Manuscript submitted to Website: http://AIMsciences.org AIMS’ Journals Volume X, Number 0X, XX 200X pp. X–XX

UNE DÉCOMPOSITION INTÉRESSANTE D’UNE MATRICE DE GL_{2}(ℚ)

Olivier Lafleur

Département de Mathématiques Université de Sherbrooke 2500, boul. de l’Université Sherbrooke, Québec, J1K 2R1

Résumé. Cet article présente une décomposition semblable à l’algorithme d’Euclide pour décomposer n’importe quelle transformation de Möbius à coefficients rationnels en un produit de translations et d’inversions par rapport au cercle unité. Nous appliquons ensuite cette décomposition aux matrices de GL_{2}(ℚ).

1. Introduction. Les transformations de Möbius à coefficients réels sont les isométries du plan hyperbolique dans le modèle du demi-plan supérieur (on peut consulter [1] pour une introduction au sujet). On les identifie à P SL_{2}(ℝ) = SL_{2}(ℝ). Le groupe modulaire P SL_{2}(ℤ) en est un sous-groupe particulièrement intéressant. Il apparait notamment dans les travaux de Caroline Series sur le pavage de Farey ou les nombres de Markov. Dans [3], on parle de ce dernier sujet et on s’intéresse à la décomposition en fractions continues d’un nombre rationnel.

Il est bien connu que P SL_{2}(ℤ) est engendré par les classes d’équivalence de (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

et (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (on peut voir [4] par exemple). En voulant trouver une preuve de ceci,

nous nous sommes rendus compte que nous pourrions adapter l’algorithme d’Euclide (voir [2]) pour les matrices à coefficients rationnels à partir de la décomposition en fractions continues des transformations de Möbius du groupe modulaire.

2. Définitions.

Notation. On notera par ℂ̄ la sphère de Riemann ℂ ∪ {∞}.

Définition 1. Une transformation de Möbius est un homéomorphisme de ℂ̄ vers ℂ̄ de la forme :

z ↦ \frac{a_{1}z + b_{1}}{a_{2}z + b_{2}}

avec a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} ∈ ℂ, où a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2} ≠ 0.

2000 Mathematics Subject Classification. Principal: 15A23.

Key words and phrases. Matrices, factorisation, groupe modulaire.

Ce travail a été rendu possible grâce à la contribution financire du FQRNT, par l’entremise de Virginie Charette (Département de mathématiques, Université de Sherbrooke). Merci aussi à Bernard Wagneur, qui a accepté de m’aider pour la présentation écrite du rapport.

Les transformations de Möbius forment le groupe des transformations conformes de la sphère de Riemann ; celui-ci est isomorphe à P GL_{2}(ℂ) = GL_{2}(ℂ)/ < kI >, où k ∈ ℂ^{∗}. En effet, considérons

h : A ↦ T

où A = (\begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) et T : z ↦ \frac{a_{1}z+b_{1}}{a_{2}z+b_{2}} . Alors h est un homomorphisme surjectif et

A ∈ ker(h) si et seulement si A est un multiple non-nul de l’identité. On peut par exemple consulter [1] pour plus d’informations sur ce sujet.

Dans cet article, nous nous intéresserons exclusivement aux transformations de Möbius à coefficients rationnels et leur lien avec le groupe GL_{2}(ℚ).

Exemple 2.

Voici des exemples de transformations de Möbius :

a) La translation z ↦ z + c où c ∈ ℤ (de type parabolique)

b) L’inversion par rapport au cercle unité z ↦ \frac{−1}{z}

c) La transformation loxodromique z ↦ kz

d) La transformation elliptique z ↦ e^{iθ}

Pour que le déterminant d’une transformation de Möbius soit bien défini on simplifiera les coefficients fractionnaires pour que ceux-ci soient entiers. De plus, on supposera toujours que les coefficients entiers résultants auront 1 comme plus grand commun diviseur. Par convention, lorsque l’on parlera du plus grand commun diviseur on fera référence au plus grand commun diviseur positif des deux nombres.

Exemple 3.

Prenons la transformation z ↦ \frac{\frac{1}{2} z+ \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} z+ \frac{1}{2}} . On peut la simplifier pour qu’elle devienne

z ↦ \frac{6z+4}{3z+1}. Il suffit de se rappeler que le dénominateur commun dont nous avons eu besoin est 12.

