Analyse comparative des niveaux de sévérité de la polyarthrite d’installation

récente(EPA)

Kathy Aubin Nathalie Carrier Anne-Marie Côté

Département de Mathématiques Université de Sherbrooke Sherbrooke J1K-2R1 Québec Mars 2005

Table des matières

1 Introduction 3

2 Les données 3

3 Modèles 5 3.1 Choix des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Analyse en composantes principales (ACP) . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Analyse discriminante (AD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Analyse des correspondances multiples (ACM) . . . . . . . . . . 10

4 Analyse des résultats 14 4.1 Traitement informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Analyse des résultats de l’ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1 Axe 1 (graphiques 1 et 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.2 Axe 2 (graphiques 1 et 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.3 Axe 3 (graphiques 2 et 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Analyse des résultats de l’AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3.1 Résultats de la première analyse . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3.2 Résultats de la deuxième analyse . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Analyse des résultats de l’ACM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.1 Résultats de la première analyse . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.2 Axe 1 (graphiques 4 et 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.3 Axe 2 (graphiques 4 et 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4.4 Axe 3 (graphiques 5 et 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4.5 Résultats de la deuxième analyse . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4.6 Axes 1 et 2 (graphique 7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Conclusion générale 24

6 Références 27

1 Introduction

Au Canada, l’arthrite touche près de 4 millions d’habitants. Pour cette raison, elle est considérée comme la principale maladie chronique au pays. De plus, un québécois sur sept en est atteint, et contrairement à la croyance générale, elle n’affecte pas seulement les personnes âgées mais affecte également les enfants. Il existe plusieurs types d’arthrites. Les plus connus sont : l’arthrose, la polyarthrite rhumatoïde, l’arthrite infectieuse, l’arthrite juvénile, la goutte, la fibromyalgie et le rhumatisme psoriasique.^{1}

Dans le cadre des analyses effectuées, seul les patients ayant une polyarthrite d’installation récente (EPA) sont considérés, c’est-à-dire les patients souffrant de douleurs articulaires de type inflammatoire depuis mois d’un an. Les patients inclus dans l’étude effectuée par le docteur Gilles Boire et ses collaborateurs ont été évalués au centre hospitalier universitaire de Sherbrooke (CHUS) et proviennent de la région de l’Estrie et des environs. Ils sont âgés de plus de 16 ans, possédent au moins 3 articulations affectées et ont des douleurs depuis plus d’un mois et depuis moins de 12 mois lors de leur première évalutation. Par la suite, les patients ont été réévalués à des moments prédéterminés par le médecin soit après 18, 30, 42 et 60 mois du début de la maladie.

2 Les données

Les données sont tirées de la base de données EUPA fournie par le docteur Gilles Boire du centre de recherche clinique (CRC) du CHUS. Elle comporte 256 patients. Parmi ceux-ci, seulement 183 ont eu une première évaluation. L’arthrite sévère a été évaluée chez les patients ayant complété une troisième visite, ce qui réduit à 149 le nombre de patients considérés dans l’analyse.

La base de données comportait un grand nombre de variables. Parmi celles-ci, plusieurs ont été éliminées en raison de données manquantes. Une table correspondant aux données biomédicales a été crée ainsi qu’une deuxième constituée de certains marqueurs pronostiques considérés intéressants.

Définissons en premier lieu les variables qui seront retenues ultérieurement. L’hémoglobine est le pigment rouge vif qui donne la couleur au sang artériel et qui est contenu dans les globules rouges tandis que l’hématocrite est le volume total des globules rouges par rapport au reste du sang. Les PMN sont l’un des types de globules blancs. Les plaquettes quant à elles sont très utiles à la coagulation. Pour ce qui est des anti-CCP, anti-Sa et FR, ils sont des auto-anticorps^{2} et sont considérés comme des marqueurs importants de l’arthrite sévère. Le CRP est une protéine fabriquée par le foie et est un excellent marqueur de l’inflammation aiguë. Son dosage dans le sang est donc utilisé pour mettre en évidence une inflammation. Le HLA (HLA-DR) correspond à une séquence génétique provenant des gènes du père et de la mère. Il y a plusieurs types de HLA et certains de ceux-ci sont associés à l’apparition d’une polyarthrite. La variable HLA sera donc positive si au moins un de ses deux gènes est inclus dans le groupe associé à la polyarthrite^{3}. Les érosions et les pincements sont des dégradations des articulations. La variable M-HAQ correspond aux nombres moyens de réponses positives aux questions comprises dans le questionnaire Modified Health Assessment Questionnaire. Ce questionnaire comprend huit questions conçues de façon à déterminer la difficulté quotidienne que rencontrent les patients pour effectuer certaines tâches courantes. Le ”sharp érosion” correspond au nombre d’articulations présentant des érosions aux mains et aux pieds. Les synovites correspondent à l’inflammation de l’enveloppe des articulations^{4} et finalement, la durée de la raideur matinale correspond au temps qu’il faut au patient pour redevenir aussi souple que durant la journée.

1. http://www.servicevie.com/02Sante/Cle des maux/A/maux21.html

La table biomédicale inclut les variables continues suivantes: hémoglobine, hématocrite, globules blancs, polymorphonucléaire (PMN), plaquettes, vitesse de sédimentation corrigée, vitesse de sédimentation non corrigée, protéine Créactive (CRP), facteur rhumatoïde (FR), anticorps anti-peptices cycliques citrullinés (anti-CCP), érosion aux mains, érosion aux pieds, pincements aux mains, pincements aux pieds.

