Algèbres cluster de type fini et représentations de carquois

Grégoire Dupont

Mémoire de Master 2 Recherche de l’université Lyon 1

sous la direction de Philippe Caldero et Frédéric Chapoton

soutenu le 14 juin 2005 en présence de Frédéric Chapoton et Jérôme Germoni

Table des matières

1 Introduction 3

2 Les algèbres cluster 5 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Le phénomène Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2 La conjecture de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 La finitude du nombre de variables cluster . . . . . . . . . 7

3 Classification de Cartan-Killing des algèbres cluster 8 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Algorithme d’exhaustion des clusters . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Fonctions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3.2 Première condition de sortie : Cycles sans cordes . . . . . 11 3.3.3 Deuxième condition de sortie : Positivité des compagnons

quasi-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.4 Exhaustion des graines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Variables cluster dans le type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Les représentations de carquois 16

4.1 Algèbre des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.1 Propriétés des e_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.2 Propriétés de l’algèbre des chemins . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Propriétés de kQ-mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3 Le lemme de Ringel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 le théorème de Gabriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.1 Le sens direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.4.2 La réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Rappels de la théorie d’Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . 27 4.5.1 La translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.5.2 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Algèbres cluster de type fini et représentations de carquois

4.6 Aperçu de la catégorie cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Une version intrinsèque des algèbres cluster de type fini 34

5.1 Préliminaire : la forme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2.1 Les frises de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.2 Nombres de sous-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.2.3 La formule des variables cluster . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.4 Calculabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.5 Exemples explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Démonstration de la formule des variables cluster . . . . . . . . . 43 5.3.1 Structure de sous-algèbre de E_{Q} . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3.2 Les X_{M} comme variables cluster . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Une application : le théorème des dénominateurs . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Introduction

Introduites en 2002 par Serguei Fomin et Andrei Zelevinsky dans [1] suite à leurs travaux sur la positivité totale des matrices, les algèbres dites cluster ou amassées sont des algèbres engendrées par un système de générateurs construits par un procédé récursif élémentaire. Se révélant d’une grande richesse, ces structures ont commencé à apparaître dans de nombreux domaines mathématiques comme par exemple la combinatoire [3, 6], la géométrie algébrique (cf les travaux de B. Leclerc) ou la théorie des représentations [7, 11, 4].

Le côté purement constructif du procédé servant à définir les algèbres cluster a permis de mettre en avant de nombreux résultats propres aux clusters mais les démonstrations s’avèrent souvent peu conceptuelles et ne laissent pas beaucoup de place pour entrevoir la réelle généralité de l’objet. Le premier résultat de classification des algèbres cluster de type fini paru dans [2] a permis de faire le lien entre la classification des algèbres cluster de type fini et la classification des diagrammes de Dynkin. Dès lors, l’approche du sujet par la théorie des représentations a semblé naturelle.

Un premier détachement notoire de l’approche récursive est dû à Barot,Geiss et Zelevinsky dans leur classification des algèbres cluster de type fini [5]. Ils ont réussi, par le biais de l’étude directe de la positivté de certaines matrices à obtenir un critère non récursif de reconnaissance des algèbres cluster de type fini. Les démonstrations de cet article relèvent uniquement de l’algèbre linéaire et la théorie des représentations et sont indépendants de la structure d’algèbre cluster. Cette première approche des cluster par une théorie externe a ainsi permis d’obtenir des résultats explicites sur les cluster.

C’est dans cette optique de globalité qu’ont été introduites les représentations de carquois dans l’étude des algèbres cluster, les récents travaux [7, 4] tendent à montrer que la structure d’algèbre cluster est une structure assez naturelle liée de façon intrinsèque à une catégorie dérivée des représentations de carquois appelée catégorie cluster introduite dans [11].

Dans ce mémoire, nous allons donc nous centrer sur cette approche ”canonique” des algèbres cluster, nous allons donc d’abord étudier la classification de Barot-Geiss-Zelevinsky des algèbres cluster de type fini dans le but d’implémenter un algorithme générant les variables cluster d’une algèbre cluster de type fini donnée. Nous développerons ensuite la théorie des représentations de carquois qui s’avèrera nécessaire pour parvenir à notre but qui est de donner un caractère véritablement intrinsèque aux relations entre les variables cluster.

Enfin, avant de rentrer dans le vif du sujet, je tenais à remercier les personnes suivantes : Philippe Caldero et Frédéric Chapoton pour leurs conseils avisés et le temps qu’ils m’ont accordé, A. Zelevinsky, S. Fomin, R. Marsh et B. Leclerc pour les précieux cours professés au CIRM, B. Keller pour avoir mis en ligne ses notes manuscrites d’une très grande clarté, S. Porret-Blanc pour une aide indispensable en informatique, Y. Palu pour ses notes de cours et ses références. Sans oublier bien sûr Camille, ma famille, Clafooti et tous mes amis pour leur soutien et leur compréhension.

Les algèbres cluster

2.1 Définitions

Une algèbre cluster est une structure algébrique définie de façon très explicite par des relations de récurrence appelées mutations. Elles ont été introduites dans un cadre algébriquement très général dans [1], dans notre cas, nous nous réduirons au cas des algèbres cluster dites sans coefficients.

Soit n un entier naturel, on se fixe un corps ambiant F = ℚ(u_{1}, …, u_{n}) où u_{1}, …, u_{n} sont n variables algébriquement indépendantes sur ℚ. On notera \underline{u} = \{u_{1}, …, u_{n}\}.

Définition 2.1.0.1 Une matrice B ∈ M_{n}(ℤ) sera dite symétrisable si il existe une matrice D diagonale à entrées positives dans M_{n}(ℤ) appelée matrice symétrisante telle que DB soit une matrice symétrique appelée symétrisée de B.

Définition 2.1.0.2 Une matrice B ∈ M_{n}(ℤ) sera dite anti-symétrisable si il existe une matrice D diagonale à entrées positives dans M_{n}(ℤ) appelée matrice anti-symétrisante telle que DB soit une matrice anti-symétrique appelée antisymétrisée de B.

Remarque 2.1.0.3 Pour une matrice anti-symétrisable B, on a ∀i, b_{ii} = 0 et si i ≠ j et b_{ij} et b_{ji} sont soit simultanément nuls soit de signes opposés.

Définition 2.1.0.4 Un couple (\underline{x}, B) constitué d’un n-uplet \underline{x} = (x_{1}, …, x_{n}) de variables algébriquement indépendantes engendrant F et d’une matrice B anti-symétrisable est appelée une graine.

Définition 2.1.0.5 Etant donnée une graine (\underline{x}, B), z ∈ \underline{x} et B = (b_{xy}), soit z′ ∈ F tel que

zz′ = ∏_{b_{xz}>0} x^{b_{xz}} + ∏_{b_{xz}<0} x^{−b_{xz}}

Cette relation est appelée relation d’échange, z et z′ sont alors dites échangeables.

Définition 2.1.0.6 Etant donnée une graine (\underline{x}, B), z ∈ \underline{x} et z′ ∈ F échangeable avec z, on pose \underline{x}′ = \underline{x}\\{z\} ∪z′, on définit alors la mutation μ_{z} dans la direction z de la graine (\underline{x}, B) comme le couple (\underline{x}′, B′) où B′ est définie par :

b′_{xy} = \{ \begin{matrix}−b_{xy} & si x = z ou y = z \\ b_{xy} + \frac{1}{2} (|b_{xz}|b_{zy} + b_{xz}|b_{zy}|) & sinon \end{matrix}

B′ est appelée mutation de la matrice B dans la direction z.

On a alors le résultat classique suivant [1] :

Proposition 2.1.0.7 (\underline{x}′, B′) est une graine et (μ_{z′} ∘ μ_{z})(\underline{x}, B) = (\underline{x}, B). En particulier, si on indexe les entrées de la matrice sur {1, …, n}, μ_{k} est une involution.

On peut donc définir la relation d’équivalence engendrée par la mutation : (\underline{x}, B) ∼ (\underline{x}′, B′) si il existe une suite de mutations faisant passer de (\underline{x}, B) à (\underline{x}′, B′).

Définition 2.1.0.8 On appellera algèbre cluster associée à une matrice antisymétrisable B ∈ M_{n}(ℤ) la sous-ℤ-algèbre A(B) de F engendrée par les \underline{x} tels qu’il existe une matrice anti-symétrisable B′ vérifiant

(\underline{x}, B′) ∼ (\underline{u}, B)

Les éléments de ces \underline{x} sont appelés variables cluster et les u_{i} sont appelés les monômes cluster.

Exemple 2.1.0.9 Dans le cas où B = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ], on calcule aisément

que l’ensemble des graines est fini et les variables cluster sont u_{1}, u_{2}, \frac{1+u_{1}}{u_{2}} et \frac{1+u_{2}}{u_{1}} , \frac{1+u_{1}+u_{2}}{u_{1}u_{2}} .

Exemple 2.1.0.10 Dans le cas où B = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ], les graines sont

en nombre fini et les variables cluster sont

u_{1}, u_{2}, u_{3}, \frac{1 + u_{2}}{u_{1}} , \frac{u_{3} + u_{1}}{u_{2}} , \frac{1 + u_{2}}{u_{3}} , \frac{u_{3}u_{2} + u_{3} + u_{1}}{u_{1}u_{2}} , \frac{u_{3} + u_{1} + u_{1}u_{2}}{u_{3}u_{2}} , \frac{u_{1} + u_{3} + u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3}}{u_{1}u_{2}u_{3}}

2.2 Résultats préliminaires

Nous donnons ici les résultats essentiels pour notre étude, ils ont été établis par S. Fomin et A. Zelevinsky dans [1].

2.2.1 Le phénomène Laurent

Comme nous avons pu le remarquer dans les exemples précédents, les variables cluster s’expriment comme des polynômes de Laurent en les u_{i}, ce résultat découle du théorème suivant connu sous le nom de phénomène Laurent :

Théorème 2.2.1.1 (Phénomène Laurent) Soit B ∈ M_{n}(ℤ) anti-symétrisable, alors A(B) est une sous-algèbre de ℤ[u_{1}^{±1}, …, u_{n}^{±1}].

Remarque 2.2.1.2 Ce théorème a été démontré dans le cas le plus général dans [1], il est notamment vérifié que l’algèbre cluster ait un nombre fini de variables ou non.

2.2.2 La conjecture de positivité

De même, nous aurons pu voir que dans les deux exemples précédents, les variables cluster étaient dans ℤ_{≥0}[u_{1}^{±1}, …, u_{n}^{±1}], ce résultat est encore à l’état de conjecture dans le cas général, il est connu sous le nom de conjecture de positivité.

Ce résultat a été démontré une première fois dans un cas particulier dans [2]. Il a été démontré plus généralement dans le cas où les algèbres cluster ont un nombre fini de variables dans [4] par le biais des représentations de carquois.

2.2.3 La finitude du nombre de variables cluster

Comme cela a déjà été cité précédemment, la finitude ou non du nombre de variables cluster générées est un point central dans l’étude des algèbres cluster, nous consacrerons donc le chapitre suivant à leur étude :

Classification de Cartan-Killing des algèbres cluster

La structure naturellement récursive des algèbres cluster nous invite à implémenter un algorithme qui étant donné une matrice B anti-symétrisable, nous donne toutes les variables cluster de A(B). Etant donné la simplicité des relations de récurrence un tel programme n’est pas particulièrement difficile à mettre en oeuvre. Néanmoins, comme cela a déjà été cité précédemment, le nombre de variables cluster n’est pas nécessairement fini, nous allons donc devoir trouver un critère explicite qui permet de déterminer si ces variables sont en nombre fini ou non.

Nous allons pour cela nécessiter une caractérisation du type fini. Les premières ont été énoncées dans [2] en 2002 et étaient d’ordre purement théorique. En 2004, Barot, Geiss et Zelevinsky ont démontré une nouvelle caractérisation dans [5] qui a (entre autres) l’avantage d’être calculable sur machine, nous allons exposer ces résultats puis les mettre en application dans notre algorithme.

3.1 Définitions

Définition 3.1.0.1 Une algèbre cluster sera dite de type fini si elle n’a qu’un nombre fini de variables cluster ou de façon équivalente si elle a un nombre fini de graines.

Définition 3.1.0.2 On appellera matrice de Cartan généralisée une matrice A ∈ M_{n}(ℤ) symétrisable telle que :

1. a_{ii} = 2, pour tout indice i

2. a_{ij} ≤ 0, ∀i ≠ j Une telle matrice A sera dite de type fini si sa symétrisée est définie positive.

Définition 3.1.0.3 On appellera matrice quasi-Cartan une matrice A ∈ M_{n}(ℤ) symétrisable telle que ses entrées diagonales sont égales à 2.

Définition 3.1.0.4 Une matrice B anti-symétrisable sera dite de type fini si pour toute matrice B′ dans la classe de mutation de B et pour tout couple d’indices (i, j), on a

|b′_{ij}b′_{ji}| ≤ 3

Remarque 3.1.0.5 Cette terminologie peut sembler artificielle mais si on regarde la condition pour une matrice de Cartan généralisée 2×2 d’être de type fini, on a l’équivalence suivante :

A est de type fini ⇔ det [ \begin{matrix}2 & a_{ij} \\ a_{ji} & 2 \end{matrix} ] > 0 ⇔ a_{ij}a_{ji} ≤ 3

Définition 3.1.0.6 Pour une matrice B anti-symétrisable, on appellera homologue de Cartan de B la matrice de Cartan généralisée A(B) = (a_{ij}) définie par

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2 & si i = j \\ −|b_{ij}| & sinon \end{matrix}

Définition 3.1.0.7 Si B est anti-symétrisable, on appellera compagnon de Cartan de B toute matrice quasi-Cartan A telle que |a_{ij}| = |b_{ij}|, ∀i ≠ j.

Définition 3.1.0.8 Etant donné une matrice B, on peut définir le graphe orienté associé Γ(B) l’ensemble des sommets est l’ensemble d’indexation des entrées de B et tel que i⟶ j si b_{ij} > 0. On notera |Γ(B)| le graphe non-orienté sous-jacent.

3.2 Classification

Etant donnée une matrice anti-symétrisable B ∈ M_{n}(ℤ), on peut construire l’algèbre cluster A(B) comme l’algèbre générée par la graine initiale (\underline{u}, B), nous avons alors le théorème suivant qui synthétise les travaux de Fomin, Zelevinsky, Barot et Geiss présentés dans [2] et [5] :

Théorème 3.2.0.9 Soit B une matrice anti-symétrisable, sont équivalentes :

1. A(B) est une algèbre cluster de type fini.

2. B est de type fini

3. A(B′) est de type fini pour toute matrice B′ dans la classe de mutation de B

4. Tout cycle simple sans corde dans le graphe non-orienté |Γ(B)| est orienté

dans Γ(B) et B possède un compagnon de Cartan positif. En outre dans 3., le type Δ du diagramme de Dynkin associé à A(B) est uniquement déterminé par B et est appelé type de l’algèbre cluster, on notera alors A(Δ) pour A(B).