Notation. Notons par ⌊a⌋ la partie entière de a.

Étant donnés a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} ∈ ℤ, on définit les suites {a_{i}}_{i≥1} et {b_{i}}_{i≥1} par récurrence :

a_{i} = ⌊\frac{a_{i−2}}{a_{i−1}} ⌋a_{i−1} − a_{i−2},i ∈ ℕ,i ≥ 3

b_{i} = ⌊\frac{a_{i−2}}{a_{i−1}} ⌋b_{i−1} − b_{i−2},i ∈ ℕ,i ≥ 3

3. Algorithme. Voici donc l’algorithme que nous utiliserons durant cet article. On remarque que celui-ci s’apparente à l’algorithme d’Euclide. Il nous permettra de décomposer une transformation de Möbius en translations et inversions.

UNE DÉCOMPOSITION INTÉRESSANTE D’UNE MATRICE DE GL_{2}(ℚ) 3

Algorithme 4.

Soit la transformation

T : z ↦ \frac{a_{1}z + b_{1}}{a_{2}z + b_{2}}

Étapes :

(1) On fait la décomposition comme suit :

\frac{a_{1}z + b_{1}}{a_{2}z + b_{2}} = \frac{⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋(a_{2}z + b_{2}) − ((⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋a_{2} − a_{1})z + (⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋b_{2} − b_{1}))}{a_{2}z + b_{2}}

= ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{a_{3}z + b_{3}}{a_{2}z + b_{2}}

puisque a_{3} = ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋a_{2} − a_{1} et b_{3} = ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋b_{2} − b_{1}.

(2) Si a_{3} = 0, l’algorithme cesse. La transformation se décompose alors comme suit :

\frac{a_{1}z + b_{1}}{a_{2}z + b_{2}} = ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{b_{3}}{a_{2}z + b_{2}}

Sinon, on continue l’algorithme.

(3) On réécrit la ”partie fractionnaire” :

= ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{1}{\frac{a_{2}z+b_{2}}{a_{3}z+b_{3}}}

(4) On refait les étapes jusqu’à ce que le coefficient a_{i+2} de z soit nul, ce qui nous donne une décomposition de la forme :

⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{1}{⌊\frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ − _{\frac{1}{⌊ \frac{a_{3}}{a_{4}} ⌋−_{\frac{1}{...− \frac{1}{⌊ \frac{a_{i}}{a_{i+1}} ⌋− \frac{b_{i+2}}{a_{i+1}z+b_{i+1}}}}}}}}

Cet algorithme se termine toujours puisqu’en réalité, nous appliquons l’algorithme d’Euclide classique (voir par exemple [2]) sur les coefficients a_{1} et a_{2}. On aura donc que les a_{i} en valeur absolue formeront une suite décroissante qui s’arrêtera à 0, ce qui est exactement notre critère d’arrêt.

Définition 5. On appellera l’application de cet algorithme sur une transformation de Möbius la décomposition euclidienne de la transformation de Möbius. De plus, on appellera la valeur b_{i+2} le reste de la décomposition.

4 OLIVIER LAFLEUR

Exemple 6.

Appliquons cette décomposition à la transformation z ↦ \frac{5z+2}{2z+5} :

\frac{5z + 2}{2z + 5} = \frac{2(2z + 5) − (−z + 8)}{2z + 5}

= 2 − \frac{−z + 8}{2z + 5}

= 2 − \frac{1}{\frac{2z+5}{−z+8}}

= 2 − \frac{1}{\frac{(−2)(−z+8)+21}{−z+8}}

= 2 − \frac{1}{(−2) − \frac{−21}{−z+8}}

Le reste de la décomposition est -21. Remarque 7.

On peut noter l’application de cet algorithme de la même façon que l’on note l’application de l’algorithme d’Euclide :

a_{1}z + b_{1} = ⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋(a_{2}z + b_{2}) − (a_{3}z + b_{3})
a_{2}z + b_{2} = ⌊\frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋(a_{3}z + b_{3}) − (a_{4}z + b_{4})
...
a_{i}z + b_{i} = ⌊\frac{a_{i}}{a_{i+1}} ⌋(a_{i+1}z + b_{i+1}) − (a_{i+2}z + b_{i+2})

4. Preuves. Nous allons maintenant démontrer deux lemmes bien connus qui nous seront utiles par la suite (on peut comparer avec [2]): Lemme 8. : Étant donnés a_{1},a_{2} quelconques et soit {a_{i}}_{i≥1} une suite d’entiers telle que a_{i} = ⌊\frac{a_{i−2}}{a_{i−1}} ⌋a_{i−1} − a_{i−2}, pour i ∈ ℕ,i ≥ 3. Alors pgcd(a_{i+1},a_{i}) = pgcd(a_{2},a_{1}).