La table des marqueurs pronostiques inclut les variables dichotomiques suivantes : anticorps anti-Sa, FR ≥ 80, anti-CCP ≠ 0, American College of Rheumatology (ACR) criteria ≥ 4, durée de la maladie ≥ 4 mois, CRP ≥ 8, HLA (gènes) , HAQ positif si M-HAQ ≥ 1, sharp érosion ≥ 5, sexe, symétrie des articulations douloureuses, nombre de synovites ≥ 10, raideur matinale ≥ 60.

Puisque le but est de déterminer si les patients vont développer une arthrite sévère, la variable sévérité est définie grâce aux données de la troisième visite, ce qui correspond à 30 mois suivant l’inclusion des patients dans l’étude. En effet, le choix de cette visite s’explique par le fait qu’on utilise celle étant le plus éloignée depuis la première évaluation et qui comporte un nombre suffisamment important de patients pour effectuer les analyses. La définition de l’arthrite sévère selon le docteur Boire et ses collaborateurs représente les patients appartenants au tiers supérieur du score radiologique du Sharp/van der Heijde (SvH) ou ayant un score ≥ 1 pour la M-HAQ. Le SvH utilisé précédemment correspond aux nombres d’érosions et de pincements radiologiques des mains et des pieds.

2. bioch.ap-hop-paris.fr/analyses/Bioforma/Facteur%20rhumatoide.htm

3. http://www.chez.com/andar/hla.html

4. www.doctissimo.fr/html/sante/encyclopedie/sa 785 arthrose.htm

3 Modèles

3.1 Choix des modèles

Les données fournies contiennent aussi bien des variables de nature quantitative que qualitative. Puisque parmi les données biomédicales certaines sont continues, on procédera à une analyse en composantes principales ainsi qu’à une analyse discriminante. De plus, comme la variable sévérité sur laquelle l’analyse sera effectuée est dichotomique, une analyse des correspondances multiples sur les marqueurs pronostiques a été effectuée. Originalement, plusieurs de ces variables étaient de nature quantitative. Elles ont donc été transformées en variables dichotomiques et les points critiques qui ont permis d’effectuer cette transformation ont été choisis par le docteur Boire et ses collaborateurs en tenant compte de ce qui est fait en clinique et de la littérature sur le sujet.

Le but d’une analyse en composantes principales consiste d’une part à mettre en évidence un sous-ensemble de variables résumant bien les données et d’autre part à déterminer le mieux possible les liens entre ces variables. Pour ce faire, les variables les mieux représentées seront retenues et comparées entre elles. Par la suite, en se basant sur les résultats de l’analyse en composantes principales, une analyse discriminante qui tiendra compte de la notion d’arthrite sévère, comme définie à la section précédente, sera effectuée. Cette dernière aura pour but de mettre en évidence les liens entre l’arthrite sévère et les données biomédicales. Finalement, on effectuera avec les données dichotomiques une analyse des correspondances multiples. Ce type d’analyse est l’une des seules qui permet d’analyser les liens qui existent entre des variables qualitatives. Comme pour l’analyse en composantes principales, cette analyse permet également d’illustrer graphiquement les associations entres les variables du modèle.

3.2 Analyse en composantes principales (ACP)

Lorsque l’on désire étudier simultanément plusieurs variables quantitatives (≥ 4), il devient alors impossible de représenter les observations dans l’espaces des variables.(Effectivement, nos sens ne permettent pas la détection de plus de trois dimensions). L’objectif de l’analyse en composantes principales est de revenir à un espace de dimension réduite en déformant le moins possible la réalité et d’expliquer pour le mieux les liaisons initiales entre les variables. L’analyse en composantes principales peut être vue comme une composition de transformations géométriques. Tout d’abord comme une translation du système d’axes pour placer l’origine aux coordonnées des moyennes des variables, ensuite une rotation pour maximiser la variabilité tout en conservant l’orthogonalité des axes. Les nouvelles variables portent le nom de composantes principales.

Géométriquement, le résultat des transformations s’obtient en projetant les points individus sur un plan pour lequel les distances entre les individus seront le mieux conservées. Pour trouver le premier plan, il suffit de trouver une droite Δ_{1} qui maximise la moyenne des distances des projections sur ce premier axe et ensuite, on trouve une autre droite Δ_{2}, perpendiculaire à Δ_{1}, rendant maximale la distance des projections sur cet axe. On applique le même principe pour trouver les p − 2 autres axes.

Considérons le tableau X des données issues de l’observation de p variables quantitatives mesurées sur n individus de poids p_{i} positifs tels que ∑_{i} p_{i} = 1. Supposons que ces variables soient centrées. Chaque observation X_{i} peut être repérée dans ℝ^{p} par ses coordonnées X_{i}^{1},X_{i}^{2},...,X_{i}^{p} et l’ensemble des données se disposent dans cet espace sous la forme d’un nuage de points N défini comme suit :

N = {(X_{i},p_{i}) | X_{i} ∈ ℝ^{p} ; ∑_{i}p_{i} = 1 , i = 1,2, …,n}

Comme mentionné plus haut, le but consiste à maximiser la distance entre les projections. Une notion de distance sera donc introduite afin de pouvoir mesurer l’écart entre deux observations. Pour ce faire, le produit scalaire de deux vecteurs e_{1} et e_{2} de l’espace des observations est défini par

