Étude comparative de quelques modèles non linéaires d’ajustement de courbes sur des données

réelles

François DUBEAU et Youness MIR

Département de mathématiques Université de Sherbrooke 2500 Boulevard de l’Université Sherbrooke (Qc), Canada, J1K 2R1

francois.dubeau@usherbrooke.ca youness.mir@usherbrooke.ca

Résumé : Nous comparons quelques modèles d’ajustement à un ensemble de données réelles à l’aide de la méthode des moindres carrés pondérés. Nous discutons de chacun des modèles ainsi que de l’initialisation de l’algorithme d’optimisation utilisé pour résoudre ces problèmes.

Mots clés : moindres carrés pondérés, modèle polynomial, modèle de Gompertz, modèle logistique, modèle de Richards, modèle de Bridge, modèle de Michaelis-Menten.

1. Introduction

Ce travail se veut une étude comparative de modèles de lissages dont les paramètres sont déterminés à partir de la méthode des moindres carrés. Les modèles sont énumérés dans le Tableau 7 ci-après.

Modèle  fonction  paramètres
Gompertz  y_{G}(t) = e^{a−be^{−ct}}  a, b, c ∈ ℝ
Logistique  y_{L}(t) = \frac{a}{1−be^{−ct}}  a, b, c ∈ ℝ
Richards  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m} a, b, c, m ∈ ℝ
Bridge  y_{B}(t) = a(1 − e^{−mt^{b}})  a, b, m ∈ ℝ
Michaelis-Menten y_{M}(t) = \frac{ω_{0}k^{c}+ω_{f} t^{c}}{k^{c}+t^{c}} ω_{0}, k, c, ω_{f} ∈ ℝ

Table 1. Liste des modèles de lissage.

Notons par θ les paramètres d’un modèle, par Θ l’ensemble admissible des valeurs des paramètres et par y(t; θ) le modèle de lissage. Les paramètres des modèles sont estimés à l’aide de la méthode des moindres carrés pondérés en minimisant la fonctionnelle

F (θ) = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} ω_{i}[y(t_{i}; θ) − f_{i}]^{2}. (1.1)

On obtient

F^{∗} = min_{θ∈Θ} F (θ).

et

θ^{∗} = argmin_{θ∈Θ} F (θ).

La méthode numérique de minimisation retenue pour les calculs est une modification de la méthode de Newton, l’algorithme de Levenberg-Marquardt [4, ?], largement employé dans la pratique et qui utilise l’approche de région de confiance.

2. Les données

Les données utilisées dans ce travail sont des mesures de jaugeage obtenues sur deux affluents de la rive droite du bassin Bandama (Côte d’Ivoire), le Marahoué à Route de Béoumi (principal affluent de la rive droite) et le Bou à Route de Boron. Les données sont de la forme {(ω_{i}, t_{i}, f_{i})}_{i=1}^{m} avec t_{1} < t_{2} < … < t_{m} et ω_{i} > 0.

Pour le Marahoué, la station est placée sur la rive gauche, au droit de la piste menant au bac, venant de Béoumi et se dirigeant sur Séguela. Au total 185 mesures de jaugeage ont été effectuées avec des débits allant de 0 m^{3}/s jusqu’à 670 m^{3}/s, permettant un étalonnage satisfaisant aux débits faibles (Figure 11(a)), moyens (Figure 11(b)) et forts (Figure 11(c)). Les observations (voir Tableau 27) sont biquotidiennes depuis 1954 et elles sont assez complètes et de bonne qualité. Le tarage est univoque, mais non stable, et la courbe (Figure 11(d)) présente un point d’inflexion dû certainement à un contrôle des écoulements à l’aval de la station.

Pour la station de Bou à Boron, le tarage est aussi univoque, mais pas stable. Au total 194 mesures de jaugeage ont été effectuées entre les débits allant de 0 m^{3}/s jusqu’à 113 m^{3}/s et permettant un étalonnge satisfaisant en basses (Figure 12(a)), moyennes (Figure 12(b)) et hautes (Figure 12(c)) eaux. Les observations (voir Tableau 28) sont biquotidiennes depuis 1974 et elles sont assez complètes et de bonne qualité. Le tarage a évolué au cours du temps et la courbe se trouve donc décalée (Figure 12(d)) et présente aussi un point d’inflexion.

Comme la nature et l’allure générale de ces données suggère une courbe croissante avec un point d,inflexion, nous allons chercher essentiellement des valeurs des paramètres qui nous assurent que le modèle possède ces caractéristiques.

Comme modèle initial, nous considérons une fonction polynomiale du troisième degré de la forme

(2.1)  p_{3}(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3}

où a, b, c et d ∈ ℝ. Ce modèle, bien qu’inadéquat, servira de point de comparaison et sera utilisé pour l’initialisation de l’algorithme d’optimisation pour certains des modèles considérés. Le meilleur polynôme de degré 3 au sens des moindres carrés

p_{3}^{∗}(t) = a^{∗} + b^{∗}t + c^{∗}t^{2} + d^{∗}t^{3}

est décrit au Tableau 7 pour chacun des deux ensembles de données.

3. Les modèles

Dans cette section nous décrivons chacun des modèles testés sur les ensembles de données. Ils ont tous des valeurs des paramètres permettant d’obtenir une courbe avec un point d’inflexion.

3.1. Fonction de Gompertz. Nous avons

(3.1)  y_{G}(t; a, b, c) = e^{a−be^{−ct}}

où a, b et c ∈ ℝ. Ainsi cette fonction est toujours positive. De plus

y_{G}^{(1)}(t; a, b, c) = bce^{−ct}y_{G}(t; a, b, c) (3.2a) et

y_{G}^{(2)}(t; a, b, c) = cy_{G}^{(1)}(t; a, b, c)[be^{−ct} − 1]. (3.2b)

Pour bc > 0, la fonction est croissante.

• Si b < 0 et c < 0, be^{−ct} − 1 < 0 pour tout t, ainsi y_{G}^{(2)}(t; a, b, c) > 0 et la fonction est convexe avec

lim_{t→+∞} y_{G}(t; a, b, c) = +∞,
lim_{t→−∞} y_{G}(t; a, b, c) = e^{a}.

Figure 1. Graghe de la fonction de Gompertz pour b < 0 et c < 0.

• Si b > 0 et c > 0, y_{G}^{(2)}(t; a, b, c) s’annule lorsque be^{−ct} − 1 = 0, c’est-à-dire en t̃ = \frac{ln(b)}{c}. La fonction est convexe si t < t̃ et concave si t > t̃. Elle a un point d’inflexion en (t̃, ỹ) = (\frac{ln(b)}{c}, e^{a−1}). Aussi

lim_{t→+∞} y_{G}(t; a, b, c) = e^{a},
lim_{t→−∞} y_{G}(t; a, b, c) = 0.

Pour bc < 0, la fonction est décroissante. On se remène au cas précédent en remplaçant t par −t et c par −c.

Figure 2. Graghe de la fonction de Gompertz pour b > 0 et c > 0.

3.2. Fonction Logistique. Nous avons

(3.3)  y_{L}(t; a, b, c) = \frac{a}{1 − be^{−ct}}

où a, b et c ∈ ℝ. Notons que nous avons la relation

y_{L}(t; a, b, c) = a − y_{L}(t; a, \frac{1}{b}, −c).

On a également

y_{L}^{(1)}(t; a, b, c) = −\frac{abce^{−ct}}{(1 − be^{−ct})^{2}} . (3.4a)

et

y_{L}^{(2)}(t; a, b, c) = \frac{abc^{2}e^{−ct}(1 + be^{−ct})}{(1 − be^{−ct})^{3}}. (3.4b)

Supposons a > 0, pour a < 0 on aura une analyse symétrique par rapport à l’axe des x.

• Si b > 0 cette fonction a une asymptote verticale en t_{∗} = \frac{ln(b)}{c}. Si c > 0 la fonction est décroissante, de plus elle est convexe si t < t_{∗} et concave si t > t_{∗} avec

lim_{t→+∞} y_{L}(t; a, b, c) = a et lim_{t→−∞} y_{L}(t; a, b, c) = 0,
lim_{t→t_{∗}^{+}} y_{L}(t; a, b, c) = +∞ et lim_{t→t_{∗}^{−}} y_{L}(t; a, b, c) = −∞.

Si c < 0 on remplace c par −c et t par −t et on aura les mêmes analyses du cas c > 0.

• Si b < 0, y_{L}(t; a, b, c) est toujours du même signe que a. Si c > 0 cette fonction est croissante et sa dérivée seconde s’annule en t̃ = ln |b|/c. La fonction est convexe si t < t̃, concave si t > t̃ et admet un point d’inflexion en (t̃, ỹ) = (\frac{ln |b|}{c}, \frac{a}{2}). Aussi Figure 3. Graghe de la fonction logistique pour a > 0, b > 0 et c > 0.

lim_{t→+∞} y_{L}(t; a, b, c) = a,
lim_{t→−∞} y_{L}(t; a, b, c) = 0.

Si c < 0, il suffit de remplacer t par −t et c par −c et on aura une analyse similaire au cas c > 0.

Figure 4. Graghe de la fonction logistique pour a > 0, b < 0 et c > 0.

3.3. Fonction de Richards ou logistique généralisée. Nous avons

(3.5)  y_{R}(t; a, b, c, m) = a(1 − be^{−ct})^{m}

où a, b,c et m ∈ ℝ. La fonction est définie lorsque 1 − be^{−ct} ≥ 0. Dans ce cas nous avons

y_{R}^{(1)}(t; a, b, c) = abcm[1 − be^{−ct}]^{m−1}e^{−ct} = \frac{mbce^{−ct}}{1 − be^{−ct}} y_{R}(t; a, b, c). (3.6a)

et

y_{R}^{(2)}(t; a, b, c) = −cy_{R}^{(1)}(t; a, b, c)\frac{[1 − mbe^{−ct}]}{1 − be^{−ct}}. (3.6b)

Comme la fonction est du signe de a, on suppose que a > 0. Pour a < 0 on aura une étude symétrique par rapport à l’axe des x.

• Si b > 0, 1 − be^{−ct} = 0 si et seulement si t_{∗} = \frac{ln(b)}{c}. Si c > 0, on doit avoir t > t_{∗}. Dans ce cas la fonction est décroissante et convexe si m < 0, croissante et concave si 0 < m < 1. Si m ≥ 1 cette fonction et toujours croissante et sa dérivée seconde s’annule lorsque t̃= \frac{ln(mb)}{c}. La fonction est convexe si t_{∗} < t < t̃, concave si t̃ < t et (t̃, ỹ) = (t_{∗} + \frac{ln(m)}{c}, a(1 − \frac{1}{m})^{m}) est un point d’inflexion. De plus

lim_{t→+∞} y_{R}(t; a, b, c) = a,

lim_{t→t_{∗}^{+}} y_{R}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}0 & si m > 0, \\ a & si m = 0, \\ +∞ & si m < 0. \end{matrix}

Si c < 0 on remplace t par −t et c par −c et on aura une réflexion par rapport à l’axe des y.