Exemple 3.2.0.10 On se donne la matrice B = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] anti-symétrique

d’homologue de Cartan A = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] et de graphe Γ(B) : 1⟶ 2 . Il est

clair que le quatrième point est vérifié, on sait donc que l’on est dans le type fini. La matrice A étant de type A_{2}, le type de l’algèbre cluster sera dite de type A_{2}.

Remarque 3.2.0.11 Historiquement, ce sont les trois premiers points qui ont été démontrés dans [2], comme nous pouvons le remarquer, ils ne sont pas implémentables sur machine car si l’algèbre n’était pas de type fini, on devrait calculer ”toutes” (c’est à dire une infinité) les graines pour s’en apercevoir, cela n’aurait donc aucun sens. Le dernier point issu de [5] quant à lui peut se vérifier directement sur la matrice de départ et sur ses compagnons de Cartan qui sont en nombre fini (de l’ordre de 2^{N}, où N est le nombre d’entrées positives de la matrice B). Du point de vue de la complexité, l’algorithme que nous fournissons pourra ultérieurement être largement amélioré sur ce point en restreignant considérablement les matrices à considérer, on se reportera à [5] pour plus de détails.

3.3 Algorithme d’exhaustion des clusters

Nous avons maintenant suffisamment d’outils pour implémenter un algorithme permettant à partir d’une graine de décider si l’algèbre cluster est de type fini et dans ce cas, nous allons donner une liste exhaustive des graines. L’algorithme est donné en annexe, nous donnerons dans ce chapitre une description commentée des diverses fonctions implémentées :

3.3.1 Fonctions préliminaires

Nous donnons ici deux fonctions préliminaires sur la gestion de listes. Elle sont totalement internes à l’algorithme et extérieures à la théorie, le lecteur pourra donc se passer de les regarder en première lecture. egal prend en entrées deux listes, elle renvoie 1 si ces listes sont égales et 0 sinon. La fonction inenslist prend en entrée une liste L et une liste de listes M, elle regarde alors si L est une des listes apparaissant en entrée de M. Elle renvoie 1 si c’est le cas, 0 sinon.

3.3.2 Première condition de sortie : Cycles sans cordes

Nous savons que nous sommes dans le type fini si :

1. Tout cycle sans corde de |Γ(B)| est orientable dans Γ(B).

2. B possède un compagnon quasi-Cartan positif. La première condition ne faisant appel qu’à la matrice B, elle nécessitera relativement peu de calculs, il est donc logique la mettre en première condition de sortie. Pour la vérifier, nous allons définir plusieurs fonctions :

La première tâche va être de sortir la liste de tous les cycles contenus dans Γ(B) pour une matrice B donnée. On implémente donc d’abord une fonction vatoorsng qui prend en entrée une matrice et un sommet i, elle ressort alors tous l’ensemble des sommets adjacents à i dans le graphe Γ(B). La procédure chemins due à S. Porret-Blanc réitère la fonction précédente afin de sortir la liste de tous les chemins possibles au départ du sommet i dans le graphe Γ(B) qui sont soit sans cycles, soit des cycles simples. On implémente alors une fonction cycles qui extrait d’une liste de chemins ceux qui sont des cycles, c’est à dire les listes dont la première entrée est égale à la dernière. La fonction allcycles est alors une itération de la fonction chemins sur l’ensemble des sommets du graphe à laquelle on applique la fonction cycles. On obtient alors l’ensemble des cycles simples contenus dans Γ(B).

Une fois que l’on a obtenu la liste de tous ces cycles, il s’agit d’extraire les cycles sans cordes de cette liste. Pour cela on introduit une fonction inclus. Cette fonction prend en entrée deux listes correspondant donc à deux cycles C_{i} et C_{j}, si l’un des deux cycles , par exemple C_{i} a une longueur strictement inférieure à l’autre, on regarde alors si l’ensemble des sommets dans C_{i} est contenu dans l’ensemble des sommets dans C_{j}, si c’est le cas, c’est que C_{i} contient une corde dans C_{j} et donc que C_{j} n’est pas un cycles sans corde, on renvoie alors un ensemble correspondant à l’indice du cycle le plus court, dans notre exemple, ce sera donc {i}. Si l’un des sommets n’appartient pas à C_{j} ou si les longueurs sont égales , on renvoie alors {i, j} pour indiquer que l’on n’a pas de condition suffisante pour éliminer un cycle. Puisque cette fonction est appliquée au résultat obtenue dans allcycles qui contient tous les cycles possibles, on voit qu’il suffira de se limiter à regarder cette condition sur les cycles inclus les uns dans les autres pour éliminer tous les cycles avec cordes. La fonction chordless prend en entrée l’ensemble {C_{i}} _{i} des cycles et applique inclus à l’ensemble des couples de cycles (C_{i}, C_{j}) que l’on peut former. A chaque fois que i (respectivement j) n’apparait pas dans le résultat de inclus, on élimine C_{i} (resp. C_{j}) de la liste des cycles sans cordes potentiels. A la fin, on obtient donc la liste des cycles sans cordes du graphe Γ(B).

On note |Γ(B)| le graphe non-orienté sous-jacent à Γ(B), on veut à partir de B obtenir |Γ(B)|, pour cela, il nous suffira de considérer une matrice que nous appelerons symétrisée par rapport à ses éléments positifs B^{+} définie comme suit :

{b_{ij}, b_{ji}} ∩ ℝ_{+}^{∗} ≠ ∅ ⇔ {b_{ij}^{+}, b_{ji}^{+}} ⊂ ℝ_{+}^{∗}

Si b_{ij} > 0, dans Γ(B) on aura i⟶ j et dans Γ(B^{+}), on aura une double flèche i⟶ j et j⟶ i. Dès lors, l’ensemble des cycles possibles dans |Γ(B)| correspondra simplement à l’ensemble des cycles obtenus par allcycles appliquée à B^{+} où on aura identifié les cycles parcourus dans les deux sens opposés. C’est la fonction invl qui implémente cette identification. Il ne reste alors plus qu’à regarder si les cycles sans cordes obtenus dans chodless(allcycles(symplus(B)) sont en fait des cycles orientés dans Γ(B), pour cela on implémente une simple fonction comp de comparaison modulo l’ordre de parcours des cycles : elle prend en entrée une liste L_{1} correspondant aux cycles de Γ(B) et une liste L_{2} correspondant aux cycles sans cordes dans |Γ(B)|, elle regarde alors si un cycle de la deuxième liste (ou son inverse) appartient à la première, elle renvoie 0 dès que ce n’est pas le cas, si on a 1 au bout du compte, c’est que tous sont en fait dans la première liste. Appliquée à nos résultats précédents , on aura donc 0 si l’un des cycles sans cordes n’est pas orienté et 1 sinon.

Il suffit alors de regarder si le dernier résultat obtenu est 0 ou 1 pour valider ou invalider la première condition à vérifier. Si on a obtenu 0, on sait que l’un des cycles sans corde n’est pas orientable et donc l’hypothèse 4. du théorème ne pourra être vérifiée, on est donc dans le type infini et on peut arrêter le calcul. Si on a obtenu 1, on doit alors vérifier la condition sur la positivité des compagnons de Cartan pour pouvoir conclure, c’est ce que nous appellerons notre deuxième condition de sortie.

3.3.3 Deuxième condition de sortie : Positivité des compagnons quasi-Cartan

Nous allons commencer par implémenter une fonction qui vérifie si une matrice symétrique donnée est définie positive ou non. Pour cela, nous allons nous appuyer sur le lemme classique d’algèbre linéaire suivant qui va grandement accélérer les calculs :

Lemme 3.3.3.1 Soit M = (m_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ) une matrice symétrique, on note M_{k} = (m_{ij})_{1≤i,j≤k} ∈ M_{k}(ℝ) pour k = 1, …, n, alors M est définie positive si et seulement si pour tout k = 1, …, n, det(M_{k}) > 0.

On peut alors implémenter la fonction pos qui étant donnée une matrice symétrique, renvoie 1 si elle est définie positive et 0 sinon.

Nous allons maintenant implémenter une fonction qc qui étant donnée une matrice B va générer l’ensemble des ses compagnons quasi-Cartan. Son deuxième paramètre M sera une liste d’exclusion ayant un usage interne dans la récursion, il doit être mis à {}. La fonction commence par créer une matrice symétrique C où on a posé c_{ii} = 2 et c_{ij} = c_{ji} pour i < j. On regarde si cette matrice est définie positive, si elle ne l’est pas, on génère alors la liste des compagnons de C et à chaque fois que l’on obtient une matrice positive on rajoute 1 à notre variable f. Si à la fin f est nul, c’est que nous n’avons aucun compagnon de Cartan de C positif. Il faut faire attention au fait que la matrice B de départ étant simplement antisymétrisable et non anti-symétrique , il ne suffit pas de considérer C tel que c_{ii} = 2 et c_{ij} = c_{ji} pour i < j mais on doit aussi appliquer le même procédé à D tel que d_{ii} = 2 et d_{ij} = d_{ji} pour i > j, pour cela on appliquera simplement qc à B^{t}.

Si qc(B, {}) + qc(B^{t}, {}) > 0, c’est que B a compagnon quasi-Cartan positif et donc on peut en déduire que le point 4. du théorème est vérifié et donc l’algèbre cluster A(B) est de type fini, on peut alors passer à la procédure d’exhaustion des graines à proprement parler.

3.3.4 Exhaustion des graines

mutation est une procédure prenant en entrée un vecteur de variables V de rang n, une matrice anti-symétrisable B ∈ M_{n}(ℤ) (potentiellement rectangulaire mais ça ne nous concerne pas ici) et un indice k correspondant à la direction dans laquelle nous allons effectuer notre mutation. Elle retourne alors simplement la graine μ_{k}(B, V).

longparcours prend en entrée une graine, elle renvoie alors toutes graines adjacentes en appliquant une mutation dans toutes les directions possibles.

exhaust est une fonction récursive prenant en entrée une graine, elle regarde alors toutes les graines adjacentes puis toutes les graines adjacentes à ces nouvelles graines et ainsi de suite. Elle s’arrête lorsqu’à une étape elle n’a pas trouvé de nouvelle graine. Puisque nous savons que l’algèbre des de type fini, on sait que ce procédé va effectivement s’arrêter. On renvoie alors l’ensemble de toutes les graines. Les fonctions ensclus (respectivement ensmat) sont alors simplement des procédures d’extraction de variables cluster (respectivement des matrices de mutations) dans le résultat précédent.

3.4 Variables cluster dans le type fini

Dans cette section, nous allons préciser le rapport entre la classification de Cartan-Killing et les variables cluster d’une algèbre cluster de type donné. Plus exactement, nous allons expliciter une bijection entre les variables cluster et un sous-ensemble de l’ensemble des racines correspondant à la matrice de Cartan de la graine.

Une fois que nous savons qu’une algèbre cluster est de type fini, elle est d’un type de Dynkin donné. On peut alors lui associer son système de racine Φ. On notera alors Φ_{≥0} les racines positives, Π = {α_{i}, …, α_{m}} les racines simples et Φ_{≥−1} = Φ_{≥0} ∪ (−Π) l’ensemble des racines dites presques positives.

Exemple 3.4.0.1 1. A_{2} : Φ_{≥−1} = {−α_{1}, −α_{2}, α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}}

2. A_{3} : Φ_{≥−1} = {−α_{1}, −α_{2}, −α_{3}, α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{1} + α_{2} + α_{3}}

Nous allons déjà voir sur deux exemples quelle peut-être cette bijection :

Exemple 3.4.0.2

1. Dans le cas où B = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ], on a vu que l’on est dans le type A_{2}.

Puisque l’on est dans le type fini, on peut générer l’ensemble des variables cluster (par simple calcul ou avec l’algorithme proposé en annexe), cet ensemble est :

X = \{u_{1}, u_{2}, \frac{u_{2} + 1}{u_{1}}, \frac{u_{1} + 1}{u_{2}}, \frac{u_{2} + u_{1} + 1}{u_{1}u_{2}}\}

et par ailleurs, on a

Φ_{≥−1} = {−α_{1}, −α_{2}, α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}}

En écrivant que u_{1} = \frac{1}{u_{1}^{−1}} , on voit que l’on a une bijection de X sur Φ_{≥−1}

qui, étant donnée une variable cluster \frac{P (u_{1},u_{2})}{u_{1}^{c_{1}} u_{2}^{c_{2}}} avec P (0, 0) ≠ 0 associe ∑ c_{i}α_{i}.

2. Si nous testons ceci sur A_{3}, l’algorithme d’exhaustion des clusters donne :

\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, \frac{1 + u_{2}}{u_{1}} , \frac{u_{3} + u_{1}}{u_{2}} , \frac{1 + u_{2}}{u_{3}} , \frac{u_{3}u_{2} + u_{3} + u_{1}}{u_{1}u_{2}} , \frac{u_{3} + u_{1} + u_{1}u_{2}}{u_{3}u_{2}} , \frac{u1 + u_{3} + u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3}}{u_{1}u_{2}u_{3}} \}

et on sait que l’ensemble des racines presque positives est

{−α_{1}, −α_{2}, −α_{3}, α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{1} + α_{2} + α_{3}}

on retrouve donc bien la même bijection.

Ce sont en fait deux cas particulier du théorème des dénominateurs :

Théorème 3.4.0.3 Si A est une algèbre cluster de type fini, il existe une unique bijection α⟶ u[α] entre les racines presque positives de Φ est le variables cluster de A telle que pour tout α ∈ Φ_{≥−1}, la variable cluster u[α] s’exprime en fonction de la graine initiale (u_{1}, …, u_{n}) par

u[α] = \frac{P_{α}(u_{1}, …, u_{n})}{u_{1}^{α_{1}} ⋯ u_{n}^{α_{n}}}

avec P_{α} ∈ ℤ[T_{1}, …, T_{n}] est un polynôme de terme constant non-nul. De plus, sous cette bijection, les racines simples négatives −α_{i} s’envoient sur les monômes cluster u_{i}.