< e_{1},e_{2} >_{M}= e_{1}^{t}Me_{2}

De cette façon, l’espace ℝ^{p} des observations sera muni d’une structure euclidienne. La matrice M est alors la métrique de l’espace (M est symétrique et définie positive). Désignons par D = diag (p_{1},p_{2}, …,p_{n}) la matrice diagonale des poids et V = X^{t}DX la matrice de variance-covariance. On montre alors^{5} que maximiser la distance entre les projections équivaut à chercher le vecteur unitaire u qui maximise u^{t}MV Mu. À l’aide de la technique des multiplicateurs de Lagrange^{6}, on prouve que ce problème est équivalent à chercher les vecteurs et valeurs propres de la matrice V M. Notons par λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{p} ≥ 0 les valeurs propres, rangées en ordre décroissant, de cette matrice. Le premier axe principal correspond au vecteur propre unitaire u_{1} de V M associé à la plus grande valeur propre λ_{1} car :

5. J-M Bouroche et G.Saporta, L’analyse des données, Presses Universitaires de France, Paris 1980.

6. I. T. JOLLIFFE, Principal Component Analysis, Springer, 1986.

max_{||u||=1} u^{t}MV Mu = max u^{t}M(V Mu)
= max u^{t}Mλu
= max λu^{t}Mu
= max λ
= λ_{1}

En procédant de la même façon, on trouve que le deuxième axe correspond au vecteur u_{2} associé à la valeur propre λ_{2} et ainsi de suite pour les autres axes.

En projetant une observation X_{i}, de coordonnées initiales X_{i}^{1},X_{i}^{2},...,X_{i}^{p}, sur les axes principaux on obtient de nouvelles coordonnées c_{i}^{1},c_{i}^{2},...,c_{i}^{p}. De nouveaux caractères c^{1},c^{2},...,c^{p}, que l’on appelle composantes principales, sont ainsi construits. Pour calculer les composantes principales, il suffit de trouver la projection de chaque observation sur chacun des vecteurs propres. Appelons P la matrice des vecteurs propres de V M, et C la matrice des composantes principales. On a donc :

C = XMP = [c^{1},c^{2},...,c^{p}]

La figure obtenue étant une projection, il ne faut pas confondre proximité sur le plan principal et proximité dans l’espace. Il faut donc examiner la qualité de la représentation de chaque observation. Cette qualité s’évalue en considérant le cosinus de l’angle θ formé par l’observation et sa projection sur chaque axe. Cet angle est le produit scalaire des deux vecteurs divisé par la norme de chacun des vecteurs.

Les quantités λ_{i} / ∑ λ_{j} représentent les pourcentages d’inertie expliquée par chaque axe principal et interviennent dans le choix d’un sous-espace optimal de moindre dimension. La meilleure représentation des données au moyen de seulement q variables (q < p) s’obtient en prenant les q premiers axes principaux. Généralement, la valeur de q est choisie de sorte que cette proportion d’inertie expliquée soit supérieure à une valeur fixée a priori par l’utilisateur.

3.3 Analyse discriminante (AD)

L’analyse discriminante regroupe deux techniques d’analyse. Il y a premièrement l’analyse factorielle discriminante (AFD) qui a pour but de mettre en évidence les liaisons entre une variable qualitative (variable à expliquer) et un ensemble de variables quantitatives (variables explicatives). Elle a pour objectif d’identifier le mieux possible les groupes déjà existants formés par les variables quantitatives. Par la suite, la deuxième technique d’analyse, soit l’analyse discriminante décisionnelle, est généralement utilisée. Cette dernière permet de prévoir les modalités de la variable à expliquer à partir des valeurs prises par les variables explicatives (affecter une nouvelle observation à l’un des groupes). Par ailleurs, on démontre plus loin que L’AFD est un cas particulier de l’analyse en composantes principales.

En AFD, tout comme en analyse en composantes principales, on détermine de nouvelles composantes qui sont ici des combinaisons linéaires des variables initiales. Par contre, il ne s’agit pas d’obtenir des composantes de variances maximales, mais d’obtenir des composantes qui séparent le mieux possible les modalités de la variable qualitative. On désire que ces nouvelles composantes prennent des valeurs les plus voisines possible pour les observations appartenant à la même classe, et les plus différentes possible pour des observations appartenant à des classes différentes.

Considérons un ensemble de n observations sur lesquelles on observe une variable qualitative prenant m modalités que l’on appellera classes. On mesure également p variables quantitatives centrées notées x^{1},x^{2},...,x^{p}. Chaque observation est munie d’un poids p_{i} > 0 tels que

∑_{i} p_{i} = 1

(le plus souvent on prend p_{i} = 1/n ∀ i = 1,2,...,n)

Les variables étant centrées, le centre de gravité du nuage des observations est confondu avec l’origine. Tout comme dans l’ACP, on calcule la matrice de variance-covariance totale V = X^{t}DX où D est la matrice diagonale des poids (en général \frac{1}{n}I ). Considérons une nouvelle composante c = Xu dont la variance est égale à :

||c||^{2} = c^{t}Dc = u^{t}X^{t}DXu = u^{t}V u

La variance de cette composante peut se décomposer en deux de la façon suivante : la variance interclasse, provenant de la dispersion des centres de gravités des m classes autour de l’origine, et la variance intraclasse, provenant de la dispersion des observations d’une classe autour de leur centre de gravité g_{k} respectif. À chaque classe on affectera un poids P_{k} = ∑ p_{i} où l’observation i appartient à la classe k. Posons W_{k} la matrice de variance des p variables calculées sur les observations de la k−ième classe et W = ∑ p_{k}W_{k} la matrice de variance intraclasse. Désignons enfin par B la matrice de variance des p variables calculés sur le nuage des m centres de gravité munis de leurs poids respectifs.