Figure 5. Graghe de la fonction de Richards pour a > 0, b > 0 et c > 0.

• Si b < 0 la fonction est définie sur ℝ tout entier. Pour c > 0 nous avons

lim_{t→+∞} y_{R}(t; a, b, c) = a,

lim_{t→−∞} y_{R}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}+∞ & si m > 0, \\ 0 & si m < 0. \end{matrix}

Cette fonction est décroissante et convexe si m > 0. Si m < 0 la fonction est croissante et la dérivée seconde s’annule lorsque t̃ = \frac{ln(mb)}{c}, ainsi la fonction est convexe si t < t̃ et concave si t > t̃. Elle a un point d’inflexion en (t̃, ỹ) = (\frac{ln(mb)}{c}, a(1 − \frac{1}{m})^{m}). Pour c < 0 on remplace c par −c et t par −t comme précédemment.

Figure 6. Graghe de la fonction de Richards pour a > 0, b < 0 et c > 0.

3.4. Fonction de Bridge. On a

(3.7)  y_{B}(t; a, b, m) = a(1 − e^{−mt^{b}})

avec t ≥ 0 et a, b, m ∈ ℝ. Notons que

y_{B}(t; a, b, m) = y_{B}(\frac{1}{t}; a, −b, m).

Aussi y_{B}(1; a, b, c) = a [1 − e^{−m}] et

y_{B}^{(1)}(t; a, b, c) = ambt^{b−1}e^{−mt^{b}} = ambt^{b−1}(1 − \frac{y_{B}(t; a, b, c)}{a}) (3.8a)

et

y_{B}^{(2)}(t; a, b, c) = y_{B}^{(1)}(t; a, b, c) [\frac{(b − 1) − mbt^{b}}{t} ] . (3.8b)

Supposons a > 0, pour le cas a < 0 on aura une étude symétrique par rapport à l’axe des x. Ainsi y_{B}^{(1)} est du signe de mb et y_{B}^{(2)} est du signe du produit des signes de y_{B}^{(1)} et de (b − 1) − mbt^{b}. Cette dernière expression s’annule lorsque (b − 1) − mbt^{b} = 0 où encore si t^{b} = \frac{b−1}{mb}. Comme t^{b} > 0, on doit avoir \frac{b−1}{mb} > 0 c’est-à-dire mb > 0 et b > 1 ou mb < 0 et b < 1.

• Si m > 0 on a

lim_{t→0^{+}} y_{B}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}0 & si b > 0, \\ a(1 − e^{−m}) & si b = 0, \\ a & si b < 0, \end{matrix}

et

lim_{t→+∞} y_{B}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}a & si b > 0, \\ a(1 − e^{−m}) & si b = 0, \\ 0 & si b < 0. \end{matrix}

• Si m < 0 on a

lim_{t→0^{+}} y_{B}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}0 & si b > 0, \\ a(1 − e^{−m}) & si b = 0, \\ −∞ & si b < 0. \end{matrix}

et

lim_{t→+∞} y_{B}(t; a, b, c) = \{ \begin{matrix}−∞ & si b > 0, \\ a(1 − e^{−m}) & si b = 0, \\ 0 & si b < 0. \end{matrix}

Ainsi

• Pour b > 1 : si m < 0 la fonction est décroissante et convexe et si m > 0 cette fonction est croissante et sa dérivée seconde s’annule en t̃= (\frac{b−1}{mb})^{1/b}. Dans ce cas la fonction est convexe si t < t̃ et concave si t > t̃ et admet un point d’inflexion (t̃, ỹ) = ((\frac{b−1}{mb})^{1/b}, a(1 − e^{− \frac{b−1}{b}} )).

Figure 7. Graghe de la fonction de Bridge pour a > 0 et b > 1.

• Pour 0 < b < 1 : si m > 0 la fonction est croissante et concave et si m < 0 la fonction est décroissante et sa dérivée seconde s’annule en t̃= (\frac{b−1}{mb})^{1/b}. La fonction est convexe si t < t̃ et concave si t > t̃ et a un point d’inflexion (t̃, ỹ) = ((\frac{b−1}{mb})^{1/b} , a(1 − e^{− \frac{b−1}{b}} )).

• Pour b < 0 : si m > 0 la fonction est décroissante et sa dérivée seconde s’annule en t̃ = (\frac{b−1}{mb})^{1/b}. Elle est également convexe si t > t̃ et concave si t < t̃ et admet un point d’inflexion (t̃, ỹ) = ((\frac{b−1}{mb})^{1/b}, a(1 − e^{− \frac{b−1}{b}} )). Si m < 0 la fonction est croissante et concave.

Figure 8. Graghe de la fonction de Bridge pour a > 0 et 0 < b < 1.

Figure 9. Graghe de la fonction de Bridge pour a > 0 et b < 0. 3.5. Fonction de Michaelis-Menten. On a

(3.9)  y_{M}(t; ω_{0}, ω_{f}, k, c) = \frac{ω_{0}k^{c} + ω_{f}t^{c}}{k^{c} + t^{c}}

avec ω_{0}, ω_{f}, c ∈ ℝ, k > 0 et t ≥ 0. En posant

φ(t; c) = \frac{1}{1 + t^{c}} .

nous avons

y_{M}(t; ω_{0}, ω_{f}, k, c) = ω_{f} + (ω_{0} − ω_{f})φ(\frac{t}{k}; c).

Ainsi

y_{M}^{(1)}(t; ω_{0}, ω_{f}, k, c) = \frac{(ω_{0} − ω_{f})}{k}φ^{(1)}(\frac{t}{k}; c), (3.10a)

et

y_{M}^{(2)}(t; ω_{0}, ω_{f}, k, c) = \frac{ω_{0} − ω_{f}}{k^{2}} φ^{(2)}(\frac{t}{k}; c), (3.10b)

avec

φ^{(1)}(t; c) = −\frac{ct^{(c−1)}}{(1 + t^{c})^{2}} , (3.11a)

et

φ^{(2)}(t; c) = c\frac{t^{(c−2)}}{(1 + t^{c})^{3}} [(c + 1)t^{c} − (c − 1)] . (3.11b)

Ainsi y_{M}^{(1)} est du signe de (ω_{0} − ω_{f})φ^{(1)} et y_{M}^{(2)} est du signe de (ω_{0} − ω_{f})φ^{(2)}.

Notons que pour la fonction φ nous avons les résultats suivants

φ(t; c) = 1 − φ(t; −c),

lim_{t→X} φ(t; c) = \{ \begin{matrix}1 & si & σc > 0, \\ 0 & si & σc < 0, \end{matrix} avec \begin{matrix}σ = +1 & si & X = 0^{+}, \\ σ = −1 & si & X = +∞, \end{matrix}

et

lim_{t→0^{+}} φ^{(1)}(t; c) = − lim_{t→0^{+}} φ^{(1)}(t; −c) = \{ \begin{matrix}−∞ & si & 0 < c < 1, \\ −1 & si & c = 1, \\ 0 & si & c > 1. \end{matrix}

De plus, si −∞ < c < −1 cette fonction est croissante et sa dérivée seconde

s’annule en t = t̃ = (\frac{c−1}{c+1})^{1/c}, la fonction est convexe si t < t̃ et concave si t > t̃. Si −1 ≤ c < 0 la fonction est croissante et concave. Si 0 < c ≤ 1 la fonction est décroissante et convexe. Enfin si 1 < c < +∞ elle est décroissante et sa dérivée seconde s’annule en t = t̃, et la fonction est convexe si t > t̃ et concave si t < t̃.

(a) b > 0  (b) b < 0

Figure 10. Graphe de la fonction φ(t; c).

4. Résultats.

4.1. Modèles et paramètres. Suite à l’analyse de la section précédente, nous ne retenons que les valeurs des paramètres succeptibles de donner un courbe croissante avec un point d’inflexion. Chacun des modèles ainsi que les valeurs des paramètres sont résumés dans le tableau ci-après. Notons qu’on peut ajouter une constante additive aux expressions des modèles Gompertz, logistique, Richards et Bridge sans changer le comportement des graphes de ces fonctions. Pour la fonction de Michealis-Menten, l’ajout d’une constante additive est inutile. Tout ceci est résumé au Tableau 2.

Dans la suite de cette section nous suggérons une façon d’initialiser l’algorithme d’optimisation et donnons les résultats du lissage sur les deux ensembles de données.

Modèle  fonction  paramètres
Gompertz  y_{G}(t) = e^{a−be^{−ct}}  a ∈ ℝ, b > 0, c > 0
Logistique  y_{L}(t) = \frac{a}{1−be^{−ct}}  a > 0, b < 0, c > 0
Richards  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m} a > 0, b > 0, c > 0, m > 1
a > 0, b < 0, c > 0, m < 0
Bridge  y_{B}(t) = a(1 − e^{−mt^{b}})  a > 0, b > 1, m > 0
Michaelis-Menten y_{M}(t) = \frac{ω_{0}k^{c}+ω_{f} t^{c}}{k^{c}+t^{c}} ω_{0} ∈ ℝ, ω_{0} < ω_{f}, k > 0, c > 1

Table 2. Valeurs des paramètres des modèles de lissage.

Modèle  point d’inflexion
Gompertz  (\frac{ln(b)}{c}, e^{a−1})
Logistique  (\frac{ln(|b|)}{c}, \frac{a}{2})
Richards  (\frac{ln(mb)}{c}, a(1 − \frac{1}{m})^{m})
Bridge  ((\frac{b−1}{mb})^{1/b}, a(1 − e^{− \frac{b−1}{b}} ))
Michaelis-Menten (k(\frac{c−1}{c+1})^{1/c}, \frac{ω_{0}+ω_{f}}{2} − \frac{(ω_{f} −ω_{0})}{2c})

Table 3. Points d’inflexion des modèles de lissage.

4.2. Initialisation de l’algorithme.

4.2.1. Introduction. Pour certains modèles, la méthode d’initialisation est basée sur un choix approprié de trois points (τ_{k}, φ_{k}) qui sont représentatifs de la courbe. Pour déterminer ces trois points on procède comme suit. Soit ω = Σ_{i=1}^{m}ω_{i} et supposons 0 < α < 1/2. On choisit en premier j_{1} et i_{3} tels que

1 = i_{1} < j_{1}  et  ∑_{i=i_{1}}^{j_{1}} ω_{i} ≈ αω,

i_{3} < j_{3} = m  et  ∑_{i=i_{3}}^{j_{3}} ω_{i} ≈ αω,

et on pose

τ_{1} = \overline{t}_{1} = \frac{∑_{i=i_{1}}^{j_{1}} ω_{i}t_{i}}{∑_{i=i_{1}}^{j_{1}} ω_{i}}  et φ_{1} = \overline{f}_{1} = \frac{∑_{i=i_{1}}^{j_{1}} ω_{i}f_{i}}{∑_{i=i_{1}}^{j_{1}} ω_{i}}

τ_{3} = \overline{t}_{3} = \frac{∑_{i=i_{3}}^{j_{3}} ω_{i}t_{i}}{∑_{i=i_{3}}^{j_{3}} ω_{i}}  et φ_{3} = \overline{f}_{3} = \frac{∑_{i=i_{3}}^{j_{3}} ω_{i}f_{i}}{∑_{i=i_{3}}^{j_{3}} ω_{i}} .