Ce théorème a initialement été démontré dans [2] dans le cas du carquois de type A d’une manière très technique. Nous ne donnerons pas ici cette démonstration mais nous exposerons au chapitre 5 celle de [4] qui, en faisant appel aux représentations de carquois, montre ce résultat de façon beaucoup plus conceptuelle et surtout expose une preuve qui ne se limite pas au type A mais qui marche en toute généralité dans le type fini.

Les représentations de carquois

4.1 Algèbre des chemins

Définition 4.1.0.4 Un carquois Q est un graphe orienté, ie la donnée d’un ensemble de sommets Q_{0} ≠ ∅, d’un ensemble de flèches Q_{1} et de deux applications s : Q_{1}⟶ Q_{0} et t : Q_{1}⟶ Q_{0} qui à une flèche associent respectivement sa source et son but.

Dans toute la suite Q désignera un carquois fini et k un corps algébriquement clos.

Définition 4.1.0.5 Soit Q un carquois, 1. On appellera boucle dans Q une flèche α ∈ Q_{1} telle que s(α) = t(α).

2. On appellera double flèche de Q un couple de flèches α ≠ β ∈ Q_{1} tel que s(α) = s(β) et t(α) = t(β)

3. On appellera chemin de Q une suite c = (x, α_{1}, …, α_{n}, y) telle que x, y ∈ Q_{0}, α_{i} ∈ Q_{1} vérifiant s(α_{i+1})) = t(α_{i})), s(α_{1}) = x et t(α_{n}) = y, on pose alors s(c) = x et t(c) = y.

4. Deux chemins c = (x, α_{1}, …, α_{n}, y) et c′ = (x′, α′_{1}, …, α′_{m}, y′) seront dits composables si s(c) = t(c′) et leur composé est

c ∘ c′ = (x′, α′_{1}, …, α′_{m}, α_{1}, …, α_{n}, y))

5. Pour chaque sommet i ∈ Q_{0}, on appellera chemin paresseux le chemin e_{i} = (i, i), on a alors pour tout chemin c tel que t(c) = i, e_{i}c = c et pour tout chemin c′ tel que s(c′) = i, on a c′e_{i} = c′.

Définition 4.1.0.6 On définit l’algèbre des chemins sur Q comme la k-algèbre libre sur l’ensemble des chemins :

kQ = ⨁_{c chemin} kc

on la munit de la multiplication k-bilinéaire définie par :

cc′ = \{ \begin{matrix}c ∘ c′ & si c et c′ sont composables \\ 0 & sinon \end{matrix}

kQ est alors une k-algèbre associative d’élément neutre 1 = ∑_{i∈Q_{0}} e_{i}.

Exemple 4.1.0.7 Si Q est un carquois fini tel que |Q_{0}| = n et tel qu’il existe au plus un chemin entre deux points donnés, alors

kQ ≃ {M ∈ M_{n}(k) : m_{ij} = 0 si il n’existe pas de flèche de i vers j}

par exemple si Q = 1⟶ 2⟶ ⟶ ⋯ ⟶ n, on a kQ est l’algèbre des matrices de M_{n}(k) triangulaires supérieures.

4.1.1 Propriétés des e_{i}

Pour chaque i ∈ Q_{0}, on a

1. e_{i}e_{j} = 0 si i ≠ j

2. L’idéal à gauche P_{i} := kQe_{i} où i ∈ Q_{0} est égal à ⨁_{s(c)=i} kc. Puisque kQ = ⨁_{i} kQe_{i}, les P_{i} sont des facteur directs du kQ-module libre kQ, ils sont donc projectifs.

3. Si M est un kQ-module à gauche, alors on a l’isomorphisme :

\begin{matrix}Hom_{kQ}(kQe_{i}, M) & ↔ & e_{i}M \\ f & ⟶ & f(e_{i}) = e_{i}f(e_{i}) \\ (ce_{i}⟶ ce_{i}m) & ⟵ & m \end{matrix}

On note alors I_{i} := e_{i}kQ, ce sont donc des modules injectifs.

4. Si f ∈ kQe_{i} et g ∈ e_{i}kQ sont non nuls, alors fg ≠ 0.

Proposition 4.1.1.1 Pour tout indice i, kQe_{i} est un module indécomposable

Preuve : Soit kQe_{i} = M_{1} ⊕ M_{2}. La projection π de kQe_{i} sur M_{1} parallèlement à M_{2} est alors un morphisme de kQ-modules, donc π ∈ Hom_{kQ}(kQe_{i}, kQe_{i}) ≃ e_{i}kQe_{i} donc π est donné par la multiplication à droite par un élément f ∈ e_{i}kQe_{i} tel que f^{2} = f = fe_{i}. Ainsi, f(f − e_{i}) = 0 mais alors en vertu de la dernière remarque, puisque f ∈ kQe_{i} et que (f − e_{i}) ∈ e_{i}kQ, on doit avoir f = 0 ou f = e_{i} ie M_{1} = 0 ou M_{2} = 0. □

4.1.2 Propriétés de l’algèbre des chemins

Proposition 4.1.2.1 kQ est de dimension finie comme k-espace vectoriel si et seulement si Q n’admet pas de cycles orientés.

Preuve : Si Q contient un cycle orienté c, alors k[c] est un sous-espace vectoriel de kQ et donc kQ est de dimension infinie. Réciproquement, si Q est acyclique, il est clair qu’il n’y a qu’un nombre fini de chemins et donc kQ admet un système de générateurs fini. □

Définition 4.1.2.2 Si A est une k-algèbre associative unitaire, on note A-mod la catégorie des A-modules de dimension finie sur k.

Le théorème de Krull-Schmidt va alors nous permettre de réduire l’étude des kQ-modules à celle des kQ-modules indécomposables :

Théorème 4.1.2.3 (Krull-Schmidt) Soit A une k-algèbre associative, tout A-module de dimension finie sur k se décompose en une somme de A-modules indécomposables uniques à isomorphisme et permutation près.

Nous avons déjà vu que kQ est une k-algèbre asosciative, pour classifier les isoclasses de kQ-modules, nous allons donc nous intéresser à la classification des isoclasses d’indécomposables, pour cela, nous introduisons les représentations de carquois que nous allons mettre en rapport direct avec les kQ-modules.

4.2 Représentations

Définition 4.2.0.4 Une représentation de Q sur k est la donnée d’une famille de k-espaces vectoriels de dimensions finies (V_{i})_{i∈Q_{0}} et d’applications linéaires (V_{ϕ} : V_{s(ϕ)}⟶ V_{t(ϕ)})_{ϕ∈Q_{1}}.

Définition 4.2.0.5 Soit V, W deux représentations de Q, un morphisme f : V ⟶ W de représentations de Q est la donnée d’une famille d’applications linéaires (f_{i} : V_{i}⟶ W_{i})_{i∈Q_{0}} telles que les diagrammes suivants commutent :

V_{s(ϕ)} ⟶ V_{t(ϕ)}
↓ f_{s(ϕ)}  ↓ f_{t(ϕ)}
W_{s(ϕ)} ⟶ W_{t(ϕ)}

f est appelé isomorphisme de représentations si ∀i ∈ Q_{0}, l’application f_{i} est inversible.

Définition 4.2.0.6

1. Soit V, W deux représentations de Q, on définit la somme V ⊕ W de V et

W par :

(V ⊕ W)_{i} = V_{i} ⊕ W_{i}, ∀i ∈ Q_{0}
(V ⊕ W)_{ϕ} = V_{ϕ} ⊕ W_{ϕ}, ∀ϕ ∈ Q_{1}

C’est toujours une représentation de Q.

2. Une représentation V de Q est dite indécomposable si V ≠ 0 et si on a

l’implication :

V = V′ ⊕ V′′ ⇒ (V′ = 0 ou V′′ = 0)

3. Une représentation est dite simple si elle est non-nulle et si elle n’a pas de sous-représentation non-nulle.

Exemple 4.2.0.7 La représentation S_{i} définie par S_{i}(j) = \{ \begin{matrix}k & si j = i \\ 0 & sinon \end{matrix}

est simple.

Etant donné un carquois Q, on note Rep_{k}(Q) la catégorie des réprésentations de Q sur k, comme annoncé, nous allons voir que cette notion est très fortement liée à la notion de module sur l’algèbre des chemins par le théorème suivant :

Théorème 4.2.0.8 On a une équivalence de catégories

\begin{matrix}kQ − mod & ⟶ & Rep(Q) \\ M & ⟶ & (e_{i}M; i ∈ Q_{0}, e_{i}M ⟶^{ϕ} e_{j}M, ϕ ∈ Q_{1}) \\ ⨁_{i∈Q_{0}} V_{i} & ⟵ & V \end{matrix}

Dès lors, d’après le théorème de Krull-Schmidt, nous allons donc nous contenter d’étudier les représentations indécomposables du carquois Q. Puisque cette classification doit se faire à isomorphisme près, nous allons déjà considérer plus en détail la notion d’isomorphisme de représentations :

Remarque 4.2.0.9 Pour connaître les représentations de Q à isomorphisme près, il suffit de connaître les orbites pour l’action des groupes linéaires correspondants, plus précisément, si on a g : V ⟶^{∼} W, on peut identifier les V_{i} à leur image par l’isomorphisme g_{i}, on a alors l’action de ∏_{i∈Q_{0}} GL(V_{i}) sur les Hom(V_{i}, V_{j}) par :

(g_{i})_{i}.α_{ij} = g_{j}α_{ij}g_{i}^{−1}

qui découle de la commutation du diagramme

V_{i}  ⟶^{α_{ij}}  V_{j}
↓ g_{i}  ↓ g_{j}
V_{i} ⟶^{g_{j}α_{ij}g_{i}^{−1}} V_{j}

Ceci va nous permettre de classifier les représentations de quelques carquois élémentaires et de voir la très grande généralité de cette notion.

Exemple 4.2.0.10

1. Q = • les représentations de Q sont alors les k-espaces vectoriels de dimension finie et la seule représentation indécomposable est k on a

Rep_{k}(Q) ≃ k−mod

2. Q = • ↩ les représentations de Q sont alors les k-espaces vectoriels E munis d’un endomorphisme f, pour connaître les indécomposables, il suffit de connaître les orbites sous l’action de GL(E) sur End(E) par g.f = gfg^{−1}, les orbites sont donc les classes de similitude et elles sont caractérisées par ℂ^{n} et les blocs de Jordan.

3. Q = •⟶ • Les représentations de Q sont les couples de k-espaces vectoriels (E, F) munis d’une application linéaire. Les orbites sous l’action de GL(E) × GL(F) par (p, q).f = pfq^{−1} sont les classes d’équivalence de matrices, caractérisées par leur rang. Il y a donc trois types d’indécomposables :

k ⟶^{1} k, 0⟶ k et k⟶ 0

Définition 4.2.0.11 Un carquois n’ayant qu’un nombre fini de représentations indécomposables à isomorphisme près est appelé carquois de représentation finie.

4.2.1 Propriétés de kQ-mod

Nous allons maintenant nous appuyer sur l’équivalence de catégories pour regarder quelques propriétés de la catégorie kQ-mod. L’un des résultats essentiels de cette section est que la dimension globale à gauche de kQ est 1, ceci impliquera notamment que la catégorie sera héréditaire :

Nous commençons par introduire deux objets fondamentaux : le vecteur dimension et la forme de Tits, le résultat essentiel concernant ces objets (à savoir le théorème de Gabriel) sera énoncé dans la section suivante.

Définition 4.2.1.1 On appelle vecteur dimension d’une représentation V de Q le vecteur

\underline{dim} V = (dim V_{i})_{i∈Q_{0}} ∈ ℕ^{Q_{0}}

Définition 4.2.1.2 Soit Q un carquois, la forme de Tits associée à Q est la forme quadratique

q_{Q} : \{ \begin{matrix}ℤ^{Q_{0}} & ⟶ & ℤ \\ α & ⟶ & ∑_{i∈Q_{0}} α_{i}^{2} − ∑_{ϕ∈Q_{1}} α_{s(ϕ)}α_{t(ϕ)} \end{matrix}

Remarque 4.2.1.3 1. La forme de Tits ne dépend que du graphe non-orienté sous-jacent à Q.

2. q_{Q} est définie positive si et seulement si son extension naturelle à ℝ^{Q_{0}} l’est.

Lemme 4.2.1.4 Soit X, Y ∈ Rep(Q), 1. On a une suite exacte de k-espaces vectoriels :

0⟶ Hom_{kQ}(X, Y)⟶ ∏_{i∈Q_{0}} Hom_{k}(X_{i}, Y_{i})⟶ ∏_{ϕ∈Q_{1}} Hom_{k}(X_{s(ϕ)}, Y_{t(ϕ)})⟶ Ext_{kQ}^{1}(X, Y)⟶ 0

où la première flèche est l’injection canonique et la deuxième flèche est :

(g_{i})_{i∈ϕ}⟶ g_{t(ϕ)}X_{ϕ} − Y_{ϕ}g_{s(ϕ)}

2. On a

dim Hom_{kQ}(X, X) − dim Ext^{1}(X, X) = q(\underline{dim} X)

Preuve :

1. On considère la résolution :

0 ⟶ ⨁_{ϕ∈Q_{1}} kQe_{t(ϕ)} ⊗ X_{s(ϕ)} ⟶ ⨁_{i∈Q_{0}} kQe_{i} ⊗ X_{i} ⟶ X ⟶ 0
u ⊗ x  ⟶ uϕ ⊗ x − u ⊗ ϕ(x)
u ⊗ x  ⟶ ux

On sait que kQe_{i} est un module projectif,si on note P_{1} = ⨁_{ϕ∈Q_{1}} kQe_{t(ϕ)}⊗ X_{s(ϕ)} et P_{0} = ⨁_{i∈Q_{0}} kQe_{i} ⊗ X_{i}, ce sont des modules projectifs et on a donc une résolution projective

0⟶ P_{1}⟶ P_{0}⟶ X

On applique alors le foncteur contravariant Hom_{kQ}(−, Y), on obtient alors la suite exacte :

0⟶ Hom_{kQ}(M, Y)⟶ Hom_{kQ}(P_{0}, Y)⟶ Hom_{kQ}(P_{1}, Y)⟶ Ext_{kQ}^{1}(M, Y)⟶ Ext_{kQ}^{1}(P_{0}, Y)⟶ ⋯

P_{0} étant projectif, on a Ext_{kQ}^{1}(P_{0}, Y) = 0 et donc on obtient la suite exacte

0⟶ Hom_{kQ}(X, Y)⟶ Hom_{kQ}(⨁_{i∈Q_{0}} kQe_{i} ⊗ X_{i}, Y)
⟶ Hom_{kQ}(⨁_{ϕ∈Q_{1}} kQe_{t(ϕ)} ⊗ X_{s(ϕ)}, Y)⟶ Ext_{kQ}^{1}(X, Y)⟶ 0

mais on a vu l’isomorphisme Hom_{kQ}(kQe_{i}, Y) ≃ e_{i}Y = Y_{i}, d’où

0⟶ Hom_{kQ}(X, Y)⟶ ∏_{i∈Q_{0}} Hom_{kQ}(X_{i}, Y_{i})
⟶ ∏_{ϕ∈Q_{1}} Hom_{kQ}(X_{s(ϕ)}, Y_{t(ϕ)})⟶ Ext_{kQ}^{1}(X, Y)⟶ 0

2. La somme alternée des dimensions dans une suite exacte est nulle, on a

donc

dim Hom_{kQ}(X, Y)) − dim Ext_{kQ}^{1}(X, Y) = q_{Q}(\underline{dim} X)
□

Remarque 4.2.1.5 La première flèche du premier point du lemme est en général une injection stricte car tout flèche de ∏ Hom_{k}(X_{i}, Y_{i}) ne fait pas nécessairement commuter les diagrammes.