B est la matrice de variance interclasse. On a donc la relation V = W + B. La variance de la composante c s’écrit donc comme :

||c||^{2} = u^{t}V u = u^{t}W u + u^{t}Bu

La composante est considérée parfaitement discriminante si elle a la même valeur sur toutes les observations d’une même classe et des valeurs différentes pour des observations appartenant à des classes distinctes. Choisir la meilleure composante revient donc à maximiser la variance interclasse u^{t}Bu de cette composante.

À l’aide de la relation :

(u^{t}Bu/u^{t}V u) + (u^{t}W u/u^{t}V u) = 1

On remarque que le problème d’optimisation revient à maximiser :

λ = (u^{t}Bu / u^{t}V u) où 0 ≥ λ ≥ 1

La solution optimale correspond alors à un point stationnaire et ceci implique que la dérivée du quotient par rapport aux différentes composantes de u doit être nulle. On a alors :

2(u^{t}V u)Bu − 2(u^{t}Bu)V u = 0
Bu = (u^{t}Bu/u^{t}V u)V u = λV u
V^{−1}Bu = λu

Ainsi, u doit être un vecteur propre de la matrice V^{−1}B associé à sa plus grande valeur propre λ. Le premier facteur discriminant u_{1} sera associé à la plus grande valeur propre λ_{1} et / ∑ λ_{i} représentera son pouvoir discriminant. On procédera alors de la même façon pour trouver la suite des autres facteurs. Par conséquent, les vecteurs propres de V^{−1}B notés u_{1}, u_{2},…, u_{m−1}, classés en ordre décroissant des valeurs propres positives λ_{1},λ_{2}, …,λ_{m−1}, sont les solutions du problème de maximisation énoncé précédemment. Les composantes discriminantes sont alors c^{i} = Xu^{i}. Il y a au plus m − 1 vecteurs propres non nuls puisque B est une matrice de variance-covariance calculée à partir des m centres de gravité et que la somme pondérée de ceux-ci est le vecteur nul.

L’analyse factorielle discriminante est un cas particulier de l’analyse en composantes principales. L’ADF est une ACP du nuage des m centres de gravité munis de leur poids, dans l’espace ℝ^{m}, avec V^{−1}comme métrique. Il suffit de prendre G , la matrice contenant en ligne les m centres de gravité et D_{m}, la matrice diagonale des poids des classes. La matrice de variance-covariance associée à ce nuage est alors donnée par : B = G^{t}D_{m}G. Si on suppose que ℝ^{m} est muni de la métrique M = V^{−1}, alors les facteurs principaux sont associés aux vecteurs propres de V^{−1}B et que V^{−1}Bu = λu.

Comme dans l’ACP , la meilleure représentation des données au moyen de seulement q variables (q < m−1) s’obtient en prenant les q premiers axes principaux. Il faudra également examiner la qualité de la représentation de chaque observation de façon similaire à celle expliquée à la section précédente.

Une fois l’analyse factorielle discriminante effectuée, on peut utiliser l’analyse discriminante décisionnelle qui permet d’affecter une observation supplémentaire à une classe de la variable à expliquer par la connaissance des variables explicatives. De plus, cette méthode permet d’estimer le risque d’erreur due à la mauvaise classification.

Plusieurs méthodes de discrimination ont été développées dont, entre autres, la méthode géométrique. Celle-ci consiste, dans le cas d’égalité des coûts de mauvaise classification, à affecter une observation à la classe dont le centre de gravité est le plus proche. Une seconde méthode est la méthode bayésienne qui consiste quant à elle à affecter, en cas d’égalité des coûts de mauvaise classification, une observation à la classe la plus probable a posteriori.

3.4 Analyse des correspondances multiples (ACM)

On a vu précédemment que l’analyse en composantes principales permet d’analyser un tableau homogène issu du croisement entre individus et variables lorsque ces dernières sont quantitatives. De la même manière, l’analyse des correspondances multiples (ACM) permet l’analyse d’un tableau croisant individus et variables lorsque les variables sont qualitatives. L’analyse des correspondances simples (ACS) est une technique statistique utilisée pour mettre en évidence les associations entre les modalités des variables qualitatives décrivant la population^{1}. Ces correspondances permettent de faire ressortir des facteurs indépendants dont l’interprétation sera effectuée ultérieurement. En utilisant des représentations graphiques, il sera possible d’étudier et de mettre en évidence les associations deux à deux des variables étudiées. Avant de présenter les résultats obtenus et les techniques d’interprétations utilisées, il est nécessaire de fournir un résumé succinct de la méthode d’analyse des données ainsi que de ces principales propriétés. On trouve un exposé détaillé de cette technique dans Baccini A. et Besse P.

1. Le critère de population fait ici référence à l’ensemble des données fournises pour l’analyse

Précisons tout d’abord la notation et les termes nécessaires à la présentation de ce modèle. Soient X_{1}, X_{2}, ... , X_{p} p variables qualitatives (p ≥ 3) ayant respectivent m_{1}, m_{2}, ... , m_{p} modalités. Supposons de plus que l’on dispose de n observations possédant un poids respectif de 1/n et sur lesquelles les valeurs des p variables qualitatives précédemment définies sont connues. Les données sont en général présentées sous la forme d’un tableau Z à n lignes et p colonnes, contenant pour chaque observation, les codes des modalités pris, pour cette dernière, par les variables, codes sur lesquels, bien entendu, aucune opération arithmétique n’est légitime.

