y|}[y, x] pour tous x, y homogènes dans L;

3. [x, [y, z]] = [[x, y], z] + (−1)^{|x||y|}[y, [x, z]] pour tous x, y homogènes dans L et tout z ∈ L.

Définition A.3.2. Une algèbre de Lie différentielle graduée est un triplet (L, [,], ∂) où (L, [,]) est une algèbre de Lie ℕ-graduée et d ∈ Hom_{k}(L, L), appelée différentielle, satisfait :

1. ∂ ∘ ∂ = 0 ;

2. ∂ est homogène de degré 1 ;

3. ∂[x, y] = [∂(x), y] + (−1)^{|x|}[x, ∂(y)] pour tout x homogène dans L et tout y ∈ L.

En particulier, toute algèbre de Lie usuelle est une algèbre de Lie différentielle graduée concentrée en degré 0 et munie d’une différentielle nulle.

A.4 L’équation de Maurer-Cartan

Soit L une algèbre de Lie différentielle graduée et supposons que la caractéristique de k est différente de 2. On dit qu’un élément x de L satisfait à l’équation de Maurer-Cartan si

∂(x) + \frac{1}{2}[x, x] = 0.

On note MC(L) l’ensemble des éléments satisfaisant à l’équation de Maurer-Cartan dans l’algèbre de Lie différentielle graduée L et on remarquera que nécessairement, MC(L) et contenu dans L^{1}.

Les éléments satisfaisant l’équation de Maurer-Cartan joue un rôle privilégié dans le cadre des déformations et du théorème de déformation par quantification de Kontsevich. Pour plus de détails à ce propos, nous renvoyons le lecteur intéressé aux notes d’exposés de Markl [DMZ07, §5].

Bibliographie

[Ben98] David Benson. Representations et cohomology. I, volume 30 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 1998. Basic representation theory of finite groups and associative algebras.

[BFF^{+}78] François Bayen, Moshé Flato, Christian Frønsdal, André Lichnerowicz, et Daniel Sternheimer. Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures. Ann. Physics, 111(1) :61–110, 1978.

[But09] Frédéric Butin. Structures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes, Cohomologie et Déformations. Thèse de doctorat, Université Claude Bernard Lyon

1, novembre 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00444232/fr/.

[CB93] William Crawley-Boevey. Geometry of representations of algebras. http:

//www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/geomreps.pdf, 1993.

[DF74] John Donald et Francis Flanigan. Deformations of algebra modules. J. Algebra, 31 :245–256, 1974.

[DMZ07] Martin Doubek, Martin Markl, et Petr Zima. Deformation theory (lecture notes). Arch. Math. (Brno), 43(5) :333–371, 2007.

[Eri00] Eivind Eriksen. Graded D-modules over Monomial Curves. Thèse de doc-

torat, University of Oslo, 2000. http://home.hio.no/~eeriksen/Maths/
phdthesis.ps.

[Fox93] Thomas Fox. An introduction to algebraic deformation theory. J. Pure Appl. Algebra, 84(1) :17–41, 1993.

[Gab74] Peter Gabriel. Finite representation type is open. In Proceedings of the International Conference on Representations of Algebras (Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1974), Paper No. 10, pages 23 pp. Carleton Math. Lecture Notes, No. 9, Ottawa, Ont., 1974. Carleton Univ.

[Gec03] Meinolf Geck. An introduction to algebraic geometry and algebraic groups, volume 10 of Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2003.

[Gei06] Christof Geiss. Deformation theory of finite dimensional modules and al-

gebras. http://www.math.jussieu.fr/~keller/ictp2006/lecturenotes/
geiss.pdf, 2006.

[Ger64] Murray Gerstenhaber. On the deformation of rings and algebras. Ann. of Math. (2), 79 :59–103, 1964.

[GS86] Murray Gerstenhaber et Samuel D. Schack. Relative Hochschild cohomology, rigid algebras, and the Bockstein. J. Pure Appl. Algebra, 43(1) :53–74, 1986.

[HKR62] Gerhard Hochschild, Bertram Kostant, et Alex Rosenberg. Differential forms on regular affine algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 102 :383–408, 1962.

[Kel03] Bernhard Keller. Notes for an introduction to Kontsevich’s quantization the-

orem. http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/emalca.pdf, 2003.

[Kon01] Maxim Kontsevich. Deformation quantization of algebraic varieties. Lett. Math. Phys., 56(3) :271–294, 2001. EuroConférence Moshé Flato 2000, Part III (Dijon).

[Kon03] Maxim Kontsevich. Deformation quantization of Poisson manifolds. Lett. Math. Phys., 66(3) :157–216, 2003.

[KS58] Kunihiko Kodaira et Donald Spencer. On deformations of complex analytic structures. I, II. Ann. of Math. (2), 67 :328–466, 1958.

[Nor80] Douglas Northcott. Affine sets and affine groups, volume 39 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1980.

[NR66] Albert Nijenhuis et Roger Richardson. Cohomology and deformations in graded Lie algebras. Bull. Amer. Math. Soc., 72 :1–29, 1966.

[Red01] María Julia Redondo. Hochschild cohomology : some methods for computations. Resenhas, 5(2) :113–137, 2001.

[Wei94] Charles Weibel. An introduction to homological algebra, volume 38 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[Yau05] Donald Yau. Deformation theory of modules. Comm. Algebra, 33(7) :2351– 2359, 2005.

[Yek05] Amnon Yekutieli. Deformation quantization in algebraic geometry. Adv. Math., 198(1) :383–432, 2005.