Afin de bien mettre en évidence les propriétés de la catégorie kQ-mod, on rappelle le lemme suivant [15] :

Lemme 4.2.1.6 (pd lemma) Soit A un anneau, M dans A-mod et n un entier naturel, sont équivalentes : 1. M est de dimension projective inférieure ou égale à n.

2. Ext_{A}^{i}(M, N) = 0 pour tout i > n et tout objet N de A-mod.

3. Si 0⟶ M′⟶ P_{n−1}⟶ ⋯ ⟶ P_{0}⟶ M⟶ 0 est une résolution d’un objet M de A-mod avec les P_{i} projectifs, alors M′ est projectif.

Nous pouvons donc maintenant énoncer le corollaire suivant, fondamental pour toute la suite de nos travaux :

Corollaire 4.2.1.7 kQ-mod est une catégorie héréditaire

Preuve : On a vu dans la démonstration précédente que tout kQ-module X admet une résolution projective de longueur 1

0⟶ P′⟶ P′′⟶ X⟶ 0

Si X est un sous-module d’un module projectif P, on considère alors la résolution

0⟶ X⟶ P ⟶ P/X⟶ 0

Il ne reste plus qu’à appliquer le troisième point du ”pd-lemma”. □

4.3 Le lemme de Ringel

Nous allons consacrer cette section à l’étude de la structure des endomorphismes des kQ-modules, nous allons d’abord démontrer le lemme de Fitting qui donnera un résultat de structure assez général puis le lemme de Ringel qui précisera la situation :

Lemme 4.3.0.8 (Lemme de Fitting) Soit A une k-algèbre et M un A-module de dimension finie sur k, on a alors l’équivalence entre :

1. M est indécomposable.

2. End_{A}(M) est un anneau local (ie les endomorphismes non-inversibles forment un idéal qui est l’unique idéal maximal).

3. Les endomorphismes de M sont les λ1_{M} + g avec λ ∈ k et g nilpotent.

Preuve : 2 ⇒ 1 On a Si M est décomposable, alors End_{A}(M_{1})⊕End_{A}(M_{2}) ⊂ End_{A}(M),

si on appelle E l’ensemble des éléments non-inversibles, on aalors E ⊂_{≠} End_{A}(M_{1}) ⊕ E_{|M_{2}} qui est aussi un idéal propre et donc End_{A}(M) n’est pas local.

1 ⇒ 3 Soit f ∈ End_{A}(M), f est un endomorphisme de k-espaces vectoriels donc il est somme directe de ses restrictions aux sous-espaces caractéristiques qui sont des noyaux de polynômes en f et donc des Amodules. M étant indécomposable, il est égal à l’un de ces noyaux et donc f = λ1_{M} + g avec g nilpotent.

3 ⇒ 2 Soient u, v ∈ End_{A}(M) deux nilpotents, on sait que les éléments de End_{A}(M) sont soit nilpotents soit inversibles et on veut montrer que les nilpotents forment un idéal (qui sera donc maximal). Il suffit donc de voir que le produit et la somme de deux nilpotents reste nilpotent (étant donnée la forme des endomorphismes généraux cela suffit). Si uv est inversible, alors uv est surjectif donc u est surjectif et donc (par dimension finie) bijectif, contradiction. Par ailleurs si u et v sont nilpotents, on écrit u + v = λλ1_{M} + g avec g nilpotent, on a alors l’égalité des traces tr(u + v) = tr(λ1_{M} + g) mais tr(u + v) = tr(u) + tr(v) = 0 et tr(g) = 0 donc finalement tr(λ1_{M}) = 0 et donc λ = 0, d’où u + v est nilpotent.

□

Lemme 4.3.0.9 (Lemme de Ringel) Soit Q un carquois fini tel que la forme de Tits q_{Q} est définie positive, soit X une représentation indécomposable, on a alors :

End_{kQ}(X) = k1_{X}

Preuve : D’après le lemme de Fitting, on sait que End_{kQ}(X) = {λ1_{X} + g : λ ∈ k, g nilpotent}, il suffit donc de montrer que tout nilpotent est nul, pour cela on procède par récurrence sur la dimension de X : dim X = 1 : Il n’y a rien à démontrer. dim X > 1 : On considère alors f nilpotent non-nul tel que Im f soit de

dimension minimale. On a alors f^{2} = 0. On écrit alors la décomposition en indécomposables du noyau de f :

ker f = ⨁_{i=1}^{r} K_{i}

On pose alors

j_{i} : Im f ↪ ker f ⟶^{pr_{i}} K_{i}

Cette application est soit nulle, soit injective par minimalité de dim Im f. X étant indécomposable, la suite 0⟶ ker f ↪ X⟶ Im f⟶ 0 ne peut pas être scindée (car la scission est équivalente à l’existence d’un supplémentaire). De même la suite

0⟶ K_{i}⟶ X/(⨁_{j≠i} K_{j}) ⟶^{f} Im f⟶ 0

n’est pas scindable par indécomposabilité de X, on a donc

Ext_{kQ}^{1}(Im f, K_{i}) ≠ 0

Par ailleurs, l’injection j_{i} : Im f ↪ K_{i} induit une surjection

Ext_{kQ}^{1}(K_{i}, K_{i})⟶ Ext_{kQ}^{1}(Im f, K_{i}) ≠ 0

Or

0 < q(\underline{dim} K_{i}) = dim (Hom_{kQ}(K_{i}, K_{i})) − dim (Ext_{kQ}^{1}(K_{i}, K_{i}))

mais par hypothèse de récurrence, on a dim (Hom(K_{i}, K_{i})) = 1 et donc dim (Ext_{kQ}^{1}(K_{i}, K_{i})) < 1 ie dim (Ext_{kQ}^{1}(K_{i}, K_{i})) = 0 mais alors on aurait dim (Ext_{kQ}^{1}(Im f, K_{i})) ≤ 0, ce qui est absurde et donc f = 0 ie tous les nilpotents sont nuls.

□

4.4 le théorème de Gabriel

Théorème 4.4.0.10 (Gabriel - 1970) Sont équivalentes :

1. Q est de représentation finie.

2. q_{Q} est définie positive Dans ce cas, l’espace des indécomposables à isomorphisme près est en bijection avec l’ensemble des α ∈ ℕ^{Q_{0}} tels que q_{Q}(α) = 1 par l’application V ⟶ \underline{dim} V. Ces α sont appelées racines positives de q_{Q}.

D’autre part, on a le théorème classique suivant :

Théorème 4.4.0.11 Sont équivalentes :

1. q_{Q} est définie positive

2. le graphe sous-jacent à Q est réunion disjointe de graphes de Dynkin de

type A, D ou E. Dans ce cas, les racines positives de q_{Q} sont exactement les racines positives du système de racines associé au graphe sous-jacent.

Les deux précédents théorèmes jouent une rôle crucial dans l’aspect théorie des représentations des algèbres cluster. On verra en effet que dans le cas d’une algèbre cluster de type A, D ou E le théorème 3.4.0.3 fournit une bijection des racines presque positives sur l’ensemble des variables cluster et donc une bijection des racines positives les variables cluster qui ne sont pas des monômes cluster. On obtient donc ainsi une bijection entre les isoclasses d’indécomposables dans modkQ et ces variables cluster non-monomiales.

Nous allons consacrer le reste de cette section à la démonstration du théorème de Gabriel. On se fixe donc pour la suite un α ∈ ℕ^{Q_{0}}.

Définition 4.4.0.12 On note Rep(α) ou Rep(Q, α) l’espace des représentations de Q de vecteur de dimension α, c’est à dire

∏_{ϕ∈Q_{1}} Hom_{k}(k^{α_{s(ϕ)}}, k^{α_{t(ϕ)}})

C’est donc une variété affine isomorphe à ∏_{ϕ∈Q_{1}} k^{α_{s(ϕ)}α_{t(ϕ)}}, elle est donc irréductible de dimension ∑_{ϕ∈Q_{1}} α_{s(ϕ)}α_{t(ϕ)}

Pour x ∈ Rep(α), on note X la représentation

X = ({k^{α_{i}}, i ∈ Q_{0}}; {x_{ϕ}, ϕ ∈ Q_{1}})

On pose aussi

GL(α) = ∏_{i∈Q_{0}} GL(k^{α_{i}})

qui agit par :

(g.x)_{ϕ} = g_{t(ϕ)}x_{ϕ}g_{s(ϕ)}^{−1}

Remarque 4.4.0.13

1. On a une bijection canonique entre les orbites de GL(α) sur Rep(α) et les représentations de V de vecteurs de dimension α à isomorphisme près :

GL(α).x → classe de X

2. On a un isomorphisme naturel entre stab_{GL(α)}(x) et (End(X))^{∗} l’ensemble des éléments inversibles de End(X) qui est ouvert dans End(X) Si X ≠ 0, alors k^{×} ⊂ stab_{GL(α)}(x) et donc la dimension de stab_{GL(α)}(x) est au moins 1. Si X = Y ⊕ Z avec Y, Z ≠ 0, alors k^{×} × k^{×} ⊂ stab_{GL(α)}(x), en particulier si la dimension du stabilisateur de x est 1, alors X est indécomposable.

3. Soit X ∈ Rep(α), α ≠ 0, alors GL(α) est irréductible et donc l’orbite GL(α).x est irréductible et localement fermée dans Rep(α), on a :

dim (GL(α).x) = dim GL(α) − dim stab (x)
= ∑_{i∈Q_{0}} α_{i}^{2} − dim stab (x)

et donc

codim (GL(α).x) = ∑_{ϕ∈Q_{1}} α_{s(ϕ)}α_{t(ϕ)} − ∑_{i∈Q_{0}} α_{i}^{2} + dim stab (x)
= dim stab (x) − q_{Q}(α)
≥ 1 − q_{Q}(α)

4.4.1 Le sens direct

Nous allons donc déjà pouvoir montre l’implication ”⇒” du théorème de Gabriel. Supposons que q_{Q} n’est pas définie positive, il existe alors un vecteur α′ ∈ ℤ^{Q_{0}} non-nul tel que q_{Q}(α′) = 0. Soit alors α défini par

∀i ∈ Q_{0}, α_{i} = |α′_{i}|

α est un élément de ℕ^{Q_{0}} non nul et il est immédiat de vérifier que

q_{Q}(α) ≤ q_{Q}(α′)

Soit alors x ∈ Rep(α), on a alors montré que

codim (GL(α).x) ≥ 1 − q_{Q}(α) ≥ 1

Le corps étant algébriquement clos, il est infini et donc on a une infinité d’orbites dans l’espace des représentations de vecteur de dimension α. Ainsi, il y a une infinité de représentations à isomorphismes près dans Rep(α). Chacune de ces représentations se décompose en une somme finie de représentations indécomposables (car les représentations considérées sont de dimension finie au plus égale à A = ∑_{i∈Q_{0}} α_{i}). Le nombre d’indécomposable N étant fini par hypothèse, on a au plus N^{A} représentations possibles à isomorphisme près, d’où la contradiction.

4.4.2 La réciproque

Supposons q_{Q} définie positive, soit α ≠ 0 ∈ ℕ^{Q_{0}} tel qu’il existe des représentations indécomposables de vecteur de dimension α. Soit x ∈ Rep(α) tel que X est indécomposable, d’après le lemme de Ringel, on a :

0 ≤ codim (GL(α).x)
= dim (stab (x))
= dim (End(X))^{∗} − q(α)
= 1 − q(α)

q étant définie positive, on a q(α) > 0 mais puisque q est définie sur les entiers on a même q(α) ≥ 1 et donc

0 ≤ 1 − q(α) ≤ 0

et donc

q(α) = 1

Ainsi, α est une racine positive de q_{Q} et on a codim (GL(α).x) = 0, ainsi GL(α).x est un ouvert dense dans Rep(α). L’application qui a une classe de représentation irréductible associe son vecteur dimension α tel que q(α) = 1 est alors bien définie :

Y ⟶ \underline{dim} Y

Elle est injective car si deux classes ont le même vecteur de dimension, on a vu que l’orbite d’un représentant indécomposable était un ouvert dense et donc les deux orbites s’intersectent et par conséquent sont égales. Par ailleurs, {α ∈ ℕ^{Q_{0}}, q_{Q}(α) = 1} est un ensemble discret et compact (car dans un borné pour la métrique définie par q_{Q}), il est donc fini. Ainsi, on a une injection à valeur dans un ensemble fini, l’ensemble de départ est donc aussi fini, ie Q est de représentation finie.

Pour terminer la preuve, il n’y a qu’à montrer la surjectivité de l’application Y ⟶ \underline{dim} Y. Soit donc β une racine positive, Rep(β) est réunion de ses orbites sous l’action de GL(β). Le nombre d’indécomposables à isomorphismes près dans Rep(β) étant fini, le nombre de ces orbites est aussi fini. Puisque Rep(β) est irréductible d’après la remarque précédente, l’une de ces orbites est ellemême un ouvert dense, soit alors y tel que GL(β).y est cet ouvert dense, on a

0 = codim (GL(β).y)
= dim (stab (y)) − q(β)
= dim (stab (y)) − 1

et donc dim stab (y) = 1, mais on a remarqué précédemment qu’alors nécessairement y était indécomposable.

4.5 Rappels de la théorie d’Auslander-Reiten

Dans cette section, nous allons donner quelques résultats et exemples concernant la théorie d’Auslander-Reiten des représentations d’algèbres. Cette théorie va nous être utile dans la mesure où elle va permettre de définir et d’expliciter les relations d’échanges entre les variables cluster associées aux isoclasses d’indécomposables de kQ-modules. On se reportera à [8] pour les démonstrations.