Afin de traiter mathématiquement ces données, on construit un tableau disjonctif complet, noté X obtenu en substituant à chaque modalité de chaque variable qualitative sa fonction indicatrice(X^{j}) pour j = 1,2,...,m_{1} + m_{2} + ... +m_{p}. À l’aide de ce tableau, on construit le tableau dit de Burt obtenu en croisant entres-elles les variables qualitatives X^{j}. On dénote ce tableau par B = X^{t}X. L’élément X_{k}^{t}X_{k′} de B est en fait un tableau de contingence croisant X_{k} avec X_{k′} (∀ k,k′) et il correspond au “degré d’association” des observations possédant les mêmes modalités pour chacune des deux variables. Quant aux éléments diagonaux de cette matrice de la forme X_{i}^{t}X_{i}, ils représentent les effectifs de chacune des m_{i} modalités de la variable i.

L’ACM est une généralisation de l’ACS. C’est en fait une double analyse en composantes principales (ACP); l’une sur les profils des lignes et l’autre sur les profils des colonnes. Les profils des lignes, sont associés aux n obseervations tandis que les profils des colonnes sont associés aux p modalités des variables. Donc l’ACP des profils des lignes donnera une représentation graphique des observations et celle des profils des colonnes, une représentation des modalités. Suivant l’intérêt (les variables seulement ou les observations en relation avec les variables), on effectue respectivement une ACS sur le tableau de Burt ou sur le tableau disjonctif complet. Il est possible de montrer que l’analyse des correspondances multiples est simplement une suite d’ACS. Le lecteur est invité à consulter Baccini A. et Besse P. pour des explications plus approfondies sur le sujet. Pour simplifier l’explication de l’ACS, on suppose par la suite que l’analyse est effectuée sur un tableau de Burt ne croisant que deux des p variables disponibles. Il est évident que la méthode serait identique si l’analyse était effectuée sur le tableau de Burt en entier.

On dispose donc de deux variables aléatoires qualitatives A et B possédant respectivement p et q modalités et pour lesquelles on note par k_{ij} la coocurrence de la modalité i de A et de la modalité j de B. Les résultats sont habituellement présentés sous la forme d’un tableau K = (k_{ij}) de format p × q (i = 1,2,...,p; j = 1,2,...,q). Définissons maintenant les quantités usuelles suivantes :

Total de la ligne i:

q ; ∑_{j=1}k_{ij} = k_{i}

Total de la colonne j:

p ; ∑_{i=1}k_{ij} = k_{j}

Total général :

q ; ∑_{j=1} p ; ∑_{i=1}k_{ij} = k

Profil de la ligne i:

x_{i} = (k_{ij}/k_{i}; j = 1,2,...,q) ∈ ℝ^{q}

Profil de la colonne j:

y_{i} = (k_{ij}/k_{j}; i = 1,2,...,p) ∈ ℝ^{p}

Poids de la ligne i:

p_{i} = k_{i}/k

Poids de la colonne j:

q_{j} = k_{j}/k

Considérons, aux fins de l’analyse des données, les deux nuages N(I) et N(J), respectivement dans ℝ^{q} et dans ℝ^{p}, suivants :

N(I) = {(x_{i}; p_{i})|x_{i} ∈ ℝ^{q},p_{i} > 0, q ; ∑_{i=1}p_{i} = 1}

N(J) = {(y_{j}; q_{j})|y_{j} ∈ ℝ^{p},q_{j} > 0, p ; ∑_{i=1}q_{j} = 1}

Il est simple de vérifier que N(I) est élément du simplexe de ℝ^{q} tandis que N(J) appartient quant à lui au simplexe de ℝ^{p}. Leur centre de gravité respectif, g_{I} et g_{J}, sont les vecteurs (q_{j})_{j=1,...,q} ∈ ℝ^{q} et (p_{i})_{i=1,...,p} ∈ ℝ^{p} . Afin de mettre en valeur les associations éventuelles entre les modalité des variables A et B, l’ACS propose d’effectuer une ACP des deux nuages précédemment définis où, dans chacun des cas, on choisi une métrique particulière dite ”du χ^{2} ” . Ces métriques sont définies comme suit :

d^{2}(x_{i},x_{i′}) = q ; ∑_{j=1} \frac{1}{q_{j}} (x_{i}^{j} − x_{i′}^{j} )^{2} = ∑^{q} ; j=1 \frac{k}{k_{j}} (\frac{k_{ij}}{k_{i}} − \frac{k_{i′ j}}{k_{i′}} )^{2}

d^{2}(y_{j},y_{j′}) = p ; ∑_{i=1} \frac{1}{p_{i}} (y_{j}^{i} − y_{j′}^{i} )^{2} = ∑^{p} ; j=1 \frac{k}{k_{i}} (\frac{k_{ij}}{k_{j}} − \frac{k_{ij′}}{k_{j′}} )^{2}

Dans le premier cas, cela revient à choisir, dans ℝ^{q}, une métrique associée à la matrice diagonale A_{J} = diag(q_{j}^{−1}). Pour la seconde formule, le principe est similaire et il suffit de faire choix, dans ℝ^{p}, d’une métrique associée à la matrice diagonale A_{I} = diag(p_{i}^{−1}). Ces métriques sont utilisées afin d’atténuer les disparités des différents poids des colonnes (ou des lignes).