Démonstration. On a

pgcd(a_{i+1},a_{i}) = pgcd(⌊\frac{a_{i−1}}{a_{i}} ⌋a_{i} − a_{i−1},a_{i})

Comme on sait que

pgcd(a + λb,b) = pgcd(a,b)

on trouve que :

pgcd(⌊\frac{a_{i−1}}{a_{i}} ⌋a_{i} − a_{i−1},a_{i}) = pgcd(a_{i−1},a_{i})

On trouve donc de proche en proche que :

pgcd(a_{i+1},a_{i}) = pgcd(a_{2},a_{1}).

Lemme 9. : Étant donnés a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} ∈ ℤ quelconques, soient {a_{i}}_{i≥1} la suite d’entiers telle que a_{i} = ⌊\frac{a_{i−2}}{a_{i−1}} ⌋a_{i−1} − a_{i−2}, pour i ∈ ℕ,i ≥ 3 et \{b_{i}\}_{i≥1} la suite d’entiers telle que b_{i} = ⌊\frac{a_{i−2}}{a_{i−1}} ⌋b_{i−1} − b_{i−2}, pour i ∈ ℕ,i ≥ 3. Alors a_{i}b_{i+1} − b_{i}a_{i+1} = a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2}.

Démonstration. On a :

a_{i}b_{i+1} − b_{i}a_{i+1} = a_{i}(⌊\frac{a_{i−1}}{a_{i}} ⌋b_{i} − b_{i−1}) − b_{i}(⌊\frac{a_{i−1}}{a_{i}} ⌋a_{i} − a_{i−1})
= a_{i−1}b_{i} − b_{i−1}a_{i}

D’où

a_{i}b_{i+1} − b_{i}a_{i+1} = a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2}.

Nous pouvons finalement en arriver à la proposition suivante :

Proposition 10. : Le reste de la décomposition euclidienne d’une transformation de Möbius T : z ↦ \frac{a_{1}z+b_{1}}{a_{2}z+b_{2}} avec a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} ∈ ℤ est

±\frac{det(T)}{pgcd(a_{1},a_{2})}

Démonstration. On s’intéresse à la dernière itération, la n^{e}:

a_{n}z + b_{n} = ⌊\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ⌋(a_{n+1}z + b_{n+1}) − (a_{n+2}z + b_{n+2})

On a a_{n+2} = ⌊\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ⌋a_{n+1} − a_{n} = 0. Cela nous donne

a_{n} = ⌊\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ⌋a_{n+1}

⟺\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = ⌊\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ⌋
⟺a_{n+1}|a_{n}

Le fait que a_{n+1} soit diviseur de a_{n} et le lemme 9 nous donnent

b_{n+2} = ⌊\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ⌋b_{n+1} − b_{n}

= \frac{a_{n}b_{n+1}}{a_{n+1}} − b_{n}

= \frac{a_{n}b_{n+1} − b_{n}a_{n+1}}{a_{n+1}}

= \frac{a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}}{a_{n+1}}

Comme a_{n+1}|a_{n},

pgcd(a_{n},a_{n+1}) = |a_{n+1}|

De plus, par le lemme 8 on a :

pgcd(a_{n},a_{n+1}) = pgcd(a_{1},a_{2})

Notre proposition est donc vérifiée.

Remarque 11. La décomposition euclidienne d’une transformation de Möbius T est de la forme :

⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{1}{⌊\frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ − _{\frac{1}{⌊ \frac{a_{3}}{a_{4}} ⌋−_{\frac{1}{...− \frac{1}{⌊ \frac{an}{a_{n+1}} ⌋± \frac{\frac{det(T)}{pgcd(a_{1},a_{2})}}{a_{n+1}z+b_{n+1}}}}}}}}

De plus, la décomposition euclidienne réduit une transformation de Möbius à coefficients entiers à la composition de translations et d’inversions (hormis la dernière transformation).