On gardera les notations précédentes et on se fixera A une k-algèbre de dimension finie. On notera A-ind la catégorie dont les objets forment un système de représentations de classes d’isomorphismes d’indécomposables et dont les morphismes sont les applications A-linéaires entre ces indécomposables. A-ind est appelée catégorie des indécomposables de A.

Définition 4.5.0.1 Soit C une k-catégorie, les Hom_{C}(i, j) sont des k-espaces vectoriels et les compositions sont k-bilinéaires. Un idéal J de C est la donnée d’une famille J de sous-espaces J (M, N) ⊂ Hom_{C}(M, N), ∀M, N ∈ Ob(A-ind ) tels que : ∀x ∈ J (M, N), f ∈ Hom_{C}(N, L), g ∈ Hom_{C}(K, M), on a

fxg ∈ J (K, L)

On peut alors définir la catégorie quotient C/J : c’est la catégorie dont les objets sont les objets de A-ind et dont les flèches sont :

Hom_{C/J} (M, N) := Hom_{C}(M, N)/J (M, N)

Etant donné un idéal J d’une catégorie C, on peut définir l’idéal J^{2} par : J^{2}(M, N) est constitué des flèches se factorisant dans J par un autre module indécomposable ie les flèches du type fg avec g ∈ J (M, K) et f ∈ J (K, L).

Définition 4.5.0.2 On définit le radical de la catégorie par

R(L, M) = {f ∈ Hom_{C}(L, M) non inversible}

On pose alors

Irr(L, M) = R(L, M)/R^{2}(L, M)

Définition 4.5.0.3 On définit alors le carquois d’Auslander-Reiten Γ_{A} comme suite :

1. Les sommets de Γ_{A} sont les isoclasses d’indécomposables de A-mod.

2. Etant donné deux sommets L, M, le nombre de flèches L⟶ M est égal à la dimension de Irr(L, M)

4.5.1 La translation

La notion essentielle dans la théorie d’Auslander-Reiten est la notion de suite presque scindée (aussi appelées suites d’Auslander-Reiten).

Proposition 4.5.1.1 Soit 0 ⟶^{f} L ⟶^{g} M⟶ 0 une suite exate non-scindée dans A-modavec L, M indécomposables. Soient U, V deux indécomposables, alors sont équivalentes :

1. Tout morphisme non-inversible de U⟶ M se factorise par g.

2. Tout morphisme non-inversible de L⟶ V se factorise par f. Autrement dit, on a la commutation

V
↑ ↖
0 ⟶ L ⟶^{f} E ⟶^{g} M ⟶ 0
↖ ↑
U

Dans ce cas, la suite exacte 0 ⟶^{f} L ⟶^{g} M⟶ 0 est dite presque-scindée.

Etant donnée une suite presque scindée, nous allons pouvoir introduire la notion de translation, elle résulte du théorème suivant :

Remarque 4.5.1.2 Il est équivalent de dire (et la terminologie apparaît alors plus claire) qu’une suite est presque scindée si elle est non-scindée mais cindée sur tout sous-objet strict de M.

Théorème 4.5.1.3 (Auslander-Reiten) Soit A une algèbre de dimension finie, alors :

1. Pour tout indécomposable non-projectif M, il existe une suite presque scindée du type précédent unique à isomorphisme, on pose alors τM := L.

2. Pour tout indécomposable non-injectif L, il existe une suite presque scindée du type précédent unique à isomorphisme, on pose alors τ^{−1}L := M.

3. Pour tout facteur direct E′ de E, on a

dim Irr(E′, M) = dim Irr(τM, E′)

Définition 4.5.1.4 τ est alors appelée la translation du carquois d’Auslander-Reiten.

La théorie d’Auslander-Reiten nous fournit un algorithme permettant de trouver tous les indécomposables de kQ-mod à partir d’un simple projectif, nous donnons ici des exemples d’application de cet algorithme :

Exemple 4.5.1.5 Si nous considérons le carquois Q : 1⟶ 2, et que l’on construit le carquois d’Auslander-Reiten associé à kQ-mod, on a deux modules projectifs : P 1 : 1⟶ 2, P_{2} = S_{2} et un module injectif I_{1} = S_{1}. On a la suite presque scindée 0⟶ P_{2}⟶ P_{1}⟶ S_{1}⟶ 0 donc τ(S_{1}) = P_{2} et donc Γ_{kQ} est

P_{1}
↗  ↘
P_{2}  ↼  S_{1}

Exemple 4.5.1.6 Soit le carquois 1⟶ 2⟶ 3, on alors les projectifs P_{i} :

P_{1} : 1⟶ 2⟶ 3, P_{2} : 2⟶ 3, P_{3} : S_{3}

et les injectifs I_{i} :

I_{1} : S_{1}, I_{2} : 1⟶ 2, I_{3} : 1⟶ 2⟶ 3

On obtient alors les trois suites presques scindées suivantes :

0⟶ P_{3}⟶ P_{2}⟶ S_{2}⟶ 0
0⟶ P_{2}⟶ P_{1} ⊔ S_{2}⟶ I_{2}⟶ 0
0⟶ S_{2}⟶ I_{2}⟶ S_{1}⟶ 0

on a alors τ(S_{1}) = S_{2}, τ(I_{2}) = P_{2}, et τ(S_{2}) = P_{3}. Le carquois est donc :

P_{1} = I_{3}
↗  ↘
P_{2}  ↼  I_{2}
↗  ↘  ↗  ↘
P_{3}  ↼  S_{2}  ↼  I_{1}

Exemple 4.5.1.7 Soit le carquois 1 ⟵ 2⟶ 3, on alors les projectifs P_{i} :

P_{1} : S_{1}, P_{2} : 1 ⟵ 2⟶ 3, P_{3} : S_{3}

et les injectifs I_{i} :

I_{1} : 1 ⟵ 2, I_{2} : S_{2}, I_{3} : 2⟶ 3

On obtient alors les trois suites presques scindées suivantes :

0⟶ S_{3}⟶ P_{2}⟶ I_{1}⟶ 0
0⟶ P_{2}⟶ I_{1} ⊔ I_{3}⟶ I_{2}⟶ 0

0⟶ S_{1}⟶ P_{2}⟶ I_{3}⟶ 0

on a alors τ(I_{1}) = S_{3}, τ(I_{2}) = P_{2}, et τ(I_{3}) = S_{1}. Le carquois est donc :

\begin{aligned}P_{3} & & ↼ & & I_{1} \\ & ↘ & & ↗ & & ↘ \\ & & P_{2} & & ↼ & & I_{2} \\ & ↗ & & ↘ & & ↗ \\ P_{1} & & ↼ & & I_{3} \end{aligned}

Proposition 4.5.1.8 Soit M indécomposable, alors

\underline{dim} M = (dim Hom(P_{i}, M))_{i} = (dim Hom(M, I_{i}))

Exemple 4.5.1.9 Si nous considérons le carquois Q : 1⟶ 2, les vecteurs de dimension sont donc

(11)

↗  ↘
(01)  (10)

Exemple 4.5.1.10 Si nous considérons le carquois Q : 1⟶ 2⟶ 3, les vecteurs de dimension sont donc

(111)

↗  ↘
(011)  (110)
↗  ↘  ↗  ↘
(001)  (010)  (100)

Exemple 4.5.1.11 Dans le cas du carquois \begin{aligned}& 3 \\ & ↓ \\ 1⟶ & 2 & ⟵ 4 \end{aligned} , on a alors :

(1100)  (0111)  (1000)
(0100)  (1211)  (1111)
(0110)  (1101)  (0010)
(0101)  (1110)  (0001)

La propriété suivante de la translation va se révéler essentielle en pratique car elle facilite grandement les calculs de dimension des extensions. On adpotera dans toute la suite la notation hom(M, N) = dim (Hom(M, N)) et ext(M, N) = dim (Ext^{1}(M, N))

Proposition 4.5.1.12 (Formule d’Auslander-Reiten)

Ext^{1}(M, N) ≃ D(Hom(N, τM))

En particulier

ext(M, N) = hom(N, τM)

4.5.2 Intérêt

Nous avons donc mis en évidence une correspondance entre la catégorie kQind et le carquois d’Auslander-Reiten Γ_{kQ}. Par ailleurs, nous savons (théorème de Gabriel) qu’il existe une bijection entre les isoclasses d’indécomposables de kQ-modules et les racines positives associées au carquois Q. Ces racines étant elles-mêmes en bijection avec les variables cluster non-monomiales, on peut représenter ces variables cluster sur le carquois d’Auslander-Reiten. Nous allons par la suite essayer de voir dans quelle mesure ce lien va au-délà d’une simple connexion combinatoire.

4.6 Aperçu de la catégorie cluster

Nous savons qu’il y a une bijection entre les trois ensembles kQ−ind, Φ_{≥0} et {variables cluster} \{u_{1}, …, u_{n}}. Par ailleurs nous savons qu’il y a une bijection de Φ_{≥−1} sur l’ensemble des variables cluster, la question naturelle qui se pose est de trouver quel ensemble adjoindre à kQ-ind pour rétablir la bijection avec l’ensemble des variables cluster. Ce problème a été résolu dans l’article [11], nous n’allons pas aborder le fond de cette théorie ici et nous nous contenterons de donner les réultats nécessaires à notre étude.

Soit donc Q un carquois, on notera DkQ−mod la catégorie dérivée de kQ-mod appelée catégorie cluster, elle est indépendante de l’orientation de Q et on la notera C. Les indécomposables de cette catégorie sont kQ-ind ∪ {P_{i}[1] : P_{i} projectif}, on a alors le diagramme commutatif suivant :

Φ_{≥0} ⟶ Φ_{≥−1}
↓  ↓
kQ−ind ⟶ ind C

où les flèches verticales sont des bijections et où P_{i}[1] s’envoie sur −α_{i} (et donc sur le monôme cluster u_{i}). Sous cette bijection on notera x_{M} la variable cluster correspondant à un indécomposable M.

On connaît déjà le carquois d’Auslander-Reiten pour les modules, pour définir le carquois de la catégorie C, nous devons définir les flèches qui lient les modules aux P_{i}[1], on a alors la caractérisation suivante :

– P_{i}[1]⟶ M dans C si et seulement si M = P_{k}[1] et k⟶ i dans Q ou si M = P_{j} et i⟶ j dans Q.

– M⟶ P_{i}[1] dans C si et seulement si M = P_{k} et k⟶ i dans Q ou si

M = P_{j}[1] et i⟶ j dans Q. Dans la suite on notera 0⟶ τM⟶ ⨁_{j} B_{j}⟶ M⟶ 0 la suite presque scindée correspondant à un module M, on a alors la proposition suivante [11, 7] :

Proposition 4.6.0.1 Si C est la catégorie cluster de type A, D ou E, et si M est un indécomposable, alors x_{M} et x_{τM} sont en relation d’échange et on a

x_{M}x_{τM} = ∏_{j} x_{B_{j}} + 1

Corollaire 4.6.0.2

x_{P_{i}[1]}x_{S_{i}} = ∏_{j⟶ i} x_{P_{j}[1]} + 1

Une version intrinsèque des algèbres cluster de type fini

5.1 Préliminaire : la forme d’Euler

Définition 5.1.0.3 On appellera forme d’Euler l’application :

< −, − >: \{ \begin{matrix}kQ-mod × kQ-mod & ⟶ & ℤ \\ (M, N) & ⟶ & hom(M, N) − ext(M, N) \end{matrix}

Cette application est invariante sur les isoclasses de modules, puisque les kQmodules sont en bijection avec leurs vecteurs de dimension, on peut définir la forme d’Euler sur l’espace des vecteurs de dimension associé à Q, on notera donc indifféremment < \underline{dim} M, \underline{dim} N > ou < M, N >.

Etant donnée une suite exacte 0⟶ A⟶ X⟶ B⟶ 0 et un module M dans kQ-mod, en appliquant le foncteur Hom(M, −), on obtient :

0⟶ Hom(M, A)⟶ Hom(M, X)⟶ Hom(M, B)
⟶ Ext^{1}(M, A)⟶ Ext^{1}(M, X)⟶ Ext^{1}(M, B)⟶ 0

on a donc hom(M, A) − hom(M, X) + hom(M, B) − ext(M, A) + ext(M, X) − ext(M, B) = 0 ie

< M, A > + < M, B >=< M, X >

ainsi, la forme d’Euler passe au groupe de Grothendieck.

En corollaire de la proposition 4.5.1.8, puisque si P_{i} est projectif, on a ext(P i, M) = 0 et si I_{i} est injectif, ext(M, I_{i}) = 0 pour tout module M, on a :

(\underline{dim} M)_{i} =< M, I_{i} >=< P_{i}, M >

Exemple 5.1.0.4 Un exemple fondamental à étudier concerne les valeurs prises par la forme d’Euler sur les modules simples. On notera α_{i} le vecteur dimension correspondant au module S_{i}. Soit donc i un sommet dans un carquois Q, d’après le lemme de Ringel, on a hom(S_{i}, S_{i}) = 1. Par ailleurs il n’y a pas d’extension 0⟶ S_{i}⟶ M⟶ S_{i}⟶ 0 donc ext(S_{i}, S_{i}) = 0 et donc < α_{i}, α_{i} >= 1. Si k⟶ i, alors il n’y a pas de morphisme de S_{k} vers S_{i} et on a une extension 0⟶ S_{i}⟶ (k⟶ i)⟶ S_{k}⟶ 0 donc < α_{k}, α_{i} >= −1. Sinon, on n’a ni morphisme, ni extension et donc < α_{k}, α_{i} >= 0.

5.2 Introduction

5.2.1 Les frises de nombres

Etant donné un carquois Q, nous pouvons construire ce que l’on appelle la frise correspondante qui est le carquois dont les sommets sont (ℕQ)_{0} = ℕ × Q_{0} et les flèches sont

(n, x)⟶ (n, y) si y⟶ x dans Q_{1}
(n, x)⟶ (n + 1, y) si x⟶ y dans Q_{1}

Exemple 5.2.1.1 Si on se donne le carquois Q : 1⟶ 2, la frise ℕQ est alors :

\begin{matrix}↗ & ↘ & ↗ & ↘ & ↗ & ↘ & ↗ & ↘ & ⋯ \\ 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & ⋯ \end{matrix}

On va alors construire les frises de nombre en associant à chaque sommet une valeur numérique et en établissant une relation de récurrence (qui correspondra en fait à une relation d’échange). On pondère chaque sommet de la composante 0 avec des 1 puis étant donné un sommet, on multiplie les pondérations des flèches incidentes, on a joute 1 et on divise par la valeur du sommet précédent le long d’une ligne brisée ie si on note k_{n,i} la pondération du sommet i dans la composante n, on a :

∀n ≥ 0, k_{n,i}k_{n+1,i} = ( ∏_{(m,j)⟶ (n+1,i)} k_{m,j}) + 1

Nous allons tout de suite donner quelques exemples, nous les analyserons par la suite :

Exemple 5.2.1.2 A_{2} : 1⟶ 2, on obtient alors

\begin{aligned}& 1 & & 3 & & 1 & & ⋯ \\ 1 & & 2 & & 2 & & 1 & & ⋯ \end{aligned}

qui est donc périodique de période 5.