De façon à pouvoir passer aisément de l’analyse du nuage N(I) à

celle de N(J), on effectue une analyse en composantes principales non centrée. Désignons respectivement par X_{p×q} et Y_{q×p} les matrices des profils des lignes et des profils des colonnes et par V_{I} et V_{J} les matrices d’inertie de N(I) et de N(J). On a, par rapport à l’origine, les deux expressions matricielles suivantes :

V_{I} = X^{t}A_{I}^{−1}X
V_{J} = Y^{t}A_{J}^{−1}Y

L’analyse, dans le cas du nuage N(I), peut donc se ramener à la

résolution d’un problème d’optimisation qui prend la forme suivante :

Max u^{t}A_{I}V_{I}A_{I}u sous la contrainte ∥u∥^{2} = u^{t}A_{I}u = 1

Dans le cas du nuage N(J), l’analyse revient à faire la résolution du problème d’optimisation suivant :

Max v^{t}A_{J}V_{J}A_{J}v sous la contrainte ∥v∥^{2} = v^{t}A_{J}v = 1

Lors de la résolution de ces problèmes, il est nécessaire de diagonaliser les matrices V_{I}A_{I} et V_{J}A_{J} . Les systèmes de valeurs propres de ces matrices, lorsque classées en ordre décroissant, ont en commun les min(p,q) premières valeurs. Quant aux vecteurs propres associés : u_{1} = g_{I},u_{2},...,u_{q} et v_{1} = g_{J},v_{2},...,v_{p}, ils constituent les axes principaux d’inertie des nuages N(I) et N(J). De plus, ils permettent d’obtenir des résumés graphiques par projection de N(I) et de N(J) sur les sous-espaces propres optimaux suivant le critère du pourcentage d’inertie expliquée.

L’analyse des correspondances simples permet, tout comme l’analyse en composantes principales, de porter des conclusions s’appuyant sur plusieurs critères: qualité de la représentation, pourcentage d’inertie expliquée, contribution absolue et relative. Par contre, l’ACS jouit d’une propriété supplémentaire dite “principe barycentrique”. Celui-ci permet une interprétation simultanée des projections des nuages N(I) et N(J) sur les axes principaux retenus. En fait, il est possible de montrer que chacune des modalités A_{i} de la variable A se projette , sur un axe u_{k}, au “barycentre”^{7} des projections, sur le même axe, des modalités B_{j} de la variable B affectée des ”masses” x_{i}^{j} , j = 1,2,...,q , et ce, à un facteur de 1/\sqrt[2]{λ_{S}} près. De cette façon, il est aisé d’expliquer visuellement la proximité de deux ou plusieurs modalités de la variable A en fonction de l’attrait que certaines modalités de la variable B exercent sur elle. Il est évident que cette propriété est tout aussi bien vérifiée en inversant les rôles des variables A et B.

En ce qui concerne l’équivalence entre une analyse des correspondances multiples et une suite d’analyse des correspondances simples, la lectrice ou le lecteur est invité à consulter Baccini A. & Besse P pour des explications plus approfondies sur le sujet.

4 Analyse des résultats

4.1 Traitement informatique

Le traitement informatique a été effectué à l’aide du logiciel SAS version 8. On a utilisé la procédure PROC PRINCOMP pour effectuer l’ACP, la procédure PROC DISCRIM pour l’AD et pour l’ACM, la procédure PROC CORRESP. De plus, la macro PLOITIT a été utilisée afin de créer des graphiques dans un format choisi par le programmeur.

Pour l’ACP, le logiciel fournit les valeurs des axes principaux d’inerties sous forme de lignes en raison du format de la table de données entrée en paramètre à la fonction PRINCOMP. La matrice des résultats a été transposée afin de représenter graphiquement les variables biomédicales en fonction de ces axes. Pour ce qui est de l’ACM, l’option MCA a été ajouté au PROC CORRESP afin d’effectuer une analyse des correspondances multiples.

On trouvera le programme SAS à l’annexe1 pour l’ACP, à l’annexe 2 pour l’AD et à l’annexe 3 pour l’ACM. Les graphiques pourront, quant à eux, être retrouvés aux annexes 4 et 5 pour l’ACP et l’ACM respectivement.

7. centre de gravité

4.2 Analyse des résultats de l’ACP

Afin de mettre en évidence les variables ayant un impact majeur sur l’installation de l’arthrite, on a effectué une ACP sur l’ensemble des données de type biomédicales quantitatives. L’analyse fut effectuée sur 157 patients au lieu des 217 patients que contient l’enquête puisque 60 d’entre eux présentaient des valeurs manquantes.

Les données de l’étude mettant en jeu de nombreuses unités de mesure, il s’ensuit une très grande hétérogénéité entre les variances ce qui constitue un obstacle à leur comparaison. Il est possible de le constater en regardant le tableau des statistiques élémentaires des données fournit au tableau 2 de l’annexe 6. À cause de cette différence de mesure, il a été nécessaire d’effectuer l’analyse en composantes principales à l’aide de la matrice des corrélations. La procédure PROC PRINCOMP avec les options par défaut a été utilisée puisque celle-ci utilise la matrice désirée pour effectuer les calculs de l’ACP. La matrice des corrélations est présentée au tableau 3.

La métrique choisie dans ℝ^{14} étant la matrice identité, le tableau 4 fournit les valeurs propres de la matrice des corrélations classées en ordre décroissant ainsi que les pourcentages d’inertie expliquée par chaque axe principal. On retrouve également, au tableau suivant, les vecteurs propres de cette même matrice.