Ensuite on pose τ_{2} = \frac{τ_{1}+τ_{3}}{2} et on determine 1 ≤ i_{2} ≤ j_{2} ≤ m tels que

τ_{2} ≈ \overline{t}_{2} = \frac{∑_{i=i_{2}}^{j_{2}} ω_{i}t_{i}}{∑_{i=i_{2}}^{j_{2}} ω_{i}}  et  ∑_{i=i_{2}}^{j_{2}} ω_{i} ≈ αω

et on pose

φ_{2} = \overline{f}_{2} = \frac{∑_{i=i_{2}}^{j_{2}} ω_{i}f_{i}}{∑_{i=i_{2}}^{j_{2}} ω_{i}}

Donnons maintenant la solution du système non-linéaire de 3 équations à 3 inconnues suivant

(4.1)  φ_{k} = a + be^{cτ_{k}}  (k = 1, 2, 3)

sous la condition que τ_{2} = \frac{τ_{1}+τ_{3}}{2} . Nous obtenons

a = φ_{1} − \frac{(φ_{2} − φ_{1})^{2}}{φ_{3} − 2φ_{2} + φ_{1}} ,
b = \frac{(φ_{2} − φ_{1})^{2}}{φ_{3} − 2φ_{2} + φ_{1}} (\frac{φ_{2} − φ_{1}}{φ_{3} − φ_{2}} )^{2τ_{1}/(τ_{3}−τ_{1})},
c = \frac{2}{τ_{3} − τ_{1}} ln (\frac{φ_{3} − φ_{2}}{φ_{2} − φ_{1}} ).

La solution de (4.1) est notée θ_{0} = (a_{0}, b_{0}, c_{0}).

4.2.2. Fonction de Gompertz. Pour l’initialisation nous utilisons les trois points obtenus à la Section 4.2.1 et nous résolvons le système de 3 équations non linéaires à 3 inconnues suivant

φ_{k} = e^{a−be^{−cτ_{k}}} (k = 1, 2, 3)

ou bien

(4.2)  ln(φ_{k}) = a − be^{−cτ_{k}}  (k = 1, 2, 3),

et notons θ_{0} = (a_{0}, b_{0}, c_{0}) la solution de (4.2).

4.2.3. Fonction logistique. Pour l’initialisation nous utilisons trois points obtenus de la façon suivante. Nous prenons l’abscisse t̃ du point d’inflexion et les abscisses t_{min} et t_{max} des optimum locaux de p_{3}^{∗}, nous posons

τ_{1} = t̃− α(t_{max} − t_{min}),
τ_{3} = min{t̃+ α(t_{max} − t_{min}), t_{m}},
τ_{2} = \frac{τ_{1} + τ_{3}}{2}

pour α > 0 et prenons φ_{k} = p_{3}^{∗}(τ_{k}) pour k = 1, 2, 3. Il faut toutefois s’assurer que τ_{1} > t_{min} avec p_{3}^{∗}(τ_{1}) > 0. Ensuite nous résolvons le système

φ_{k} = \frac{a}{1 − be^{−cτ_{k}}} (k = 1, 2, 3)

ou bien

(4.3)  \frac{1}{φ_{k}} = \frac{1}{a} − \frac{b}{a}e^{−cτ_{k}}  (k = 1, 2, 3),

et notons θ_{0} = (a_{0}, b_{0}, c_{0}) la solution de (4.3).

4.2.4. Fonction de Richards ou logistique généralisée. Nous avons deux cas à considérer.

Cas 1 : a > 0, b > 0, c > 0 et m > 1. Nous prenons α = (1 − \frac{1}{m_{0}} )^{m_{0}} ∈ (0, e^{−1}),

posons t̄= t_{min} + α(t_{max} − t_{min}), a_{0} = \frac{p_{3}^{∗}(t̄)−p_{3}^{∗}(t_{min})}{α}, b_{0} = 1 et c_{0} = \frac{ln(m_{0})}{t̄}.

Cas 2 : a > 0, b < 0, c > 0 et m < 0. Nous prenons la solution optimale a_{0} = a^{∗}, b_{0} = b^{∗} et c_{0} = c^{∗} du modèle précédent (ou de son initialisation) et prenons m_{0} = −1.

4.2.5. Fonction de Bridge. Pour l’initialisation nous utilisons le polynôme p_{3}^{∗}, son point d’inflexion t̃ et son maximum local t_{max}^{∗}. Nous avons a_{0} = p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗}) et la relation \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})} ≅ 1 − e^{− \frac{b−1}{b}}. On a 0 < \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})} < 1, d’où on tire −1 + \frac{1}{b_{0}} =

ln(1 − \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) ∈ (−∞, 0). Si 0 < \frac{1}{b_{0}} = 1 + ln(1 − \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) < 1, alors b_{0} > 1, par

contre si \frac{1}{b_{0}} = 1 + ln(1 − \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) < 0, on a b_{0} < 0. Dans les deux cas on tire m_{0} = \frac{b_{0}−1}{b_{0}t̃^{b_{0}}} . On prend alors (a_{0}, b_{0}, c_{0}) comme approximation initiale.

4.2.6. Fonction de Michaelis-Menten. Pour initialiser les paramètres de ce modèle nous prenons ω_{0} et ω_{f} comme étant les valeurs des minimum et maximum locaux de p_{3}^{∗}. Ensuite, si (τ̄_{1}, φ̄_{1}) et (τ̄_{2}, φ̄_{2}) sont deux points représentatifs de la courbe,

alors φ̄_{i} ≅ ω_{f} + \frac{ω_{0} − ω_{f}}{1 + (τ̄_{i}/k)^{c}} (i = 1, 2). (par exemple ces deux points pourraient être

deux des trois points calculés à la Section 4.2.1 ou de façon semblable). Posons

α_{1} = \frac{ω_{f} − φ̄_{1}}{ω_{f} − ω_{0}} ≅ \frac{1}{1 + (τ̄_{1}/k)^{c}} et α_{2} = \frac{ω_{f} − φ̄_{2}}{ω_{f} − ω_{0}} ≅ \frac{1}{1 + (τ̄_{2}/k)^{c}} ,

on a (\frac{τ̄_{1}}{k} )^{c} ≅ \frac{1}{α_{1}} − 1 et (\frac{τ̄_{2}}{k} )^{c} ≅ \frac{1}{α_{2}} − 1. Ainsi (\frac{τ̄_{1}}{τ̄_{2}} )^{c} ≅ \frac{1/α_{1} − 1}{1/α_{2} − 1} et par

conséquent

c_{0} = \begin{matrix}ln & ((\frac{1}{α_{1}} − 1)(\frac{1}{α_{2}} − 1)) \\ ln & (τ̄_{1}/τ̄_{2}) \end{matrix}.

De plus c [ln(τ̄_{1}) + ln(τ̄_{2})] − 2c ln k ≅ ln (\frac{1}{α_{1}} − 1) + ln (\frac{1}{α_{2}} − 1), donc

\frac{(τ̄_{1}τ̄_{2})^{c}}{k^{2c}} ≅ (\frac{1}{α_{1}} − 1) (\frac{1}{α_{2}} − 1) ,

et ainsi

ln(k_{0}) = \frac{1}{2c_{0}} ln[\frac{(τ̄_{1}τ̄_{2})_{0}^{c}}{(\frac{1}{α_{1}} − 1)(\frac{1}{α_{2}} − 1)}].

5. Modèles complémentaires

Trois des cinq modèles étudiés à la Section 3 peuvent être modifiés, pour certaines valeurs des paramètres, et donner des courbes croissantes avec un point d’inflexion. Ce sont les modèles de Gompertz, de Richards (pour b < 0 et m < 0) et de Bridge.

Modèle  fonction  paramètres
Gompertz modifié  yG̃(t) = e^{a} − e^{a−be^{−ct}}  a ∈ ℝ, b > 0, c < 0
Richards modifié yR̃(t) = a − a(1 − be^{−ct})^{m} a > 0, b < 0, c < 0, m < 0
Bridge modifié  yB̃(t) = ae^{−mt^{b}}  a > 0, b < 0, m > 0

Table 4. Valeurs des paramètres des modèles de lissage.

Modèle  point d’inflexion
Gompertz modifié  (\frac{ln(b)}{c}, e^{a}(1 − \frac{1}{e})
Richards modifié (\frac{ln(mb)}{c}, a(1 − (1 − \frac{1}{m})^{m}))
Bridge modifié  ((\frac{b−1}{mb})^{1/b}, ae^{− \frac{b−1}{b}})

Table 5. Points d’inflexion des modèles de lissage.

5.1. Gompertz. Pour b > 0 et c < 0 le graphe de la fonction de Gompertz a aussi un point d’inflexion mais est décroissante. Dans ce cas si on prend plutôt

yG̃(t; a, b, c) = e^{a} − y_{G}(t; a, b, c) = e^{a}(1 − e^{−be^{−ct}})

on aura un point d’inflexion en (t̃, ỹG̃) = (\frac{ln(b)}{c}, e^{a}(1 − e^{−1})) et la courbe sera croissante.

Pour l’initialisation, prenons e^{a_{0}} = p_{3}^{∗}(t_{max}) − p_{3}^{∗}(t_{min}). Ensuite on a 1 − \frac{yG̃}{e^{a_{0}}} = e^{−be^{−ct}} qu’on transforme en prenant le logarithme. Ainsi on a ln(− ln(1 − \frac{yG̃}{e^{a_{0}}} )) = ln(b)−ct. Pour déterminer b_{0} et c_{0} on utilise deux points du polynôme p_{3}^{∗}, (τ_{l}, p_{3}^{∗}(τ_{l}) pour l = 1, 2.

5.2. Richards. Pour le cas a > 0, b < 0, c < 0 et m < 0, en prenant

yR̃(t; a, b, c) = a − y_{R}(t; a, b, c) = a(1 − (1 − be^{−ct})^{m}))

la courbe sera croissante avec un point d’inflexion en (t̃, ỹG̃) = (\frac{ln(mb)}{c}, a(1 − (1 − \frac{1}{m})^{m})).