Exemple 5.2.1.3 A_{3} : 1⟶ 2⟶ 3, on a alors :

\begin{aligned}& & 1 & & 4 & & 1 & & 1 & & ⋯ \\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & ⋯ \\ 1 & & 2 & & 2 & & 2 & & ⋯ \end{aligned}

Elle est donc aussi périodique

Exemple 5.2.1.4 D_{4}, on a alors :

1  3  5  2  1 ⋯
1 1 2 3 14 5 9 2 1 1 ⋯
1  3  5  2  1 ⋯

qui est aussi périodique. Il est alors légitime de se demander si toutes ces frises

seront prédiodiques, considérons alors l’exemple suivant :

Exemple 5.2.1.5 Soit Q : 1 ⟶^{2} 2 où il y a donc deux flèches, la frise de nombre est alors :

\begin{aligned}& 1 & & 5 & & 34 & & ⋯ \\ 1 & & 2 & & 13 & & 89 & & ⋯ \end{aligned}

Proposition 5.2.1.6 Ces nombres sont les F_{2n} où F_{i} désigne le i-ème nombre Fibonacci

Preuve : Puisque nous avons égalité des premiers termes, il suffit de vérifier que les nombres de Fibonacci de rangs pairs vérifient bien la relation de récurrence

F_{2i+2} = \frac{F_{2i}^{2} + 1}{F_{2i−2}}

ie que

F_{2i+2}F_{2i−2} = F_{2i}^{2} + 1

On a

F_{2i+2}F_{2i−2} = (F_{2i+1} + F_{2i})F_{2i−2}
= (2F_{2i} + F_{2i−1})F_{2i−2}
= 2F_{2i}F_{2i−2} + F_{2i−1}F_{2i−2}

et de l’autre côté,

F_{2i}^{2} + 1 = F_{2i}(F_{2i−1} + F_{2i−2}) + 1
= F_{2i}F_{2i−1} + F_{2i}F_{2i−2} + 1
= F_{2i−1}^{2} + F_{2i−2}F_{2i−1} + F_{2i}F_{2i−2} + 1

Il suffit donc de montrer que

\begin{aligned}F_{2i−1}^{2} + 1 & = F_{2i}F_{2i−2} \\ & = F_{2i−1}F_{2i−2} + F_{2i−2}^{2} \end{aligned}

ie que

F_{2i−1}^{2} − F_{2i−1}F_{2i−2} = F_{2i−2}^{2} − 1

ie que

F_{2i−1}(F_{2i−1} − F_{2i−2}) = F_{2i−2}^{2} − 1

ie que

F_{2i−1}F_{2i−3} = F_{2i−2}^{2} − 1

On va en fait montrer un résultat un peu plus général qui dit que F_{j} −F_{j+1}F_{j−1} ne dépend que de la parité de j (ce résultat étant valable indépendamment de la parité de j).

F_{j}^{2} − F_{j+1}F_{j−1} = F_{j−1}^{2} + F_{j−2}^{2} + 2F_{j−1}F_{j−2} − F_{j−1}F j − F_{j−1}^{2}
= F_{j−2}^{2} + 2F_{j−1}F_{j−2} − F_{j−1}^{2} − F_{j−1}F_{j−2}
= F_{j−2}^{2} + 2F_{j−1}F_{j−2} − F_{j−1}F_{j−2} − F_{j−1}F_{j−3} − F_{j−1}F_{j−2}
= F_{j−2}^{2} − F_{j−1}F_{j−3}

On voit donc que cette quantité ne prend que deux valeurs : F_{2}^{2} − F_{3}F_{1} = 1 si j est pair et F_{3}^{2} − F_{4}F_{2} = −1 si j est impair. □ Puisque la suite des nombres de Fibonacci tend vers l’infini, la suite des valeurs de la frise ne peut être périodique.

Dans le cas A_{2} ci-dessus, si on note y_{1}, y_{2}, … les valeurs k_{n,i} numérotées de gauche à droite, on voit que la relation de récurrence est

y_{n+1} = \frac{y_{n} + 1}{y_{n−1}}

C’est donc un cas particulier des algèbres cluster A(b, c) avec b, c ∈ ℕ définies par récurrence par

y_{n+1}y_{n−1} = \{ \begin{matrix}y_{n}^{b} + 1 & si n ∈ 2ℤ + 1 \\ y_{n}^{c} + 1 & si n ∈ 2ℤ \end{matrix}

On sait que les algèbres engendrées par les y_{i} sont munies d’une structure d’algèbre cluster dont un cluster initial est donné par {y_{1}, y_{2}}. De plus dans le cas A(1, 1), on sait que cette suite de variables est périodique de période 5. On sait alors que (phénomène Laurent) toutes les variables y_{i} seront des polynômes de Laurent en y1 et y_{2}, puisqu’on a fixé ces varibales aux valeurs 1, les valeurs apparaissant dans la frise seront donc des évaluations de polynômes de Laurent en (1, 1), ce sont donc nécessairement des entiers et ceci explique la divisibilité dans les valeurs trouvées. De même, le dernier exemple correspond au cas A(2, 2).

La structure de cluster est un peu moins évidente dans les autres exemples (et même dans A_{2} si on l’interprète de la sorte), il s’agit en fait de faire réapparaître la structure cluster de la catégorie cluster dans le carquois d’Auslander-Reiten associé au carquois initial. On sait que dans une catégorie cluster, si M est un indécomosable alors x_{M} et x_{τM} forment une paire d’échange et que la relation d’échange est donnée par

x_{M}x_{τM} = ∏_{j} x_{B_{j}} + 1

où

0⟶ τM⟶ B⟶ M⟶ 0

et où B est somme directe des indécomposables B_{j} tels que B_{j}⟶ M. Si on regarde notre frise comme le carquois d’Auslander-Reiten, nous voyons que notre relation de récurrence coïncide avec la relation d’échange évaluée en 1. On retrouve donc de même les raisons pour lesquelles on avait bien la divisibilé. La périodicité des exemples A_{3} et D_{4} venant du fait qu’on est alors dans une algèbre cluster de type fini.

5.2.2 Nombres de sous-modules

Si nous regardons le carquois A_{2} et que nous considérons le carquois d’Auslander Reiten associé, nous obtenons P_{1} = I_{2} = 1⟶ 2, P_{2} = S_{2}, I_{1} = S_{1}, le carquois d’Auslander-Reiten est donc :

P_{1} = I_{2}
↗  ↘
S_{2}  S_{1}

Si on compte le nombre de sous-modules de chaque module apparaissant, on obtient alors :

3

↗  ↘
2  2

Ce qui correspond avec la frise de nombre de A_{2} modulo la partie de la composante 0. De même avec A_{3}, le carquois d’Auslander-Reiten est donné par P_{1} = I_{3} = 1⟶ 2⟶ 3, P_{2} = 2⟶ 3, P_{3} = S_{3}, I_{1} = S_{1} et I_{2} = 1⟶ 2, on obtient donc

P_{1} = I_{3}

↗  ↘
P_{2}  I_{2}
↗  ↘  ↗  ↘
S_{3}  S_{2}  S_{1}

De même, si on note le nombre de sous-modules de chaque module dans le carquois, on obtient :

4

↗  ↘
3  3
↗  ↘  ↗  ↘
2  2  2

qui correspond encore à la frise de nombre de type A_{3}. Il semble alors assez clair que dans les coefficients de la variables cluster associée à un module M dans la catégorie cluster, le coefficient va faire intervenir le nombre de sousmodules de M. Néanmoins, on ne peut pas introduire directement ce nombre de sous-modules comme le monter l’exemple ci-dessous :

Exemple 5.2.2.1 Considérons le type D_{4} : \begin{aligned}& ↓ \\ ⟶ & • & ⟵ \end{aligned} , dans la frise de

nombre correspondante, on a vu que l’on avait un 14 qui correspondrait donc

selon noter logique au nombre de sous-modules de \begin{aligned}& k \\ & ↓ \\ k⟶ & k^{2} & ⟵ k \end{aligned} . Nous

allons donc donner une liste avec multiplicité de ces sous-modules :

Sous-module

Multiplicité

0  1
\begin{aligned}& 0 \\ & ↓ \\ 0⟶ & k & ⟵ 0 \end{aligned}  1

\begin{aligned}& 0 \\ & ↓ \\ 0⟶ & k^{2} & ⟵ 0 \end{aligned}  1

\begin{aligned}& 0 \\ & ↓ \\ k⟶ & k & ⟵ 0 \end{aligned}  3

\begin{aligned}& 0 \\ & ↓ \\ k⟶ & k^{2} & ⟵ 0 \end{aligned}  3

\begin{aligned}& k \\ & ↓ \\ k⟶ & k^{2} & ⟵ 0 \end{aligned}  3

\begin{aligned}& k \\ & ↓ \\ k⟶ & k^{2} & ⟵ k \end{aligned}  1
TOTAL :  13

Le nombre de la frise n’est donc pas exactement le nombre de sous-modules, il va falloir introduire un paramètre supplémentaire. En fait dans l’exemple ci-dessus, il s’agit de remarquer que l’on a une multiplicité du plongement de

\begin{aligned}& 0 \\ & ↓ \\ 0⟶ & k & ⟵ 0 \end{aligned} dans \begin{aligned}& k \\ & ↓ \\ k⟶ & k^{2} & ⟵ k \end{aligned} qui est paramétrée par la position

d’une droite k dans k^{2}, c’est à dire par ℙ^{1}, on veut que dans notre décompte la multiplicité soit 2 et il est alors naturel d’introduire la caractéristique d’Euler-Poincaré puisque χ(ℙ^{1}) = 2. Par ailleurs, la caractéristique d’Euler-Poincaré a un bon comportement par rapport aux suites exactes. Comme nous le verrons dans la suite, ce comportement va notamment permettre d’obtenir une bonne formule de multiplication des variables dans les suites presques scindés.

5.2.3 La formule des variables cluster

Soit donc une algèbre cluster de type fini, soit Γ_{Q} le carquois d’Auslander-Reiten associé, alors si M est un indécomposable dans Γ_{Q} de vecteur de dimension \underline{dim} M = \underline{m} = ∑_{i} m_{i}α_{i}, on lui associé la variable :

X_{M} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}(M)) ∏_{i} u_{i}^{−<\underline{e},α_{i}>−<α_{i},\underline{m}−\underline{e}>}

Notre conjecture est que la bijection kQ-ind ↔ {variables cluster \ u_{1}, …, u_{n}} induite par l’identification de C avec les variables cluster est celle qui fait correspondre u_{i} à P_{i}[1] et X_{M} a l’indécomposable M.

5.2.4 Calculabilité

Bien que cette formule soit explicite et calculable d’un point de vue théorique, sa calculabilité effective peut laisser des doutes du fait de l’apparition d’une caractéristique d’Euler-Poincaré. En fait dans le cas des variétés définies sur ℤ, nous allons pouvoir obtenir les valeurs des caractéristiques d’Euler-Poincaré facilement grâce à un lemme technique dont la démonstration suit une idée originale de M. Reineke :

Lemme 5.2.4.1 Soit X une variété définie sur ℤ, on note X_{ℂ} (respectivement X_{𝔽_{q}}) l’ensemble des ℂ-points (respectivement 𝔽_{q}-points) de X. On suppose qu’il existe un polynôme P ∈ ℤ[X] tel que ∀n ≥ 0, |X_{f_{q^{n}}} | = P (q^{n}). Alors

χ(X_{ℂ}) = P (1)

Preuve : Soit X une variété définie sur ℤ, pour n ∈ ℕ, on peut la définir sur 𝔽_{p}^{n} et donc sur \overline{𝔽_{p}}, on note alors X\overline{𝔽_{p}} cette variété, on note alors F le Frobenius de X sur 𝔽_{q} où q est une puissance de p. On a alors

|X_{𝔽_{q}^{n}}| = |XF^{n} ; \overline{𝔽_{p}}|

D’après la forume des traces de Grothendieck, on a :

P (q^{n}) = |XF^{n} ; \overline{𝔽_{p}}|
= tr(F^{n}|H_{C}^{∗}(X))
= ∑_{i=0}^{2dim X}(−1)^{i}tr(F^{n}|H^{i}(X, \overline{ℚ_{l}}))

Si on note β_{i} la dimension des modules de cohomologie, a_{ij} les valeurs propres de F sur H^{i}(X, \overline{ℚ_{l}}) et P (X) = ∑_{k} b_{k}X^{k}, on a alors :

|X^{F^{n}}| = ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} a_{ij}^{n}

∑_{k} b_{k}q^{nk} = ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} a_{ij}^{n}

Cette égalité étant valable pour tout entier n, on l’introduit alors dans ℂ[[t]], on a :

∑_{n≥1} (∑_{k} b_{k}q^{nk}) \frac{t^{n}}{n} = ∑_{n≥1} (∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} a_{ij}^{n}) \frac{t^{n}}{n}

et donc en passant à l’exponentielle

exp (∑_{n≥1} (∑_{k} b_{k}q^{nk}) \frac{t^{n}}{n} ) = exp (∑_{n≥1} (∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} a_{ij}^{n}) \frac{t^{n}}{n} )

donc

exp (∑_{k} b_{k} (∑_{n} \frac{(qt)^{nk}}{n} )) = exp (∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} (∑_{n} \frac{(ta_{ij})^{n}}{n} ))

donc

∏_{k} (exp (∑_{n} \frac{(qt)^{nk}}{n} ))^{b_{k}} = ∏_{i} ∏_{j=1}^{β_{i}} (exp (∑_{n} \frac{(ta_{ij})^{n}}{n} ))^{(−1)^{i}}

et donc en reconnaissant le logarithme, on obtient

∏_{k≥0}(1 − q^{k}t)^{−b_{k}} = ∏_{i≥0} ∏_{j=1}^{β_{i}}(1 − a_{ij}t)^{(−1)^{i+1}}

Pour identifier les coefficients, il reste à remarquer que si des termes noté 1−a_{ij}t et 1 − a_{kl}t se simplifient dans le produit de droite, alors i et k sont de parités inverses et on a a_{ij} = a_{kl} et alors (−1)^{i}a_{ij} = −(−1)^{k}a_{kl} et donc il y aura aussi une annulation dans la somme. On peut donc identifier les coefficients modulo ceux qui s’annulent et donc il existe une famile (k_{ij})_{ij} d’entiers telle que, ∀i, j,

a_{ij} = q^{k_{ij}}

et alors

P (q^{n}) = ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{j=1}^{β_{i}} q^{nk_{ij}}

et donc

P (1) = ∑_{i}(−1)^{i}β_{i}
= ∑_{i}(−1)^{i}dim (H^{i}(X, \overline{ℚ_{l}}))
= χ(X)
□

Exemple 5.2.4.2 Considérons ℙ^{n} = ℂ^{n+1}/ℂ^{∗} l’espace projectif de dimension n. On a alors :

|ℙ_{𝔽_{q}}^{n}| = \frac{q^{n+1} − 1}{q − 1} = q^{n} + q + ⋯ + 1, ∀n ≥ 0

Ainsi, χ(X_{ℂ}) = P (1) = n + 1.