En examinant les pourcentages d’inertie cumulés, il est possible de constater que les 3 premiers axes principaux expliquent à eux seuls un peu plus de 54% de l’inertie totale. Ce pourcentage, indique l’existence d’un lien entre les variables étudiées d’autant plus que l’analyse porte sur la matrice des corrélations ce qui a pour effet de rendre plus sphérique le nuage de points représentant les données et par le fait même, d’atténuer les disparités des contributions relatives des axes principaux. Il est donc plausible de se limiter à l’étude des ces trois axes pour ainsi réduire la dimension du problème.

L’analyse et l’interprétation des résultats obtenus en effectuant l’ACP est basée principalement sur le tableau des composantes principales et les graphiques disponibles à l’annexe 4. Ceux-ci représentent les coordonnées des variables sur les nouveaux axes trouvés. La qualité des représentations des variables est proportionnelle à la valeur absolue des coordonnées sur les nouveaux axes. Donc, plus une variable est proche du cercle unité centré à l’origine, plus la variable est bien représentée.

4.2.1 Axe 1 (graphiques 1 et 2)

Le premier axe représente à lui seul 25% de l’inertie totale et on constate que les variables hémoglobine, hématocrite et vitesse de sédimentation non corrigée sont les variables qui contribuent le plus à la création de ce dernier. On remarque également que les deux premières variables sont fortement corrélées positivement entre elles et qu’elles sont corrélées négativement avec la troisième. Ces liens sont facilement explicables puisque l’hématocrite est le pourcentage en volume occupé dans le sang par les globules rouges et l’hémoglobine est le pigment rouge vif qui donne la couleur au sang artériel et qui est contenu dans les globules rouges^{8}. De plus la vitesse de sédimentation est la vitesse avec laquelle les globules rouges d’un échantillon de sang, contenu dans un tube étroit, se sédimentent, c’est-à-dire s’agglomèrent au fond du tube^{9}. Nous constatons donc que toutes ces variables concernent les globules rouges dans le sang. Par rapport à l’arthrite, cet axe représente l’inflammation chronique de la maladie. Les variables les mieux représentées sur cet axe représentent l’inflammation à long terme.

4.2.2 Axe 2 (graphiques 1 et 3)

Le deuxième axe représente 16% de l’inertie totale. Les variables globules blancs et PMN sont les deux variables contribuant le plus à cet axe. On observe que ces deux variables sont fortement corrélées. Cette observation ne surprend guère puisque les polymorphonucléaires (PMN) forment l’un des deux groupes principaux des leucocytes (les globules blancs) et donc une forte corrélation semble normale^{10}. Ce deuxième axe concerne donc les globules blancs. Par rapport à l’arthrite, cet axe représente l’inflammation aiguë de la maladie. Les variables les mieux représentées sur cet axe représentent l’inflammation sur un court laps de temps.

4.2.3 Axe 3 (graphiques 2 et 3)

Le troisième axe représente quant à lui 13% de l’inertie totale. Les variables érosions aux mains, érosions aux pieds, FR et CCP contribuent fortement à la création de cet axe. Ces quatre variables sont toutes positivement corrélées. Le lien entre la variable nombre d’érosions aux mains et nombre d’érosions aux pieds est facilement explicable puisque ses deux variables mesurent un indice de destruction dans les articulations. La relation entre les variables anti-CCP et FR est également explicable puisque ces deux variables sont des anticorps couramment utilisés dans le domaine médical comme marqueur pour le pronostic de l’arthrite rhumatoïde^{11}. Dans les deux cas, un taux élevé dans le sang de ces marqueurs prédit un développement éventuel d’une arthrite indifférenciée. Dans la littérature biomédicale, on a noté qu’au cours des affections auto-immunes, les facteurs rhumatoïdes persistent à taux élevé dans le sang : leur taux n’est pas forcément corrélé à l’importance des lésions. Donc il n’y a pas forcément de corrélation entre les deux groupes de variables les mieux représentées sur le troisième axe. Cet axe représente donc l’auto-immunité et la destruction.

8. http://www.diffu-sciences.com/pages/med acces/encyclo/10 le sang.html

9. http://www.pratique.fr/sante/examcomp/em32a05.htm

10. http://mapageweb.umontreal.ca/cabanat/bio2412/Chapitre6.html

4.2.4 Conclusion

En ce qui concerne l’échantillon mis à notre disposition, les résultats obtenus à l’aide de l’analyse en composantes principales confirment l’importance des variables hémoglobine, hématocrite, globules blancs, PMN, érosions aux mains et aux pieds, facteur rhumatoïde et anti-CCP dans l’identification de la sévérité de la polyarthrite d’installation récente. Les résultats de l’ACP faciliteront le choix des variables quantitatives pour effectuer une analyse discriminante.

4.3 Analyse des résultats de l’AD

4.3.1 Résultats de la première analyse

L’AD a été réalisée sur l’ensemble des 14 variables biomédicales quantitatives. Étant donné l’utilisation de l’arthrite sévère dans cette analyse et que cette dernière n’est définie qu’à la visite 3, l’analyse s’est donc effectuée sur 149 patients. De ces derniers, 4 ont été exclus en raison de données manquantes.

En premier lieu, les données se divisent en deux classes, l’arthrite sévère et non sévère. De l’ensemble des observations, on obtient deux nuages de points ayant chacun un centre de gravité. La distance entre les centres de gravité est de 2.61 comme m’entionné au tableau 7 de l’annexe 7. De plus, le centre de gravité général est situé à l’origine car les données ont été centrées et réduites et chaque observation est munie d’un poids p_{i} = 1/145.