Pour l’initialisation, on prend a_{0} = p_{3}^{∗}(t_{max}). Ensuite on fixe un bon α = 1 − (1 − \frac{1}{m})^{m} ∈ (0, 1 − \frac{1}{e}). Comme on veut que la valeur en t = 0 soit petite on pose yR̃(0) = a(1 − (1 − b)^{m}) = ϵa d’où b_{0} = 1 − (1 − ϵ)^{1/m}. Ensuite on prend t̄ = t_{min} + α(t_{max} − t_{min}) = \frac{ln(m_{0}b_{0})}{c_{0}}, en s’assurant que 0 < m_{0}b_{0} < 1 pour que c_{0} < 0.

5.3. Bridge. Pour le cas a > 0, b < 0 et m > 0, on peut prendre

yB̃(t; a, b, m) = a − y_{B}(t; a, b, m) = ae^{−mt^{b}}.

Cette fonction est croissante et aura un point d’inflexion. On utilise p_{3}^{∗}, son point d’inflexion t̃ et son maximum local t_{max}^{∗}. On a 0 < \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})} = e^{− \frac{b−1}{b}} < 1, d’où on

tire −1 + \frac{1}{b} = ln(\frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) ∈ (−∞, 0). Si 0 < \frac{1}{b} = 1 + ln(1 − \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) < 1, alors

b_{0} > 1, par contre si \frac{1}{b} = 1 + ln(1 − \frac{p_{3}^{∗}(t̃)}{p_{3}^{∗}(t_{max}^{∗})}) < 0 on a b_{0} < 0. Dans les deux cas on tire m_{0} = \frac{b_{0}−1}{b_{0}t̃^{b_{0}}} . Une fois a_{0} estimé, on peut poser zB̃ = − ln(\frac{yB̃}{a_{0}} ) = mt^{b}, et ainsi ln(zB̃) = ln(m) + b ln(t) = M + Bτ. Donc le problème se ramène à trouver la droite de moindre carrés qui minimise

\frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} ω̃_{i} [M + Bτ_{i} − ln(z_{i})]^{2} ,

où ω̃_{i} = ω_{i}z_{i}^{2} et τ_{i} = ln(t_{i}).

6. Discussion et conclusion

Dans ce travail, nous avons mené une étude comparative de quelques modèles non linéaires d’ajustement de courbes sur des données réelles. À cette fin, nous avons testé plusieurs modèles pour aborder le problème. L’objectif de la présente étude était de déterminer lequel des modèles est le plus approprié pour les deux jeux de données.

L’analyse des résultats rapportés dans le Tableau 6 nous montre que, pour le Marahoué, les deux modèles de lissages Richards 2 modifié (α ∈ ℝ) et Richards 1 (α ∈ ℝ) permettent d’avoir un meilleur lissage des données avec des erreurs minimales respectives de 9304.31 et 9509.71. Pour le Bou, ce sont les modèles de Bridge (α ∈ ℝ) et Michaelis-Menten qui s’ajustent le mieux aux données avec des erreurs minimales respectives de 547.45 et 550.76. Cependant, en se basant sur les ”débits faibles” et les ”basses eaux” (voir Figures 19(d) et 20(d)), on remarque que le modèle de Richards 1 (α ∈ ℝ) représente mieux les données du Marahoué, par contre c’est le modèle de Bridge qui est le plus efficace pour le Bou.

Le Marahoué Le Bou
Modèle  Fonction  F (x^{∗})  F (x^{∗})
Polynomiale  p(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3}  1.1994 · 10^{4} 5.4578 · 10^{2}
Gompertz(α = 0)  y_{G}(t) = e^{a−be^{−ct}}  9.8391 · 10^{3} 5.8876 · 10^{2}
Gompertz(α ∈ ℝ)  y_{G_{p}}(t) = α + e^{a−be^{−ct}}  9.6681 · 10^{3} 5.5692 · 10^{2}
Logistique(α = 0)  y_{L}(t) = \frac{a}{1−be^{−ct}}  2.2679 · 10^{4} 9.5212 · 10^{2}
Logistique(α ∈ ℝ)  y_{L_{p}}(t) = α + \frac{a}{1−be^{−ct}}  1.2940 · 10^{4} 5.8433 · 10^{2}
Richards 1(α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  9.5099 · 10^{3} 5.5224 · 10^{2}
Richards 1(α ∈ ℝ)  y_{R_{p}}(t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  9.5097 · 10^{3} 5.5219 · 10^{2}
Richards 2(α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  9.8399 · 10^{3} 5.8886 · 10^{2}
Richards 2(α ∈ ℝ)  y_{R_{p}}(t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  9.6698 · 10^{3} 5.5694 · 10^{2}
Bridge(α = 0)  y_{B}(t) = a(1 − e^{−mt^{b}})  1.2409 · 10^{4} 5.48 · 10^{2}
Bridge(α ∈ ℝ)  y_{B_{p}}(t) = α + a(1 − e^{−mt^{b}})  1.0964 · 10^{4} 5.4745 · 10^{2}
Michaelis-Menten  y_{M}(t) = \frac{ω_{0}k^{c}+ω_{f} t^{c}}{k^{c}+t^{c}}  1.0121 · 10^{4} 5.5076 · 10^{2}
Gompertz modifié (α = 0) y_{G}(t) = e^{a}(1 − be^{−ct})  3.4760 · 10^{4} 1.2463 · 10^{3}
Gompertz modifié (α ∈ ℝ) y_{G_{p}}(t) = α + e^{a}(1 − be^{−ct})  1.5563 · 10^{4} 5.9858 · 10^{2}
Richards 2 modifié (α = 0) y_{R}(t) = a(1 − (1 − be^{−ct})^{m})  9.5112 · 10^{3} 5.8335 · 10^{2}
Richards 2 modifié (α ∈ ℝ) y_{R_{p}}(t) = α + a(1 − (1 − be^{−ct})^{m}) 9.3043 · 10^{3} 5.6418 · 10^{2}
Bridge modifié(α = 0)  y_{B}(t) = ae^{−mt^{b}}  9.8572 · 10^{3} 5.711 · 10^{2}
Bridge modifié(α ∈ ℝ)  y_{B_{p}}(t) = α + ae^{−mt^{b}}  9.7226 · 10^{4} 5.643 · 10^{2}

Table 6. Valeur du critère de moindres carrés des deux jeux de données pour les différents modèles de lissages.

7. Remerciements

Ce travail a été réalisé partiellement grâce à une subvention individuelle accordée au premier auteur par le Conseil de Recherche en Sciences Naturelles et Génie du Canada.

References

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[6] D.W. Marquart, An algorithm for least-squares estimation of nonlinear inequalities, SIAM. J. Appl. Math., 11 (1963), 431-441.

[7] David A. Ratkowsky, Nonlinear Regression Modeling, Marcel Dekker, New York, 1983.

[8] David A. Ratkowsky, Handbook of Nonlinear Regression Models, Marcel Dekker, New York, 1989.

[9] G.A.F Seber et C.J Wild, Nonlinear Regression, John Wiley & Sons, New York, 1989.

Appendice A : Les données

(a) Débits faibles.  (b) Débits moyens.

(c) Débits forts.  (d) Le Marahoué

Figure 11. Le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela

(a) Basses eaux.  (b) Moyennes eaux.

(c) Hautes eaux.  (d) Le Bou

Figure 12. Le Bou à Route de Boron

Appendice B : Polynôme de moindes carrés

Le meilleur polynôme au sens des moindres carrés est

p_{3}^{∗}(t) = a^{∗} + b^{∗}t + c^{∗}t^{2} + d^{∗}t^{3}.

p_{3}^{∗}(t)  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  d^{∗}  F^{∗}
Marahoué 1.2375 · 10^{2}  −1.6394  5.8905 · 10^{−3} −3.5239 · 10^{−06} 11993.79
Bou  1.1211  −3.6363 · 10^{−02} 4.4960 · 10^{−04} −2.7820 · 10^{−07} 545.78

Table 7. Paramètres des polynômes de degré 3 optimaux.

Le point d’inflexion est en

t̃= −\frac{c^{∗}}{3d^{∗}} ,

le minimum relatif est en

t_{min} = \frac{−c^{∗} + \sqrt{c^{∗ 2} − 3b^{∗}d^{∗}}}{3d^{∗}}

et le maximum relatif est en

t_{max} = \frac{−c^{∗} − \sqrt{c^{∗ 2} − 3b^{∗}d^{∗}}}{3d^{∗}} .

Marahoué  Bou
t p_{3}^{∗}(t) t p_{3}^{∗}(t)
t_{min} 163.00 −2.23 42.08  0.37
t̃  557.20 429.46 538.70 68.52
t_{max} 951.40 861.16 1035.31 136.67

Table 8. Point d’inflexion et optimum locaux des polynômes.

(a) Le Marahoué.  (b) Débits faibles.

Figure 13. Polynôme : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela

(a) Le Bou.  (b) Basses eaux.

Figure 14. Polynôme : le Bou à Route de Boron Appendice C : Lissage avec le modèle de Gompertz y_{G}(t) = e^{a^{∗}−b^{∗}e^{−c^{∗}t}}

α + y_{G}(t; a, b, c)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  6.8045 1.2846 · 10^{1} 5.1931 · 10^{−3} 9839.09
Fig 15  −2.2362 6.8291 1.2143 · 10^{1} 5.0367 · 10^{−3} 9668.16
Bou  0  5.0352  6.1275  3.8263 · 10^{−3} 588.76
Fig 16  −1.5975 5.1359  5.3602  3.3681 · 10^{−3} 556.92

Table 9. Paramètres optimaux de la fonction de Gompertz.

Le point d’inflexion est (\frac{ln(b^{∗})}{c}, α^{∗} + e^{a^{∗}−1}).
Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + y_{G}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})  t̃  α^{∗} + y_{G}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})
α^{∗} = 0 491.63  331.81  473.77  56.56
α^{∗} ∈ ℝ 495.71  337.84  498.50  60.95

Table 10. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Gompertz.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 15. Gompertz : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 16. Gompertz : le Bou à Route de Boron.

Appendice D : Lissage avec le modèle logistique

y_{L}(t) = \frac{a^{∗}}{1 − b^{∗}e^{−c^{∗}t}}

α + y_{L}(t; a, b, c)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  6.7392 · 10^{2} −4.0008 · 10^{2} 1.2228 · 10^{−2} 22679.16
Fig 17  −2.2347 · 10^{1} 7.6281 · 10^{2} −1.5184 · 10^{2} 9.9307 · 10^{−3} 12940.50
Bou  0  1.1447 · 10^{2} −8.0307 · 10^{1} 9.3378 · 10^{−3} 952.12
Fig 18  −6.798379 1.3870 · 10^{2} −2.7138 · 10^{1} 6.5538 · 10^{−3} 584.33

Table 11. Paramètres optimaux de la fonction logistique.