Exemple 5.2.4.3 Si X est un singleton, alors P = 1 et donc χ(X) = 1.

5.2.5 Exemples explicites

Exemple 5.2.5.1 On considère le carquois Q : 1⟶ 2, le carquois d’Auslander-Reiten correspondant est donc :

P_{1}
↗  ↘
S_{2}  S_{1}

On sait qu’alors ce sont les seuls kQ-modules indécomposables. S_{1} et S_{2} sont simples, ils n’ont donc que deux sous-modules : 0 et eux-mêmes. P_{1} a trois sousmodules : 0,S_{2} et P_{1}. Nous allons donc calculer directement les variables cluster correspondant à ces indécomposables. On commence déjà par calculer les formes d’Euler : < S_{i}, S_{i} >= 1 par le lemme de Ringel,

< S_{1}, S_{2} > = hom(S_{1}, S_{2}) − ext(S_{1}, S_{2})

= 0 − 1 = −1

< S_{2}, S_{1} > = hom(S_{2}, S_{1}) − ext(S_{2}, S_{1})

= 0 − 0 = 0

< S_{2}, P_{1} > = hom(S_{2}, P_{1}) − ext(S_{2}, P_{1})

= 1 − 0 = 1

< S_{1}, P_{1} > = hom(S_{1}, P_{1}) − ext(S_{1}, P_{1})

= 0 − 0 = 0

< P_{1}, S_{1} > = hom(P_{1}, S_{1}) − ext(P_{1}, S_{1})

= 1 − 0 = 1

< P_{1}, S_{2} > = hom(P_{1}, S_{2}) − ext(P_{1}, S_{2})

= 0 − 0 = 0

Par ailleurs chaque grassmanienne apparaissant sera constituée d’un seul point, la caracactéristique d’Euler-Poincaré sera donc 1, on peut donc procéder au calcul des variables cluster :

X_{S_{2}} = ∏_{i} u_{i}^{−<α_{i},α_{2}>} + ∏_{i} u_{i}^{−<α_{2},α_{i}>}

= u_{1}^{−<α_{1},α_{2}>}u_{2}^{−<α_{1},α_{1}>} + u_{1}^{−<α_{2},α_{1}>}u_{2}^{−<α_{2},α_{2}>} = u_{1}^{1}u_{2}^{−1} + u_{1}^{0}u_{2}^{−1} = \frac{u_{1}}{u_{2}} + \frac{1}{u_{2}} = \frac{1+u_{1}}{u_{2}}

X_{P_{1}} = ∏_{i} u_{i}^{−<α_{i},α_{1}+α_{2}>} + ∏_{i} u_{i}^{−<α_{2},α_{i}>−<α_{i},α_{1}>} + ∏_{i} u_{i}^{−<α_{1}+α_{2},α_{i}>}

= u_{1}^{−<S_{1},P_{1}>}u_{2}^{−<S_{2},P_{1}>} + u_{1}^{−<S_{2},S_{1}>−<S_{1},S_{1}>}u_{2}^{−<S_{2},S_{2}>−<S_{2},S_{1}>} + u_{1}^{−<P_{1},S_{1}>}u_{2}^{−<P_{1},S_{2}>} = u_{1}^{0}u_{2}^{−1} + u_{1}^{−1}u_{2}^{−1} + u_{1}^{−1}u_{2}^{0} = \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{1}u_{2}} + \frac{1}{u_{1}} = \frac{1+u_{1}+u_{2}}{u_{1}u_{2}}

et enfin, on calcule X_{S_{1}} :

X_{S_{1}} = ∏_{i} u_{i}^{−<α_{i},α_{1}>} + ∏_{i} u_{i}^{−<α_{1},α_{i}>}

= u_{1}^{−<α_{1},α_{1}>}u_{2}^{−<α_{2},α_{1}>} + u_{1}^{−<α_{1},α_{1}>}u_{2}^{−<α_{1},α_{2}>} = u_{1}^{−1}u_{2}^{0} + u_{1}^{−1}u_{2}^{1} = \frac{1+u_{2}}{u_{1}}

On retrouve donc exactement les variables cluster non monomiales du type A_{2}.

5.3 Démonstration de la formule des variables cluster

Notons E_{Q} le ℚ[u_{1}, …, u_{n}] sous-module de F engendré par les X_{M}, le but de cette section est de démontrer le théorème suivant :

Théorème 5.3.0.2 Pour tout carquois Q de type A, D ou E noté Δ, E_{Q} est une sous-algèbre de F qui s’identifie à l’algèbre cluster A(Δ). Dans cette identification, l’ensemble des variables cluster est donné par {u_{i}, i = 1 … n} ∪ {X_{M}, M ∈ ind_{k}(Q)}

5.3.1 Structure de sous-algèbre de E_{Q}

Une première étape va consister à démontrer que E_{Q} est déjà muni d’une structure d’algèbre, pour cela nous allons avoir besoin d’une règle de multiplication des X_{M} qui justifiera une fois de plus l’introduction de la caractéristique d’Euler-Poincaré. Soient M et N deux modules, on note π la projection de M⊕N sur N, on pose alors pour A ⊂ M et B ⊂ N des sous-modules l’ensemble

Gr_{A,B}(M ⊕ N) = {L ss-mod de M ⊕ N : L ∩ M = A, π(L) = B}

Lemme 5.3.1.1 Soient M, N ∈ mod_{k}(Q), A ⊂ M et B ⊂ N deux sous-modules, on note π_{A} la projection M⟶ M/A, alors il existe une bijection

Ψ : Hom_{kQ}(B, M/A)⟶ Gr_{A,B}(M ⊕ N)

telle que

Ψ(f) = L_{f} := {m + b, m ∈ M, b ∈ B : π_{A}(m) = f(b)}

Preuve :

1. L_{f} est bien un sous-module de M ⊕ N car π_{A} et f sont des morphismes.

2. On a π(L_{f}) = B par construction et L_{f}∩M = {m + 0 : π_{A}(m) = f(0) = 0} = ker π_{A} = A donc f⟶ L_{f} est bien à valeurs dans Gr_{A,B}(M ⊕ N).

3. Pour montrer que c’est une bijection, nous alons expliciter l’application réciproque. Soit L ∈ Gr_{A,B}(M ⊕ N), soit b ∈ B, on pose pour m ∈ M tel que m + b ∈ L

f_{L}(b) = π_{A}(m)

Montrons que cette application est bien définie : Si m+b ∈ L et m′ +b ∈ L alors m − m′ ∈ L et donc m − m′ ∈ M ∩ L = A et donc finalement π_{A}(m) = π_{A}(m′). Par ailleurs il est clair que L_{f_{L}} = L et que f_{L_{f}} = f pour tout f ∈ Hom_{kQ}(B, M/A), L ∈ Gr_{A,B}(M ⊕ N).

□

L’intérêt de ce lemme va apparaître dans la démonstration suivante car du fait que Hom_{kQ}(B, M/A) est un k-espace vectoriel, son cardinal sur 𝔽_{q} sera de la forme q^{n}, donc celui de Gr_{A,B}(M ⊕N) aussi et donc d’après le lemme 5.2.4.1, la caractéristique sera 1 Proposition 5.3.1.2 Soit \underline{g} un vecteur de dimension, soit M, N ∈ mod_{k}(Q), on a alors

χ(Gr\underline{g}(M ⊕ N)) = ∑_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} χ(Gr\underline{e}(M))χ(Gr\underline{f}(N))

Preuve : Soient M, N ∈ mod_{k}(Q) On note

ζ\underline{g} : \{ \begin{matrix}Gr\underline{g}(M ⊕ N) & ⟶ & ⨆_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} Gr\underline{e}(M) × Gr\underline{f}(N) \\ L & ⟶ & (L ∩ M, π(L)) \end{matrix}

c’est une surjection par construction et si A ⊂ M et B ⊂ N sont des sousmodules, on a alors

\begin{aligned}ζ\underline{g}(A ⊕ B) & = ((A ⊕ B) ∩ M, π(A ⊕ B)) \\ & = (A, B) \end{aligned}

De plus, ζ−1 ; \underline{g}(A, B) = Gr_{A,B}(M ⊕ N) ⟶^{bij} Hom_{kQ}(B, M/A), donc

|ζ−1 ; \underline{g}(A, B)| = q^{dim (Hom_{kQ}(B,M/A))}

et donc d’après le lemme 5.2.4.1, on a χ(ζ−1 ; \underline{g}(A, B)) = 1, chaque fibre étant de caractéristique 1, on a alors :

χ(Gr\underline{g}(M ⊕ N)) = χ (⨆_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} Gr\underline{e}(M) × Gr\underline{f}(N))
= ∑_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} χ(Gr\underline{e}(M) × Gr\underline{f}(N))
= ∑_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} χ(Gr\underline{e}(M))χ(Gr\underline{f}(N))
□

En utilisant la bilinéarité de la forme d’Euler < −; − >, on obtient alors le corollaire suivant :

Corollaire 5.3.1.3 Pour tout M, N ∈ mod_{k}(Q), on a

X_{M⊕N} = X_{M}X_{N}

Ce corollaire nous donne donc deux résultats : Tout d’abord E_{Q} est effectivement muni d’une structure d’algèbre mais plus précisément, on voit qu’en tant qu’algèbre, E_{Q} est engendrée par les X_{M} où M est un module indécomposable, nous sommes donc en bonne voie pour faire correspondre les variables cluster avec les indécomposables, c’est ce à quoi nous allons maintenant nous atteler :

5.3.2 Les X_{M} comme variables cluster

Il s’agit donc de montrer que les X_{M} sont précisément les variables cluster de A(Δ), nous savons déjà que les u_{i} sont des variables cluster correspondant aux shifts des projectifs P_{i}[1], nous allons montrer que si M est un module indécomposable, X_{M} vérifie une relation d’échange avec l’une des variables cluster.

D’après la proposition 4.6.0.1, on sait que deux variables cluster correspondant respectivement à un indécomposable et à son translaté sont en relation d’échange, On veut naturellement vérifier que cette relation est bien vérifée dans la cadre de notre formule explicite. On définit donc pour un module indécomposable M l’entier ν(M) comme le plus petit entier m tel que τ^{m}M = 0. On va donc déjà regarder le cas où ν(M) = 1, c’est donc le cas où M est projectif. Si nous montrons que les variables correspondant aux projectifs sont indécomposables et sous l’hypothèse que X_{M} et X_{τM} sont bien en relation d’échange, on pourra donc atteindre toutes les variables par des mutations.

Lemme 5.3.2.1 Pour i = 1 … n, on a

u_{i}X_{P_{i}} = ∏_{i⟶ j} X_{P_{j}} ∏_{k⟶ i} u_{k} + 1

Preuve : Nous rappelons ici trois fait sur les radicaux d’un projectif P_{i} :

1. P_{i}/RadP_{i} = S_{i}

2. M ⊂ P_{i} ⇔ M ⊂ RadP_{i} ou M = P_{i}

3. RadP_{i} = ⨁_{i⟶ j} P_{j} Nous commençons par éliminer le cas où P_{i} = S_{i} est un simple projectif, on sait d’après le corollaire 4.6.0.2 que l’on a

u_{i}X_{S_{i}} = ∏_{j⟶ i} u_{j} + 1

Puisque S_{i} est un simple projectif, on a {j⟶ i} = ∅ et donc la relation est bien vérifiée. Supposons donc que P_{i} a un radical non-trivial, on note \underline{d}_{i} = \underline{dim} P_{i}. Puisque P_{i}/RadP_{i} = S_{i}, on a \underline{dim} (RadP_{i}) = \underline{d}_{i} − α_{i} et donc

X_{RadP_{i}} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}RadP_{i}) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{e},α_{l}>−<α_{l},\underline{d}_{i}−α_{i}−\underline{e}>}

Par ailleurs, on a vu que la forme d’Euler vérifiait

< α_{k}, α_{i} >= \{ \begin{matrix}1 & si k = i \\ −1 & si k⟶ i \\ 0 & sinon \end{matrix}

On a donc (par passage de la forme aux suites exactes)

− < \underline{e}, α_{l} > − < α_{l}, \underline{d}_{i} − α_{i} − \underline{e} >  = − < \underline{e}, α_{l} > − < α_{l}, \underline{d}_{i} − \underline{e} > + < α_{l}, α_{i} >

= \{ \begin{matrix}− < \underline{e}, α_{l} > − < α_{l}, \underline{d}_{i} − \underline{e} > +1 & si k = i \\ − < \underline{e}, α_{l} > − < α_{l}, \underline{d}_{i} − \underline{e} > −1 & si k⟶ i \\ − < \underline{e}, α_{l} > − < α_{l}, \underline{d}_{i} − \underline{e} > & sinon \end{matrix}

donc

X_{RadP_{i}} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}RadP_{i}) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{e},α_{l}>−<α_{l},\underline{d}_{i}−\underline{e}>} ( ∏_{k⟶ i} u_{k}^{−1}) u_{i}

Par ailleurs puisque M ⊂ P_{i} ⇔ M ⊂ RadP_{i} ou M = P_{i}, on peut séparer la grassmannienne Gr\underline{e}(P_{i}) en P_{i} ∪ Gr\underline{e}(RadP_{i}) et alors