Exemple 12.

Si on reprend la transformation de Möbius de l’exemple 6, on voit qu’en réalité, on a réécrit la transformation comme la composition des fonctions suivantes :

f_{1} : z ↦ z + 2
f_{2} : z ↦ \frac{−1}{z}
f_{3} : z ↦ z − 2
f_{4} : z ↦ \frac{21}{−z + 8}

On a donc effectivement :

\frac{5z + 2}{2z + 5} = 2 − \frac{1}{(−2) + \frac{21}{−z+8}} = f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{4}(z)

5. Application à GL_{2}(ℚ). Appliquons cette décomposition à une matrice de GL_{2}(ℚ). On remarque que le noyau de la restriction de h à GL_{2}(ℚ) est < kI > où k ∈ ℚ^{∗}. Donc si on prend A ∈ GL_{2}(ℚ), dénotons par Ā l’unique matrice telle que

1) A = kĀ

2) Les entrées de Ā sont entières

3) Le plus grand commun diviseur des coefficients de Ā est 1.

Prenons par exemple A = (\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix}) de l’exemple 3.

Alors A = \frac{1}{12} (\begin{matrix}6 & 4 \\ 3 & 6 \end{matrix}) et Ā = (\begin{matrix}6 & 4 \\ 3 & 6 \end{matrix}).

Avec cette normalisation, il suffit tout simplement de prendre garde aux signes, car h(A) = h(−A). Prolongeons maintenant les définitions de décomposition et de reste de la décomposition à GL_{2}(ℤ). Dans ce cas-ci, notre décomposition sera donc :

A = \frac{1}{12} (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −8 \\ 3 & 6 \end{matrix})

Il y a certains cas où il faut faire attention aux signes lors de la décomposition. Par exemple, la transformation de l’exemple précédent. On peut réécrire cette composition de façon matricielle, en faisant bien attention de garder les signes aux mêmes

endroits. En effet, la fraction \frac{21}{−z+8} est égale à \frac{−21}{z−8}, mais la matrice (\begin{matrix}0 & −21 \\ 1 & −8 \end{matrix}) n’est pas égale à (\begin{matrix}0 & 21 \\ −1 & 8 \end{matrix})!

Donc, de façon matricielle, la décomposition est comme suit :

(\begin{matrix}5 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 21 \\ −1 & 8 \end{matrix})

Le fait que la composition des transformations de Möbius soit équivalente à la multiplication matricielle des matrices associées dans GL_{2}(ℚ) nous donne le théorème suivant :

Théoreme principal. Soit A ∈ GL_{2}(ℚ) et Ā = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℚ). Alors

A = \frac{1}{r} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{u_{1}} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{±1} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{u_{2}} ... (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{u_{n}} (\begin{matrix}0 & \frac{±det(Ā)}{pgcd(a,c)} \\ pgcd(a,c) & α \end{matrix})

où A = \frac{1}{r} Ā, r ∈ ℤ, et où α,u_{1}, …,u_{n} ∈ ℤ et u_{i} ≠ 0 pour i ∈ ℕ,1 < i < n.

Démonstration. Tout d’abord, on a que :

(\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{α}

ce qui nous permet de réécrire toute matrice de translation comme multiplication matricielle de la matrice de translation de une unité. Soit I la matrice identité. Par la proposition 10, les dernières matrices sont

E (\begin{matrix}0 & \frac{±det(A)}{pgcd(a,c)} \\ pgcd(a,c) & α \end{matrix})

où E = ±I. Or, E commute avec toutes les matrices. Si E = I, on a la bonne décomposition. Si E = −I, on multiplie n’importe laquelle des inversions (supposons sans perte de généralité la première) par −I , ce qui donne son inverse. On obtient ainsi la décomposition voulue.

6. Conséquences. De ce théorème et ces propositions, nous pouvons déduire les corollaires suivants :

Corollaire 13. Soit A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℚ) avec a,b,c,d ∈ ℤ. Le reste de la

décomposition euclidienne de A est det(A) si et seulement si a et c sont copremiers.

Ce corollaire s’applique aussi bien sûr aux transformations de Möbius à coefficients entiers.