Le point d’inflexion est (\frac{ln(|b^{∗}|)}{c^{∗}}, α^{∗} + \frac{a^{∗}}{2} ).
Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + y_{L}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})  t̃  α^{∗} + y_{L}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})
α^{∗} = 0 490.01  336.96  469.69  57.24
α^{∗} ∈ ℝ 505.79  359.06  503.67  62.55

Table 12. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction logistique.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 17. Fonction logistique : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 18. Fonction logistique : le Bou à Route de Boron.

Appendice E : Lissage avec le modèle de Richards y_{R}(t) = a^{∗}(1 − b^{∗}e^{−c^{∗}t})^{m^{∗}}

α + y_{R}(t; a, b, c, m)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  m^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  1.0080 · 10^{3}  1.1767  4.1914 · 10^{−3} 6.8845 9509.96
Fig 19  1.0619 · 10^{−1} 1.0099 · 10^{3}  1.1949  4.1737 · 10^{−3} 6.7202 9509.71
Bou  0  2.1472 · 10^{2} 9.5478 · 10^{−1} 2.1677 · 10^{−3} 3.2393 552.24
Fig 20  −1.0476 · 10^{−1} 2.1062 · 10^{2} 9.2781 · 10^{−1} 2.2398 · 10^{−3} 3.4439 552.19

Table 13. Paramètres optimaux de la fonction de Richards.

Le point d’inflexion est (\frac{ln(m^{∗}b^{∗})}{c^{∗}}, α^{∗} + a^{∗}(1 − \frac{1}{m^{∗}})^{m^{∗}}).

Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + y_{R}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})  t̃  α^{∗} + y_{R}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})
α^{∗} = 0 499.12  342.15  520.86  64.94
α^{∗} ∈ ℝ 499.12  342.14  518.65  64.53

Table 14. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Richards.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 19. Richards (1^{er} cas) : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 20. Fonction de Richards (1^{er} cas) : le Bou à Route de Boron.

y_{R}(t) = a^{∗}(1 − b^{∗}e^{−c^{∗}t})^{m^{∗}}
α + y_{R}(t; a, b, c, m)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  m^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  9.0185 · 10^{2} −2.5066 · 10^{−3} 5.1945 · 10^{−3} −5.1282 · 10^{3} 9839.95
Fig 21  −2.2396 9.2435 · 10^{2} −2.3093 · 10^{−3} 5.0377 · 10^{−3} −5.2609 · 10^{3} 9669.86
Bou 0 1.5368 · 10^{2} −2.8329 · 10^{−3} 3.8288 · 10^{−3} −2.1653 · 10^{3} 588.86
Fig 22  −1.6001 1.6999 · 10^{2} −2.4774 · 10^{−3} 3.3698 · 10^{−3} −2.1653 · 10^{3} 556.94

Table 15. Paramètres optimaux de la fonction de Richards. Le point d’inflexion est (\frac{ln(m^{∗}b^{∗})}{c^{∗}}, α^{∗} + a^{∗}(1 − \frac{1}{m^{∗}})^{m^{∗}}).

Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + y_{R}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})  t̃  α^{∗} + y_{R}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})
α^{∗} = 0 491.61  331.80  473.74  56.55
α^{∗} ∈ ℝ 495.70  337.84  498.49  60.95

Table 16. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Richards.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 21. Richards (2^{ième} cas) : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 22. Fonction de Richards (2^{ième} cas) : le Bou à Route de Boron.

Appendice F : Lissage avec le modèle de Bridge y_{B}(t) = a(1 − e^{−mt^{b}})

α + y_{B}(t; a, b, m)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  m^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  7.036 · 10^{2} 3.8813 2.28 · 10^{−11} 12409.50
Fig 23  −6.0196 7.313 · 10^{2} 3.6661 8.36 · 10^{−11} 10964.75
Bou  0  1.479 · 10^{2} 2.2762 3.834 · 10^{−7} 548.00
Fig 24  −0.1300 1.502 · 10^{2} 2.2525 4.357 · 10^{−7} 547.45

Table 17. Paramètres optimaux de la fonction de Bridge.

Le point d’inflexion est ((\frac{b^{∗} − 1}{m^{∗}b^{∗}})^{1/b^{∗}}, α^{∗} + a^{∗}(1 − e^{− \frac{b^{∗}−1}{b^{∗}}} )).

Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + y_{B}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, m^{∗})  t̃  α^{∗} + y_{B}(t̃; a^{∗}, b^{∗}, m^{∗})
α^{∗} = 0 511.14  368.69  511.08  63.475
α^{∗} ∈ ℝ 514.25  371.88  513.72  63.934

Table 18. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Bridge.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 23. Fonction de Bridge : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 24. Fonction de Bridge : le Bou à Route de Boron.

Appendice G : Lissage avec le modèle de Michealis-Menten

y_{M}(t) = \frac{ω_{0}^{∗}k^{∗ c^{∗}} + ω_{f}^{∗}t^{c^{∗}}}{k^{∗ c^{∗}} + t^{c^{∗}}}

y_{M}(t; ω_{0}, ω_{f}, k, c)  ω_{0}^{∗}  ω_{f}^{∗}  k^{∗}  c^{∗}  F^{∗}
Marahoué Fig 25  −4.0008  9.1322 · 10^{2} 5.6333 · 10^{2} 4.0488 10120.92
Bou Fig 26  −5.9802 · 10^{−2} 2.2289 · 10^{2} 7.6194 · 10^{2} 2.3234 550.76

Table 19. Paramètres optimaux de la fonction de Michealis-Menten.

Le point d’inflexion est (k^{∗}(\frac{c^{∗} − 1}{c^{∗} + 1})^{1/c^{∗}}, \frac{ω_{0}^{∗} + ω_{f}^{∗}}{2} − \frac{(ω_{f}^{∗} − ω_{0}^{∗})}{2c^{∗}}).

Marahoué  Bou
t̃  y_{M}(t̃; ω_{0}^{∗}, ω_{f}^{∗}, k^{∗}, c^{∗})  t̃  y_{M}(t̃; ω_{0}^{∗}, ω_{f}^{∗}, k^{∗}, c^{∗})
497.35  341.38  512.63  63.44

Table 20. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Michealis-Menten.

(a) Le Marahoué.  (b) Débits faibles.

Figure 25. Michaelis Menten : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou.  (b) Basses eaux.

Figure 26. Michaelis Menten : le Bou à Route de Boron.

Appendice H : Lissage avec le modèle de Gompertz modifié yG̃(t) = e^{a^{∗}} − e^{a^{∗}−b^{∗}e^{−c^{∗}t}}

α + yG̃(t; a, b, c)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  6.4615 4.6967 · 10^{−3} −1.0298 · 10^{−2} 34760.62
Fig 27  −3.3789 · 10^{1} 6.5545 1.41812 · 10^{−2} −8.0088 · 10^{−3} 15563.53
Bou  0  4.6637 1.7672 · 10^{−2} 7.9697 · 10^{−3} 1246.37
Fig 28  −9.4589  4.8131 5.9995 · 10^{−2} −5.3191 · 10^{−3} 598.58

Table 21. Paramètres optimaux de la fonction de Gompertz modifiée.

Le point d’inflexion est (\frac{ln(b^{∗})}{c^{∗}}, α^{∗} + e^{a^{∗}}(1 − \frac{1}{e}).
Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + yG̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})  t̃  α^{∗} + yG̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗})
α^{∗} = 0 520.60  404.57  506.39  67.02
α^{∗} ∈ ℝ 531.39  410.23  528.95  68.37

Table 22. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Gompertz modifiée.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 27. Gompertz modifié : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 28. Gompertz modifié : le Bou à Route de Boron.

Appendice I : Lissage avec le modèle de Richards modifié yR̃(t) = a^{∗} − a^{∗}(1 − b^{∗}e^{−c^{∗}t})^{m^{∗}}

α + yR̃(t; a, b, c, m)  α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  c^{∗}  m^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  3.4040 · 10^{3} −1.3987 · 10^{−3} −2.2077 · 10^{−2} −2.3652 · 10^{−2} 9511.26
Fig 29  −3.4040 2.3831 · 10^{3} −2.7315 · 10^{−3} −1.9246 · 10^{−2} −4.1941 · 10^{−2} 9304.31
Bou  0  5.0782 · 10^{3} −3.4330 · 10^{−2} −1.7754 · 10^{−2} −2.1851 · 10^{−3} 583.35
Fig 30  −1.5333 4.5429 · 10^{3} −6.8523 · 10^{−2} −1.3937 · 10^{−2} −3.1888 · 10^{−3} 564.18

Table 23. Paramètres optimaux de la fonction de Richards modifiée.

Le point d’inflexion est (\frac{ln(m^{∗}b^{∗})}{c^{∗}}, α^{∗} + a^{∗}(1 − (1 − \frac{1}{m^{∗}})^{m^{∗}}))

Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + yR̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})  t̃  α^{∗} + yR̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, c^{∗}, m^{∗})
α^{∗} = 0 467.30  290.31  534.98  67.55
α^{∗} ∈ ℝ 471.49  297.00  604.79  84.09

Table 24. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Richards modifiée.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ) .  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 29. Richards modifié : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 30. Richards modifié : le Bou à Route de Boron.

Appendice J : Lissage avec le modèle de Bridge modifié

yB̃(t) = a^{∗}e^{−mt^{b^{∗}}}

α + yB̃(t; a, b, m) α^{∗}  a^{∗}  b^{∗}  m^{∗}  F^{∗}
Marahoué  0  2.0972 · 10^{3} −1.3033 5.988 · 10^{3} 9857.20
Fig 31  1.6725 1.9706 · 10^{3} −1.3554 8.006 · 10^{3} 9722.65
Bou  0  3.6937 · 10^{3} −0.3967 4.856 · 10^{1} 571.1
Fig 32  0.4600 2.1559 · 10^{3} −0.4592 6.233 · 10^{1} 564.3

Table 25. Paramètres optimaux de la fonction de Bridge modifiée.

Le point d’inflexion est ((\frac{b^{∗} − 1}{m^{∗}b^{∗}})^{1/b^{∗}}, α^{∗} + a^{∗}e^{− \frac{b^{∗}−1}{b^{∗}}} ).

Marahoué  Bou
t̃  α^{∗} + yB̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, m^{∗})  t̃  α^{∗} + yB̃(t̃; a^{∗}, b^{∗}, m^{∗})
α^{∗} = 0 511.08  358.19  746.25  109.24
α^{∗} ∈ ℝ 504.44  348.31  652.88  90.32

Table 26. Point d’inflexion et optimum locaux de la fonction de Bridge modifiée.

(a) Le Marahoué (α = 0).  (b) Débits faibles (α = 0).

(c) Le Marahoué (α ∈ ℝ).  (d) Débits faibles (α ∈ ℝ).

Figure 31. Bridge modifié : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

(a) Le Bou (α = 0).  (b) Basses eaux (α = 0).