X_{P_{i}} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}RadP_{i}) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{e},α_{l}>−<α_{l},\underline{d}_{i}−\underline{e}>}+χ(Gr_{\underline{d}_{i}}(P_{i})) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{d}_{i},α_{l}>−<α_{l},0>}

ie

X_{P_{i}} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}RadP_{i}) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{e},α_{l}>−<α_{l},\underline{d}_{i}−\underline{e}>} + ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{d}_{i},α_{l}>}

mais on sait que α_{l} = (hom(P_{k}, S_{l}))_{k} donc hom(P_{k}, S_{l}) = \{ \begin{matrix}0 & si i ≠ l \\ 1 & sinon \end{matrix} ,

puisque ext(P_{k}, S_{l}) = 0 (P_{k} est projectif), on obtient − < \underline{d}_{i}, α_{l} >= −δ_{il} et finalement

X_{P_{i}} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}RadP_{i}) ∏_{l} u_{l}^{−<\underline{e},α_{l}>−<α_{l},\underline{d}_{i}−\underline{e}>} + u_{i}^{−1}

En reportant dans l’égalité précédente, on obtient

X_{P_{i}} = X_{RadP_{i}} ( ∏_{k⟶ i} u_{k}) u_{i}^{−1} + u_{i}^{−1}

Puisque RadP_{i} = ⨁_{i⟶ j} P_{j} et que X_{M⊕N} = X_{M}X_{N}, on a

X_{P_{i}} = ∏_{i⟶ j} X_{P_{j}} ( ∏_{k⟶ i} u_{k}) u_{i}^{−1} + u_{i}^{−1}

ie

u_{i}X_{P_{i}} = ∏_{i⟶ j} X_{P_{j}} ( ∏_{k⟶ i} u_{k}) + 1

□

Notre récurrence semble donc bien vouloir s’amorcer, il reste à voir que l’on a effectivement une relation d’échange entre X_{M} et X_{τM} pour un indécomposable non-projectif M. Pour cela, d’après la proposition 4.6.0.1, il suffit de montrer que :

Proposition 5.3.2.2 Soient M, N deux modules indécomposables tels que l’on a la suite presque scindée

0⟶ M ⟶^{ι} B ⟶^{π} N⟶ 0

alors X_{M⊕N} = X_{M}X_{N} = X_{B} + 1

La démonstration est alors une adaptation de la démonstration du corollaire 5.3.1.3 : :

Preuve : Soit donc \underline{m} = \underline{dim} M et \underline{n} = \underline{dim} N, on a

X_{M⊕N} = ∑_{\underline{e}} χ(Gr\underline{e}(M ⊕ N)) ∏_{i} u_{i}^{−<\underline{e},α_{i}>−<α_{i},\underline{m}+\underline{n}−\underline{e}>}

Mais si on regarde cette égalité sur k = 𝔽_{q}, on a

χ(Gr\underline{e}(M ⊕ N) = (card Gr\underline{e}(M ⊕ N))_{|q=1}

On peut donc réindexer la somme sur les sous-modules L de M ⊕ N et on obtient :

X_{M⊕N} = (∑_{L} ∏_{i} u_{i}^{−<\underline{dim} L,α_{i}>−<α_{i},\underline{m}+\underline{n}−\underline{dim} L>})_{|q=1}

Le terme correspondant à L = 0 ⊕ N est ∏_{i} u_{i}^{−<\underline{n},α_{i}>−<α_{i},\underline{m}>} mais

< \underline{n}, α_{i} > + < α_{i}, \underline{m} >= hom(N, S_{i}) − ext(N, S_{i}) + hom(S_{i}, M) − ext(S_{i}, M)

mais M = τN par hypothèse et donc par la formule d’Auslander-Reiten on a ext(N, S_{i}) = hom(S_{i}, τN) et hom(N, S_{i}) = ext(S_{i}, τN) et donc

∏_{i} u_{i}^{−<\underline{n},α_{i}>−<α_{i},\underline{m}>} = 1

Il reste donc à établir l’analogue de la proposition 5.3.1.2 pour les autres termes :

Lemme 5.3.2.3 Soit

ζ\underline{g} : \{ \begin{matrix}Gr\underline{g}(B) & ⟶ & ∏_{\underline{e}+\underline{f}=\underline{g}} Gr\underline{e}(M) × Gr\underline{f}(N) \\ L & ⟶ & (ι^{−1}(L), π(L)) \end{matrix}

La fibre au point (A, C) est alors vide si (A, C) = (0, N) et est un espace affine de dimension hom(C, M/A) sinon.

Preuve :

1. Regardons la fibre de (0, N). Soit donc L ⊂ B tel que ι^{−1}(L) = 0 et π(L) = N, π induit alors un isomorphisme de L sur N et donc π admet une section mais π étant une surjection d’une suite presque scindée, elle ne peut donc pas être scindable, donc la fibre est vide.

2. Soit donc (A, C) ≠ (0, N). Si C n’est pas égal à N, alors C est un sousobjet strict de N et on sait qu’alors π admet une section C⟶ B, on est alors dans le cas d’une suite scindée et on peut appliquer directement la proposition 5.3.1.2.

3. On considère donc le cas où (A, C) ≠ (0, N) et C = N, on a 0 ≠ A ⊂ M donc ext(N, A) = hom(A, M) ≠ 0 donc il existe une suite exacte 0⟶ A⟶ E⟶ N⟶ 0, nous allons montrer qu’alors le diagramme suivant commute :

0  0  0
↓  ↓  ↓
0⟶ A ⟶ E ⟶^{μ} N ⟶ 0
↓ ↓ ϕ ∥
0⟶ M ⟶ B ⟶^{π} N ⟶ 0

L’existence de ϕ découle directement de la définition des suites presque scindées et c’est une injection. On a alors E ∈ ζ\underline{g}(A, N) et donc la fibre est non-vide, nous allons alors montrer que la fibre est alors un espace affine muni d’une action transitive de Hom(N, M/A) :

4. Soit donc π_{A} : M⟶ M/N la projection, on considère l’application

\begin{matrix}Hom(N, M/A) & ⟶ & ζ−1 ; \underline{g}(A, N) \\ f & ↦ & E_{f} := \{ι(m) + ϕ(e) : m ∈ M, e ∈ E, π_{A}(m) = f(μ(e))\} \end{matrix}

Il est clair que E_{f} est dans la fibre de (A, N), on pose alors :

\begin{matrix}ζ−1 ; \underline{g}(A, N) & ⟶ & Hom(N, M/A) \\ D & ↦ & (f_{D} : n⟶ π_{A}(m)) où ι(m) + ϕ(e) ∈ D) \end{matrix}

f_{D} est bien définie et on vérifie aisément que D_{f_{D}} = D et f_{D_{f}} = f, l’application f ↦ E_{f} est donc bien une bijection. On conclut alors comme dans 5.3.1.2

□

On obtient donc

X_{M}X_{N} = X_{B} + 1

et donc la règle de multiplication est bien vérifiée. □

On a muni E_{Q} de la structure d’algèbre cluster attendue, la formule des variables cluster est donc démontrée et nous disposons donc désormais d’une formule explicite dans le cas du type fini.

5.4 Une application : le théorème des dénominateurs

Une fois démontrée cette formule, il a été possible de démontrer la conjecture de positivité dans le cas fini, ce résultat a été établi dans [4] :

Théorème 5.4.0.4 Pour tout indécomposable M, la variable cluster X_{M} est dans ℤ_{≥0}[u_{i}^{±1}]

A partir de ce résultat et en vertu de la formule des variables cluster, nous sommes maintenant en mesure de donner une véritable démonstration générale du théorème des dénominateurs :

Théorème 5.4.0.5 Soit M un kQ-module indécomposable, \underline{dim} M = ∑_{i} m_{i}α_{i}, alors le dénominateur de X_{M} dans son écriture irréductible en fonction des u_{i} est ∏_{i} u_{i}^{m_{i}}

Preuve : On sait que X_{M} est une combinaison linéaire de ∏_{i} u_{i}^{n_{i}} avec n_{i} ∈ ℤ, ces termes étant regroupés par les vecteurs de dimensions des sous-modules, on a pour tout sous-module N de M

n_{i} = − < N, S_{i} > − < S_{i}, M/N >

D’après le théorème précédent, les combinaisons linéaires sont à coefficients positifs, il n’y a donc pas de simplification. Ainsi, pour montrer que le dénominateur est précisément ∏_{i} u_{i}^{m_{i}}, il suffit de montrer que :

1. ∀i ∈ Q_{0}, pour tout sous-module N, < N, S_{i} > + < S_{i}, M/N >≤ m_{i}

2. ∀i ∈ Q_{0}, il existe une sous-module N tel que < N, S_{i} > + < S_{i}, M/N >=

m_{i} On rappelle que d’après la propostion 4.5.1.8, étant donné un module X, on a

< X, I_{i} >=< P_{i}, X >= (\underline{dim} X)_{i}

On notera n_{i} = − < N, S_{i} > − < S_{i}, M/N > pour tout i.

1. Soit donc i un sommet, on considère la résolution injective :

0⟶ S_{i}⟶ I_{i}⟶ I⟶ 0

Puisque la catégorie est héréditaire, I est injectif comme quotient d’un injectif. La forme < N, − > passe aux suites exactes et on a donc :

< N, S_{i} > + < N, I >=< N, I_{i} >

mais < N, I >= hom(N, I) − ext(N, I) et I est injectif donc toutes les suites 0⟶ I⟶ M⟶ M′′⟶ 0 sont scindées, donc en particulier ext(N, I) = 0 et donc

< N, I >≥ 0

et donc

< N, S_{i} >≤< N, I_{i} >

Dualement, on considère la résolution projective de S_{i} :

0⟶ P ⟶ P_{i}⟶ S_{i}⟶ 0

On applique < −, M/N >, on obtient donc < P, M/N > + < S_{i}, M/N >=< P_{i}, M/N >, P étant projectif comme sous-module d’un module projectif dans une catégorie héréditaire, on a ext(P, M/N) = 0 et donc

< P, M/n >≥ 0

et donc

< S_{i}, M/N >≤< P_{i}, M/N >

et donc

−n_{i} =< N, S_{i} > + < S_{,}M/N >
≤< N, I_{i} > + < P_{i}, M/N >
= (\underline{dim} N)_{i} + (\underline{dim} M)_{i} − (\underline{dim} N)_{i}
= (\underline{dim} M)_{i}
= m_{i}

2. Il nous reste donc à montrer que pour tout i, il existe un module N tel que on ait égalité. Soit donc i un sommet, on considère les résolutions précédentes :

0⟶ S_{i}⟶ I_{i}⟶ I⟶ 0

et

0⟶ P ⟶ P_{i}⟶ S_{i}⟶ 0

On a I = ⨁_{j⟶ i} I_{j} et P = ⨁_{i⟶ j} P_{j}, donc < N, I >= ∑_{j⟶ i}(\underline{dim} N)_{j} et < P, M/N >= ∑_{i⟶ j}(\underline{dim} M/N)_{j}, puisque l’on a utilisé la positivité de ces termes pour obtenir l’inégalité, il suffit d’avoir leur nullité pour obtenir l’égalité recherchée. On pose alors J_{i} = {j : i⟶ j} ∪ {i} et

N_{i} = (⨁_{j∈J_{i}} e_{j}) M

On sait que (\underline{dim} N_{i})_{k} = hom(P_{k}, N_{i}) donc si k⟶ i et j ∈ J_{i}, on a k⟶ i⟶ j et donc Hom_{kQ}(P_{k}, e_{j}M) = 0 et donc

Hom_{kQ}(P_{k}, N_{i}) = Hom_{kQ}(P_{k}, ⨁_{j∈J_{i}} e_{j}M)

= ⨁_{j∈J_{i}} Hom_{kQ}(P_{k}, e_{j}M) = 0

En particulier ∑_{j⟶ i}(\underline{dim} N_{i})_{j} = 0. De même ∑_{i⟶ j}(\underline{dim} M/N_{i})_{j} = 0 et donc N_{i} donne l’égalité recherchée.

□

Nous voyons dans cette démonstration que la formule des variables cluster donne une preuve conceptuelle et générale du théorème des dénominateurs. Cette approche montre donc ici son efficacité puisqu’une fois les résultats théoriques établis, la démonstration directe de théorèmes a priori complexes semble se simplifier grandement. Si elle est générale, cette approche se limite néanmoins au cas des algèbres cluster de type fini, il conviendra donc dans les travaux ultérieurs d’essayer de trouver un cadre plus général permettant d’obtenir des résultats analogues dans le cas infini.

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[15] C. A. Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge University Press, 1994.

Index

algèbre cluster, 6 algèbre des chemins, 16 Auslander-Reiten

carquois, 28 formule, 32 suite, 28 translation, 29

boucle, 16

carquois, 16 d’Auslander-Reiten, 28 de représentation finie, 20

catégorie

cluster, 32 chemin, 16

algèbre, 16 composable, 16 paresseux, 16

chemins, 11
chordless, 11

classe

mutation, 6 cluster

algèbre, 6 catégorie, 32 monôme, 6 variable, 6

comp, 12

corps ambiant, 5

allcycles, 11
cycles, 11

double flèche, 16

échangeables

variables, 6

ensclus, 13

                                  ensmat, 13
                                  exhaust, 13

Fitting

lemme, 23 forme

de Tits, 21 forme d’Euler, 34–35 formule

Auslander-Reiten, 32

Gabriel

théorème, 24 graine, 5 graphe associé, 9

homologue de Cartan, 9

idéal

d’une catégorie, 28

                                  inclus, 11

indécomposable

représentation, 19

                                  invl, 12
                                  longparcours, 13

matrice anti-symétrisée, 5 anti-symétrisable, 5 anti-symétrisante, 5 Cartan généralisée, 8 quasi-Cartan, 9 symétrisée, 5 symétrisable, 5 symétrisante, 5 type fini, 9 monôme cluster, 6 morphisme

représentations, 18 mutation

graine, 6 matrice, 6

mutation, 13

phénomène Laurent, 7

pos, 12

positivité, 7 présentation finie

carquois, 20

qc, 13 quotient

d’une catégorie, 28

racine, 14 positive, 14 presque positive, 14 simple, 14

radical

d’une catégorie, 28 relation d’échange, 6 représentation

de carquois, 18

finie, 20

indécomposable, 19 simple, 19

Ringel lemme, 23–24

simple

représentation, 19 somme

représentations, 19 suite

Auslander-Reiten, 28 presque scindée, 28

symplus, 12

théorème de Krull-Schmidt, 18 des dénominateurs, 14

Tits

forme, 21 translation, 29 type

algèbre cluster, 10 type fini

algèbre cluster, 8 matrice, 9

variable cluster, 6

                                  vatoorsng, 11

vecteur dimension, 20