Définition 14. On dit qu’une transformation de Möbius à coefficients entiers est complètement décomposable si sa décomposition est de la forme :

⌊\frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ − \frac{1}{⌊\frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ − _{\frac{1}{⌊ \frac{a_{3}}{a_{4}} ⌋−_{\frac{1}{...− \frac{1}{⌊ \frac{a_{i}}{a_{i+1}} ⌋− \frac{1}{z+α}}}}}}}

On peut remarquer que cela correspond au cas où la dernière matrice de la

décomposition est de la forme (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & α \end{matrix}) , qui se décompose de la façon suivante :

(\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & α \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix})

Corollaire 15. Une transformation de Möbius T à coefficients entiers est complètement décomposable si et seulement si det(T) = 1.

Le fait d’être complètement décomposable correspond au fait qu’une matrice peut être écrite comme produit de translations et d’inversions. Lorsque l’on ne fait pas attention au signe de la matrice, cela nous donne le résultat bien connu (voir [4] par exemple) :

Corollaire 16. Le groupe modulaire P SL_{2}(ℤ) est engendré par les matrices (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

et (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Il est donc toujours possible d’écrire une matrice de SL_{2}(ℤ) comme multipli-

cation matricielle des matrices (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) et (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}). Voyons maintenant quelques

exemples :

Exemple 17.

Prenons la transformation de Möbius M : z ↦ \frac{12z+3}{10z+2}. On voit que pgcd(12,10) = 2 et det(M) = 6. Si nous appliquons la décomposition euclidienne, cela nous donne :

12z + 3 = (1)(10z + 2) − (−2z − 1)
10z + 2 = (−5)(−2z − 1) − 3

On obtient donc la fraction continue :

\frac{12z + 3}{10z + 2} = 1 − \frac{1}{(−5) − \frac{3}{−2z−1}}

La décomposition matricielle nous donne donc :

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−5} (\begin{matrix}0 & −3 \\ −2 & −1 \end{matrix})

On voit que dans notre dernière matrice nous avons l’opposé du plus grand commun diviseur, −2. Multiplions donc la matrice de la première inversion par −I et la dernière matrice aussi par −I. Nous arrivons donc exactement à la forme de la décomposition du théorème :

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−5} (\begin{matrix}0 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})

Exemple 18.

Prenons la transformation de Möbius \frac{3z+1}{5z+2} à déterminant 1. On obtient :

3z + 1 = (0)(5z + 2) − (−3z − 1)
5z + 2 = (−1)(−3z − 1) − (−2z − 1)
−3z − 1 = (1)(−2z − 1) − (z)
−2z − 1 = (−2)(z) − 1

On obtient donc la fraction continue :

\frac{3z + 1}{5z + 2} = 0 − \frac{1}{(−1) − _{\frac{1}{1−_{\frac{1}{(−2)− \frac{1}{z}}}}}}

Nous pouvons donc décomposer de cette façon cette matrice de SL_{2}(ℤ) :

(\begin{matrix}3 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−2} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Voyons maintenant un dernier exemple :

Exemple 19.

Prenons la transformation de Möbius z ↦ \frac{\frac{z}{15} + \frac{1}{10}}{\frac{z}{10} + \frac{1}{6}} . Tout d’abord, simplifions-la en mettant le numérateur et le dénominateur tous les deux sur 30. On a donc \frac{\frac{z}{15} + \frac{1}{10}}{\frac{z}{10} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2z+3}{30}}{\frac{3z+5}{30}} = \frac{2z+3}{3z+5}. Cette dernière transformation a pour décomposition : \frac{2z+3}{3z+5} = 0 − _{\frac{1}{(−1)−_{\frac{1}{(2)− \frac{(−1)}{−z−2}}}}}

Sa décomposition matricielle est donc :

(\begin{matrix}\frac{1}{15} & \frac{1}{10} \\ \frac{1}{10} & \frac{1}{6} \end{matrix}) = \frac{1}{30} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

= \frac{1}{30} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{2} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{2}

Références

[1] J.W. ANDERSON, Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, 1999 [2] G.H. HARDY et E.M. WRIGHT, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science

Publications, 1979

[3] C. SERIES, The geometry of Markoff numbers, The Mathematical Intelligencer, 1985

[4] T.M. APOSTOL, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd Edition, Springer, 1990, p.28

Received April 7, 2008; revised April 2008.

   E-mail address: Olivier.Lafleur@USherbrooke.ca