(c) Le Bou (α ∈ ℝ).  (d) Basses eaux (α ∈ ℝ).

Figure 32. Bridge modifié : le Bou à Route de Boron.

Appendice K : Tableaux des données

\begin{aligned}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 1 & 01-06-54 & 219 & 18,6 \\ 2 & 17-08-54 & 347 & 139 \\ 3 & 13-09-54 & 444 & 278 \\ 4 & 07-04-56 & 175 & 2,7 \\ 5 & 17-08-56 & 200 & 4,2 \\ 6 & 16-03-57 & 135 & 0,482 \\ 7 & 30-11-57 & 315 & 70,6 \\ 8 & 26-02-61 & 140 & 0,429 \\ 9 & 03-12-61 & 207 & 9,2 \\ 10 & 17-01-62 & 156 & 0,875 \\ 11 & 03-02-62 & 144 & 0,328 \\ 12 & 05-03-62 & 133 & 0,127 \\ 13 & 06-03-62 & 132 & 0,113 \\ 14 & 11-04-62 & 123 & 0,052 \\ 15 & 10-05-62 & 157 & 0,925 \\ 16 & 17-10-62 & 417 & 234 \\ & & 415^{5} & 234 \\ 17 & 18-11-62 & 309 & 67 \\ 18 & 15-01-63 & 192^{5} & 4,15 \\ 19 & 19-03-63 & 181^{5} & 2,63 \\ 20 & 18-04-63 & 210 & 7,9 \\ 21 & 09-06-63 & 214 & 10,9 \\ 22 & 31-07-63 & 331 & 89 \\ 23 & 23-09-63 & 401 & 225 \\ & & 404 & 225 \\ 24 & 30-10-63 & 514 & 381 \\ 25 & 22-10-63 & 525 & 383 \\ & & 524 & 383 \\ 26 & 12-11-63 & 420 & 236 \\ & & 426 & 236 \\ 27 & 11-12-63 & 276 & 33,4 \\ & & 275^{5} & 33,4 \\ 28 & 07-01-64 & 223 & 14,8 \\ 29 & 11-02-64 & 180 & 2,3 \\ 30 & 13-03-64 & 155 & 0,606 \\ 31 & 07-04-64 & 190 & 3,58 \\ 32 & 04-05-64 & 181 & 2,41 \\ 33 & 03-06-64 & 214 & 8,41 \\ 34 & 08-07-64 & 258 & 28,1 \\ 35 & 04-08-64 & 492 & 316 \\ & & 491 & 316 \\ 36 & 08-10-64 & 430 & 257 \\ & & 428 & 257 \\ 37 & 05-11-64 & 325 & 86,5 \\ 38 & 11-09-64 & 719 & 668 \\ & & 714 & 668 \\ 39 & 03-12-64 & 270 & 34 \\ 40 & 05-01-65 & 244 & 21 \\ 41 & 02-02-65 & 221 & 11,4 \\ 42 & 18-03-65 & 185 & 2,48 \\ 43 & 26-04-65 & 174 & 1,25 \\ 44 & 14-06-65 & 205 & 4,3 \\ 45 & 26-07-65 & 421 & 206 \\ & & 422 & 206 \\ 46 & 07-10-65 & 548 & 414 \\ & & 547 & 414 \\ 47 & 10-11-65 & 328 & 75,6 \\ 48 & 10-11-65 & 327 & 75,6 \\ 49 & 18-01-66 & 195 & 5,18 \\ 50 & 09-02-66 & 178 & 1,93 \\ 51 & 07-03-66 & 158 & 0,626 \\ 52 & 29-03-66 & 152 & 0,456 \\ 53 & 18-05-66 & 212 & 0,778 \\ 54 & 15-06-66 & 225 & 16,1 \end{aligned}  \begin{aligned}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 55 & 08-09-66 & 373 & 137 \\ & & 376 & 137 \\ 56 & 22-10-66 & 474 & 309 \\ & & 475 & 309 \\ 57 & 15-11-66 & 317 & 71,6 \\ & & 316 & 71,6 \\ 58 & 11-01-67 & 189 & 4,31 \\ 59 & 06-02-67 & 172 & 1,57 \\ 60 & 09-06-67 & 178 & 2,16 \\ 61 & 11-07-67 & 203 & 5,9 \\ 62 & 04-09-67 & 417 & 200 \\ 63 & 27-12-67 & 185 & 3,05 \\ 64 & 29-03-68 & 161 & 1,21 \\ 65 & 29-04-68 & 212 & 9,77 \\ 66 & 23-01-69 & 192 & 4,57 \\ & & 195^{5} & 4,57 \\ 67 & 20-02-69 & 187 & 3,59 \\ 68 & 20-02-169 & 187 & 4,16 \\ 69 & 29-03-69 & 165 & 1,32 \\ 70 & 25-04-69 & 197 & 4,98 \\ 71 & 31-05-69 & 136 & 0,247 \\ 72 & 18-08-69 & 414 & 188 \\ 73 & 23-09-69 & 390 & 151 \\ 74 & 26-10-69 & 403 & 201 \\ 75 & 24-08-70 & 383^{5} & 128 \\ 76 & 27-09-70 & 527 & 403 \\ & & 525 & 403 \\ 77 & 24-02-72 & 143 & 0,37 \\ 78 & 08-11-72 & 223 & 16,3 \\ 79 & 16-02-73 & 123 & 0,023 \\ 80 & 17-07-73 & 186 & 3,15 \\ 81 & 29-01-74 & 135 & 0,241 \\ 82 & 25-02-74 & 119^{5} & 0,0136 \\ 83 & 25-04-74 & 140 & 0,475 \\ 84 & 21-11-74 & 248 & 26,3 \\ & & 247 & 26,3 \\ 85 & 17-04-75 & 143 & 0,41 \\ 86 & 28-06-79 & 214 & 14,3 \\ 87 & 02-08-79 & 493 & 316 \\ & & 492 & 316 \\ 88 & 29-08-79 & 472^{5} & 286 \\ 89 & 08-11-79 & 263 & 40,1 \\ 90 & 28-02-80 & 141^{5} & 0,712 \\ 91 & 13-02-80 & 128 & 0,191 \\ 92 & 11-03-80 & 124^{5} & 0,175 \\ 93 & 25-03-80 & 137 & 0,599 \\ 94 & 10-04-80 & 139 & 0,693 \\ 95 & 11-06-80 & 210 & 14,5 \\ 96 & 10-07-80 & 163 & 2,65 \\ 97 & 07-10-80 & 477 & 278 \\ & & 476 & 278 \\ 98 & 05-12-80 & 224 & 14,98 \\ 99 & 11-09-81 & 135 & 0,427 \\ 100 & 10-03-81 & 121 & 0,068 \\ 101 & 23-04-81 & 128 & 0,04 \\ 102 & 06-05-81 & 197 & 7,71 \\ & & 198 & 7,71 \\ 103 & 14-05-81 & 221 & 15,8 \\ & & 220 & 15,8 \\ 104 & 03-06-81 & 191 & 5,56 \\ & & 190 & 5,56 \\ 105 & 18-06-81 & 177^{5} & 4,43 \\ 106 & 01-07-81 & 239 & 26,6 \\ 107 & 15-07-81 & 302 & 68,1 \end{aligned}

\begin{aligned}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 108 & 05-08-81 & 408 & 205 \\ & & 404 & 205 \\ 109 & 19-08-81 & 387 & 156,1 \\ 110 & 19-08-81 & 388^{5} & 156,1 \\ 111 & 03-09-81 & 398 & 192 \\ 112 & 09-09-81 & 366 & 125 \\ & & 363^{5} & 125 \\ 113 & 01-10-81 & 318 & 71,5 \\ & & 317 & 71,5 \\ 114 & 15-10-81 & 282 & 48,8 \\ 115 & 28-10-81 & 244 & 25,9 \\ 116 & 12-11-81 & 207 & 13,9 \\ 117 & 25-11-81 & 178 & 7,34 \\ 118 & 02-12-81 & 169 & 3,52 \\ 119 & 15-12-81 & 155 & 1,8 \\ 120 & 13-01-82 & 133 & 0,597 \\ 121 & 28-01-82 & 124 & 0,064 \\ 122 & 10-02-82 & 119 & 0,017 \\ 123 & 23-02-82 & 147 & 0,603 \\ 124 & 10-03-82 & 119 & 0,034 \\ 125 & 24-03-82 & 129^{5} & 0,24 \\ 126 & 05-04-82 & 128 & 0,185 \\ 127 & 16-04-82 & 121^{5} & 0,076 \\ 128 & 05-05-82 & 163 & 2,59 \\ 129 & 17-05-82 & 132^{5} & 0,444 \\ 130 & 03-06-82 & 217 & 15,4 \\ & & 212 & 15,4 \\ 131 & 16-06-82 & 168 & 3,64 \\ 132 & 30-06-82 & 179 & 5,23 \\ 133 & 21-07-82 & 215 & 17,4 \\ & & 214 & 17,4 \\ 134 & 18-08-82 & 304 & 64,5 \\ 135 & 14-09-82 & 377 & 145 \\ 136 & 22-09-82 & 314 & 73,8 \\ & & 315 & 73,8 \\ 137 & 14-10-82 & 319 & 86,5 \\ 138 & 27-10-82 & 243 & 34,25 \\ 139 & 23-11-82 & 200 & 12,7 \\ & & 199 & 12,7 \\ 140 & 22-12-82 & 157 & 1,87 \\ 141 & 11-01-83 & 137 & 0,603 \\ 142 & 17-01-83 & 130 & 0,232 \\ 143 & 08-02-83 & 119 & 0,035 \\ 144 & 22-02-83 & 117 & 0,012 \\ 145 & 22-02-83 & 117 & 0,012 \end{aligned}  \begin{aligned}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 146 & 28-02-83 & 114 & 0,005 \\ 147 & 05-05-83 & 131 & 0,301 \\ 148 & 17-05-83 & 151 & 1,5 \\ 149 & 02-06-83 & 139 & 0,566 \\ 150 & 14-06-83 & 127 & 0,21 \\ 151 & 05-07-83 & 121 & 0,086 \\ 152 & 19-07-83 & 116 & 0,038 \\ 153 & 03-08-83 & 125 & 0,166 \\ 154 & 23-08-83 & 152 & 1,635 \\ 155 & 07-09-83 & 198 & 11 \\ 156 & 20-09-83 & 240^{5} & 27,3 \\ 157 & 13-10-83 & 178 & 5,57 \\ 158 & 20-10-83 & 165 & 2,99 \\ 159 & 03-11-83 & 148 & 1,23 \\ 160 & 22-11-83 & 138 & 0,532 \\ 161 & 15-12-83 & 124^{5} & 0,13 \\ 162 & 29-12-83 & 122 & 0,097 \\ 163 & 13-01-84 & 111 & 0,0077 \\ 164 & 14-03-84 & 173 & 3,84 \\ 165 & 06-04-84 & 120 & 0,057 \\ 166 & 17-04-84 & 112 & 0,01 \\ 167 & 09-05-84 & 167 & 3,25 \\ 168 & 23-05-84 & 140 & 0,562 \\ 169 & 05-06-84 & 129^{5} & 0,224 \\ 170 & 21-06-84 & 122 & 0,073 \\ 171 & 23-08-84 & 260^{5} & 38,3 \\ 172 & 05-09-84 & 363^{5} & 120 \\ 173 & 03-10-84 & 314 & 71,5 \\ & & 318 & 71,5 \\ 174 & 18-10-84 & 279 & 45,9 \\ 175 & 15-05-85 & 142 & 0,781 \\ 176 & 13-06-85 & 144 & 0,886 \\ 177 & 24-06-85 & 139 & 0,576 \\ 178 & 03-07-85 & 138 & 0,512 \\ 179 & 09-10-85 & 341 & 94,045 \\ 180 & 10-12-85 & 159 & 2,05 \\ 181 & 22-01-86 & 121 & 0,086 \\ 182 & 12-08-86 & 323 & 79 \\ & & 322 & 79 \\ 183 & 11-09-86 & 380 & 124 \\ 184 & 15-10-86 & 292 & 57,5 \\ 185 & 23-09-87 & 427 & 194 \\ & & 423 & 194 \end{aligned}

Table 27. Jaugeages Riviére Marahoué - Station Béoumi-Séguéla

40

\begin{matrix}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 1 & 03-12-74 & 149^{5} & 5,66 \\ 2 & 09-12-74 & 1,39 & 4,91 \\ 3 & 18-12-74 & 117^{5} & 3,79 \\ 4 & 31-12-74 & 109^{5} & 2,51 \\ 5 & 09-01-75 & 90 & 1,5 \\ 6 & 15-01-75 & 79 & 1,36 \\ 7 & 22-01-75 & 72^{5} & 1 \\ 8 & 29-01-75 & 67 & 0,845 \\ 9 & 12-02-75 & 58^{5} & 0,563 \\ 10 & 26-02-75 & 0,46 & 0,296 \\ 11 & 12-03-75 & 0,37 & 0,116 \\ 12 & 26-03-75 & 0,32 & 0,056 \\ 13 & 13-09-75 & 532^{5} & 71,5 \\ 14 & & 534 & 71,5 \\ 15 & 06-10-75 & 386^{5} & 41,7 \\ 16 & & 386 & 41,7 \\ 17 & 30-10-75 & 239 & 15,5 \\ 18 & 13-11-75 & 161 & 6,65 \\ 19 & 12-12-75 & 117 & 3,24 \\ 20 & 27-01-76 & 56 & 0.493 \\ 21 & 14-02-76 & 52 & 0.435 \\ 22 & 27-02-76 & 59 & 0.590 \\ 23 & 06-08-76 & 103 & 2,97 \\ 24 & 24-09-76 & 135 & 5,12 \\ 25 & 16-02-77 & 34^{5} & 0,053 \\ 26 & 14-04-77 & 28 & 0,015 \\ 27 & 28-05-77 & 36 & 0,12 \\ 28 & 13-12-77 & 63 & 0,784 \\ 29 & 31-12-77 & 48 & 0,208 \\ 30 & 17-01-78 & 30 & 0,096 \\ 31 & 12-04-79 & 71 & 0,976 \\ 32 & 28-04-79 & 54 & 0,47 \\ 33 & 29-05-79 & 81 & 1,29 \\ 34 & 12-06-79 & 93 & 1,77 \\ 35 & 16-07-79 & 242^{5} & 14,4 \\ 36 & & 241 & 14,4 \\ 37 & 19-07-79 & 207 & 11,8 \\ 38 & & 206 & 11,8 \\ 39 & 31-07-79 & 416 & 45,6 \\ 40 & & 424 & 45,8 \\ 41 & 06-09-79 & 765 & 113 \\ 42 & 06-09-79 & 764 & 113 \\ 43 & 07-09-79 & 750 & 105 \\ 44 & & 748 & 105 \\ 45 & 10-10-79 & 473 & 39 \\ 46 & & 470 & 39 \\ 47 & 07-11-79 & 213 & 13,4 \\ 48 & 11-12-79 & 109^{5} & 2,84 \\ 49 & 18-12-79 & 95 & 2,19 \\ 50 & 02-01-80 & 81 & 1,49 \\ 51 & 14-01-80 & 81 & 1,54 \\ 52 & & 82 & 1,54 \\ 53 & 30-01-80 & 60 & 0,691 \\ 54 & 12-02-80 & 45 & 0,244 \\ 55 & 10-03-80 & 89 & 1,83 \\ 56 & 13-03-80 & 87 & 1,78 \\ 57 & 25-03-80 & 104 & 2,51 \\ 58 & 28-03-80 & 109 & 2,59 \\ 59 & 09-04-80 & 99 & 406 \\ 60 & 09-06-80 & 90 & 2,04 \\ 61 & 09-06-80 & 90 & 2,04 \\ 62 & 12-09-80 & 648 & 97,5 \\ 63 & & 652 & 97,5 \\ 64 & 23-20-80 & 366 & 33 \end{matrix}  \begin{matrix}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 65 & 21-11-80 & 231 & 14,2 \\ 66 & 21-11-80 & 230^{5} & 14,2 \\ 67 & 17-12-80 & 159^{5} & 6,9 \\ 68 & & 161 & 6,9 \\ 69 & 13-01-81 & 94 & 2,43 \\ 70 & 10-02-81 & 65^{5} & 0,902 \\ 71 & & 64^{5} & 0,902 \\ 72 & 24-02-81 & 62 & 0,81 \\ 73 & 09-03-81 & 50^{5} & 0,314 \\ 74 & 24-03-81 & 50 & 0,244 \\ 75 & 07-04-81 & 58 & 0,693 \\ 76 & 21-04-81 & 49^{5} & 0,231 \\ 77 & & 66 & 0,731 \\ 78 & 08-05-81 & 65 & 0,731 \\ 79 & 21-05-81 & 89 & 1,55 \\ 80 & 09-06-81 & 55^{5} & 0,48 \\ 81 & 06-07-81 & 161 & 5,72 \\ 82 & 16-07-81 & 227 & 14,29 \\ 83 & & 228 & 14,29 \\ 84 & 13-08-81 & 356 & 34,35 \\ 85 & 26-08-81 & 373 & 34,5 \\ 86 & 08-09-81 & 503 & 56,18 \\ 87 & 25-09-81 & 372 & 34,76 \\ 88 & 13-10-81 & 281^{5} & 20,03 \\ 89 & 22-10-81 & 234 & 13,26 \\ 90 & 03-11-81 & 178 & 7,12 \\ 91 & 16-11-81 & 142 & 4,27 \\ 92 & & 141 & 4,27 \\ 93 & 15-12-81 & 73 & 1,04 \\ 94 & 13-01-82 & 56^{5} & 0,34 \\ 95 & 25-01-82 & 51^{5} & 0,158 \\ 96 & 10-02-82 & 47 & 0,063 \\ 97 & 25-02-82 & 42^{5} & 0,02 \\ 98 & 09-03-82 & 37^{5} & 0,006 \\ 99 & 22-03-82 & 38^{5} & 0,006 \\ 100 & 20-04-82 & 44 & 0,119 \\ 101 & 04-05-82 & 49 & 0,234 \\ 102 & 17-05-82 & 45 & 0,12 \\ 103 & 03-06-82 & 47^{5} & 0,11 \\ 104 & 15-06-82 & 47^{5} & 0,127 \\ 105 & 23-06-82 & 47 & 0,116 \\ 106 & 28-06-82 & 46 & 0,09 \\ 107 & 15-07-82 & 163 & 3,739 \\ 108 & & 160 & 3,739 \\ 109 & 26-07-82 & 140 & 4,27 \\ 110 & & 139^{5} & 4,27 \\ 111 & 09-08-82 & 112 & 2,478 \\ 112 & 24-08-82 & 277 & 16,586 \\ 113 & & 274 & 16,586 \\ 114 & 08-09-82 & 296^{5} & 20,95 \\ 115 & & 298 & 20,95 \\ 116 & 20-09-82 & 334 & 26,77 \\ 117 & 08-10-82 & 239 & 14,25 \\ 118 & 22-10-82 & 212 & 9,911 \\ 119 & 08-11-82 & 264 & 17,756 \\ 120 & 15-11-82 & 164 & 5,815 \\ 121 & 01-12-82 & 94 & 1,97 \\ 122 & & 93 & 1,97 \\ 123 & 13-12-82 & 73 & 1,056 \\ 124 & 28-12-82 & 63 & 0,525 \\ 125 & 18-01-83 & 57 & 0,197 \\ 126 & 04-02-83 & 50 & 0,094 \\ 127 & 18-02-83 & 80 & 1,162 \\ 128 & 03-03-83 & 72 & 0,923 \end{matrix}

\begin{matrix}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 129 & 16-03-83 & 71 & 0,84 \\ 130 & 29-03-83 & 60 & 0,435 \\ 131 & 13-04-83 & 47 & 0,046 \\ 132 & 26-04-83 & 48 & 0,037 \\ 133 & 13-05-83 & 50 & 0,021 \\ 134 & 25-05-83 & 55 & 0,214 \\ 135 & 22-06-83 & 63 & 0,727 \\ 136 & 07-07-83 & 58 & 0,381 \\ 137 & 21-07-83 & 113 & 2,381 \\ 138 & & 114 & 2,381 \\ 139 & 03-08-83 & 66 & 0,67 \\ 140 & 17-08-83 & 168 & 5,839 \\ 141 & & 169 & 5,839 \\ 142 & 01-09-83 & 129 & 3,412 \\ 143 & 13-09-83 & 154 & 4,495 \\ 144 & 03-10-83 & 117 & 9,593 \\ 145 & 13-10-83 & 81 & 1,277 \\ 146 & 25-10-83 & 65 & 0,572 \\ 147 & 08-11-83 & 58 & 0,295 \\ 148 & 23-11-83 & 54 & 0,228 \\ 149 & 09-12-83 & 55 & 0,125 \\ 150 & 22-12-83 & 49 & 0,033 \\ 151 & 06-01-84 & 47 & 0,016 \\ 152 & 22-05-84 & 114 & 1,723 \\ 153 & 08-06-84 & 67 & 0,28 \\ 154 & 21-06-84 & 66 & 0,289 \\ 155 & 04-07-84 & 112 & 1,96 \\ 156 & & 111 & 1,96 \\ 157 & 19-07-84 & 98 & 1,66 \\ 158 & & 97 & 1,66 \\ 159 & 17-08-84 & 218 & 11,49 \\ 160 & & 224 & 11,49 \\ 161 & 28-08-84 & 176 & 5,77 \end{matrix}  \begin{matrix}N^{∘} & Date & H.cm & Q.m^{3}/s & Obs \\ 162 & 14-09-84 & 325 & 22,33 \\ 163 & 14-09-84 & 324 & 22,33 \\ 164 & 09-10-84 & 199 & 8,11 \\ 165 & 25-10-84 & 150 & 4,25 \\ 166 & 09-11-84 & 82 & 1,2 \\ 167 & 21-11-84 & 73 & 0,891 \\ 168 & 18-12-84 & 62 & 0,27 \\ 169 & 04-01-85 & 54 & 0,047 \\ 170 & 15-01-85 & 51 & 0,017 \\ 171 & 15-05-85 & 69 & 0,325 \\ 172 & 15-11-85 & 143 & 4,07 \\ 173 & 16-12-85 & 75 & 0,976 \\ 174 & 23-12-85 & 68 & 0,521 \\ 175 & 15-01-85 & 55 & 0,086 \\ 176 & 10-07-86 & 52 & 0,179 \\ 177 & 05-11-86 & 165 & 5,93 \\ 178 & 18-11-86 & 141 & 2,91 \\ 179 & 10-12-86 & 112 & 0,901 \\ 180 & 05-01-87 & 102 & 0,395 \\ 181 & 04-02-87 & 89 & 0,031 \\ 182 & 09-06-87 & 99 & 0,408 \\ 183 & 09-07-87 & 104 & 0,648 \\ 184 & 20-07-87 & 99 & 0,552 \\ 185 & 12-08-87 & 102 & 0,646 \\ 186 & 03-09-87 & 415 & 51,4 \\ 187 & & 416 & 51,4 \\ 188 & 14-10-87 & 356 & 36,3 \\ 189 & 16-11-87 & 145 & 5,95 \\ 190 & 18-12-87 & 110 & 1,47 \\ 191 & 07-01-88 & 102 & 0,934 \\ 192 & 25-03-88 & 96 & 0,41 \\ 193 & 17-08-88 & 365 & 38,2 \\ 194 & & 366 & 38,2 \end{matrix}

Table 28. Jaugeages Riviére Bou - Station Boron

Appendice L : Autocorrélation

m = 217.

err = ∑_{i=1}^{m−1} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=1}^{m−1} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{1} = ∑_{i=1}^{132} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=1}^{132} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{2} = ∑_{i=133}^{180} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=133}^{180} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{3} = ∑_{i=181}^{m−1} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=181}^{m−1} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
F (x^{∗}) = ∑_{i=1}^{m} (y(t_{i}, θ) − f_{i})^{2}
= ∑_{i=1}^{m} e(t_{i})^{2}.

Modèle Fonction Débits faibles

err_{1}

Débits moyens

err_{2}

Débits forts

err_{3}

Le Marahoué err

F (x^{∗})
Polynôme  p(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3}  2.2310D + 03  4.5162D + 03  2.8384D + 03  9.5856D + 03  1.1994D + 04
Gomp. (α = 0)  y_{G}(t) = e^{a−be−ct}  3.3551D + 02  7.8997D + 02  3.9106D + 03  5.0361D + 03  9.8391D + 03
Gomp. (α ∈ ℝ)  y_{Gp} (t) = α + e^{a−be−ct}  1.2505D + 02  9.9145D + 02  3.6696D + 03  4.7861D + 03  9.6681D + 03
Logi. (α = 0)  y_{L}(t) = \frac{a}{1−be−ct}  1.1912D + 04  6.2087D + 02  1.5042D + 04  2.7574D + 04  2.2679D + 04
Logi. (α ∈ ℝ)  y_{Lp} (t) = α + \frac{a}{1−be−ct}  2.5042D + 03  1.0829D + 03  7.1212D + 03  1.0708D + 04  1.2940D + 04
Rich. 1 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  1.0039D + 02  1.3801D + 03  3.1071D + 03  4.5876D + 03  9.5099D + 03
Rich. 1 (α ∈ ℝ)  y_{Rp} (t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  1.0449D + 02  1.3867D + 03  3.0972D + 03  4.5883D + 03  9.5097D + 03
Rich. 2 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  3.3624D + 02  7.9150D + 02  3.9102D + 03  5.0380D + 03  9.8399D + 03
Rich. 2 (α ∈ ℝ)  y_{Rp} (t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  1.2527D + 02  9.9429D + 02  3.6673D + 03  4.7869D + 03  9.6698D + 03
Bridge (α = 0)  y_{B}(t) = a(1 − e^{−mtb})  2.3219D + 03  5.1239D + 02  6.9514D + 03  9.7858D + 03  1.2409D + 04
Bridge (α ∈ ℝ)  y_{Bp} (t) = α + a(1 − e^{−mtb})  8.1163D + 02  1.0656D + 03  5.3021D + 03  7.1794D + 03  1.0964D + 04
Michaelis-Menten  y_{M} (t) = ^{\frac{ω0kc+ωf tc}{kc+tc}}  3.6658D + 02  8.8420D + 02  4.3408D + 03  5.5916D + 03  1.0121D + 04
Gomp. mo. (α = 0)  y_{G}(t) = e^{a}(1 − be^{−ct})  2.3075D + 04  2.0535D + 03  2.5493D + 04  5.0621D + 04  3.4760D + 04
Gomp. mo. (α ∈ ℝ)  y_{Gp} (t) = α + e^{a}(1 − be^{−ct})  4.4158D + 03  2.2289D + 03  9.1595D + 03  1.5804D + 04  1.5563D + 04
Rich. mo. 2 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − (1 − be^{−ct})^{m})  4.8340D + 02  1.7594D + 03  2.4193D + 03  4.6621D + 03  9.5112D + 03
Rich. mo. 2 (α ∈ ℝ)  y_{Rp} (t) = α + a(1 − (1 − be^{−ct})^{m})  1.5543D + 02  1.4214D + 03  2.6545D + 03  4.2313D + 03  9.3043D + 03
Bridge mod. (α = 0)  y_{B}(t) = ae^{−mtb}  5.6582D + 02  2.2646D + 03  2.5474D + 03  5.3778D + 03  9.8572D + 03
Bridge mod. (α ∈ ℝ) y_{Bp} (t) = α + ae^{−mtb}  4.8201D + 02  2.0820D + 03  2.5377D + 03  5.1018D + 03  9.7226D + 03

TABLE 29. Autocorrélation : le Marahoué à Route de Béoumi - Séguela.

m = 190.

err = ∑_{i=1}^{m−1} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=1}^{m−1} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{1} = ∑_{i=1}^{130} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=1}^{130} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{2} = ∑_{i=131}^{162} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=131}^{162} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
err_{3} = ∑_{i=163}^{m−1} (y(t_{i}, θ) − f_{i}) · (y(t_{i+1}, θ) − f_{i+1})
= ∑_{i=163}^{m−1} e(t_{i}) · e(t_{i+1}).
F (x^{∗}) = ∑_{i=1}^{m} (y(t_{i}, θ) − f_{i})^{2}
= ∑_{i=1}^{m} e(t_{i})^{2}.

Modèle Fonction Basses eaux

err_{1}

moyennes eaux

err_{2}

Hautes eaux

err_{3}

Le Bou err

F (x^{∗})
Polynôme  p(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3}  1.3206D + 01  1.1101D + 01  4.9066D + 02  5.1497D + 02 5.4578D + 02
Gomp. (α = 0)  y_{G}(t) = e^{a−be−ct}  5.5010D + 01  2.6613D + 01  5.2578D + 02  6.0740D + 02 5.8876D + 02
Gomp. (α ∈ ℝ)  y_{Gp} (t) = α + e^{a−be−ct}  2.3567D + 01  1.0922D + 01  5.0297D + 02  5.3746D + 02 5.5692D + 02
Logi. (α = 0)  y_{L}(t) = \frac{a}{1−be−ct}  3.9418D + 02  1.0765D + 02  8.3031D + 02  1.3321D + 03 9.5212D + 02
Logi. (α ∈ ℝ)  y_{Lp} (t) = α + \frac{a}{1−be−ct}  5.9782D + 01  1.3143D + 01  5.2963D + 02  6.0255D + 02 5.8433D + 02
Rich. 1 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  1.4920D + 01  1.1026D + 01  4.9588D + 02  5.2183D + 02 5.5224D + 02
Rich. 1 (α ∈ ℝ)  y_{Rp} (t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  1.5122D + 01  1.0942D + 01  4.9604D + 02  5.2211D + 02 5.5219D + 02
Rich. 2 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − be^{−ct})^{m}  5.5107D + 01  2.6659D + 01  5.2585D + 02  6.0761D + 02 5.8886D + 02
Rich. 2(α ∈ ℝ)  y_{Rp} (t) = α + a(1 − be^{−ct})^{m}  2.3595D + 01  1.0917D + 01  5.0298D + 02  5.3749D + 02 5.5694D + 02
Bridge (α = 0)  y_{B}(t) = a(1 − e^{−mtb})  1.5526D + 01  1.0031D + 01  4.9743D + 02  5.2298D + 02  5.48D + 02
Bridge (α ∈ ℝ)  y_{Bp} (t) = α + a(1 − e^{−mtb})  1.4656D + 01  9.8874  4.9624D + 02  5.2078D + 02 5.4745D + 02
Michaelis-Menten  y_{M} (t) = ^{\frac{ω0kc+ωf tc}{kc+tc}}  1.4347D + 01  1.0379D + 01  4.9690D + 02  5.2162D + 02 5.5076D + 02
Gomp. modi. (α = 0)  y_{G}(t) = e^{a}(1 − be^{−ct})  6.6384D + 02  1.2290D + 02  1.1251D + 03  1.9118D + 03 1.2463D + 03
Gomp. modi. (α ∈ ℝ)  y_{Gp} (t) = α + e^{a}(1 − be^{−ct})  8.4100D + 01  1.8099D + 01  5.3827D + 02  6.4047D + 02 5.9858D + 02
Rich. modi. 2 (α = 0)  y_{R}(t) = a(1 − (1 − be^{−ct})^{m})  4.1746D + 01  2.8115D + 01  5.0490D + 02  5.7476D + 02 5.8335D + 02
Rich. modi. 2 (α ∈ ℝ) y_{Rp} (t) = α + a(1 − (1 − be^{−ct})^{m})  2.0332D + 01  1.3909D + 01  5.0022D + 02  5.3446D + 02 5.6418D + 02
Bridge mod.(α = 0)  y_{B}(t) = ae^{−mtb}  2.4031D + 01  1.6349D + 01  5.0387D + 02  5.4425D + 02 5.7110D + 02
Bridge mod. (α ∈ ℝ)  y_{Bp} (t) = α + ae^{−mtb}  1.9718D + 01  1.3756D + 01  5.0068D + 02  5.3415D + 02 5.643D + 02

TABLE 30. Autocorrélation : le Bou à Route de Boron.