11. http://www.medterms.com/script/main/art.asp?articlekey=24648

Le tableau 8 fournit les coefficients de la fonction discriminante correspondant à la ligne des centres de gravité selon l’arthrite sévère. Cette fonction correspond à la droite reliant les deux centres de gravités et dépendra donc des 14 variables explicatives. Les coefficients correspondant à l’arthrite non sévère sont dans le groupe 0 et ceux correspondant à l’arthrite sévère sont dans le groupe 1.

Dans le cas de deux groupes, la règle de décision généralement utilisée affectera l’individu x au groupe 0 si:

(g_{0} − g_{1})Ś_{r}^{−1}x > (g_{0} − g_{1})Ś_{r}^{−1}(\frac{g_{0} + g_{1}}{2} )

et affectera l’individu x au groupe 1 dans le cas contraire. Les variables g_{0} et g_{1} sont les barycentres associés à leur classe respective et S_{r} est la variance intraclasse . On obtient alors les deux équations suivantes qui correspondent aux fonctions de classement:

Pour le groupe 0 :
f(x) = −0.18 + 0.099 Hemo(x) − 0.017 Hema(x) − 0.553 Glob(x)
+0.474 PMN(x) + …
Pour le groupe 1 :
g(x) = −0.52 + 0.072 Hemo(x) − 0.200 Hema(x) + 1.161 Glob(x)
−1.025 PMN(x) − …

On s’intéresse donc, à partir de ces valeurs, à déterminer quelles variables seront les plus discriminantes. Pour ce faire, l’écart absolu entre le coefficient correspondant à l’arthrite non sévère et celui correspondant à l’arthrite sévère est calculé. En effectuant ces calculs, on trouve que les deux variables les plus discriminantes sont les globules blancs (Glob) et les polymorphonucléaires (PMN) avec des écarts absolus de 1.71368 et 1.49901 respectivement. Les autres variables ayant des propriétés discriminantes intéressantes sont l’ensemble des variables radiologiques qui correspondent aux érosions et aux pincements des mains et des pieds (EROMAIN, EROPIED, NARMIN et NARPIED). L’anti-CCP (CCP) est également considérée comme variable discriminante du modèle considérant sa grande importance dans ce domaine de recherche. Ce sont donc ces variables qui discriminent le plus fortement les centres de gravités des deux classes.

En observant les cinq dernières variables énumérées ci-dessus, on constate qu’elles sont toutes affectées du même signe. Ce phénomène s’explique par le fait que la présence d’un grand nombre d’érosions et de pincements ainsi qu’un anti-CCP élevé, démontrent que le patient est gravement atteint par la maladie. Comme ses variables semblent bien représenter les données, il est possible de supposer qu’une valeur élevée associée à chacune des ces composantes expliquerait en partie l’arthrite sévère.

Lorsqu’on observe les coefficients des globules blancs et de la variable PMN, on remarque qu’ils sont de sens opposé. On serait alors porté à affirmer que pour un patient donné, lorsque le nombre de globules blancs est élevé et que les PMN sont faibles, la tendance plaide en faveur d’une arthrite sévère. Par ailleurs, ceci ne semble pas cohérent à première vue, car les polymorphonucléaires sont en fait un type de globule blanc. Il serait alors plausible que plus le nombre de globules blancs augmente, plus le nombre de PMN augmente lui aussi. Notre raisonnement est donc à l’encontre de nos résultats. De plus, on a vérifié que le coefficient de corrélation entre ces deux variables est d’environ 0.92, ce qui indique qu’elles sont fortement corrélées positivement.

Mentionnons que les coefficients des équations obtenues précédemment ne s’expliquent pas de la même façon que dans le cas d’une régression linéaire. Dans ce dernier type d’analyse, les coefficients de chaque variable expliquent comment la variable dépendante se comporte. Dans la présente situation, le fait de déplacer les centres de gravité en centrant les variables occasionne des variations dans les signes des coefficients, ce qui pourrait expliquer le fait que les PMN et les globules blancs seraient de sens opposés.

Considérons maintenant le tableau 9 de l’annexe 7. Cette section permet de déterminer si la variable sévérité est bien expliquée en reclassant chacune des observations en tenant compte des centres de gravité calculés précédemment. En effet, cette méthode, appelée analyse discriminante décisionnelle, consiste à reprendre chaque observation et à l’attribuer au groupe pour lequel le centre de gravité est le plus proche. On remarque ainsi que 83 des 90 patients (92.22%) ayant une arthrite non sévère sont bien reclassés mais que seulement 36 parmi 55 sévère (65.45%) l’ont été. On constate donc que les patients considérés comme ayant une arthrite non sévère sont beaucoup mieux reclassés que les autres.

4.3.2 Résultats de la deuxième analyse

Dans le but d’obtenir une meilleure interprétation des patients ayant une arthrite sévère, l’analyse a été faite à nouveau en ne considérant cette fois que les variables les plus discriminantes. En observant le tableau 14, il est possible de conclure que l’analyse n’est pas particulièrement meilleure que la précédente. On constate que les variables sont légèrement mieux reclassées pour l’arthrite non sévère car il y a maintenant 94.44% au lieu de 92.22%. Par contre, le classement pour la sévérité diminue légèrement en passant de 64.45% à 63.64% ce qui est contraire au résultat souhaité.

On est donc en présence d’une première expertise qui donne une très bonne explication de la non sévérité qui pourrait conduire à créer un modèle afin de déterminer quels critères décrivent le mieux cette modalité. De cette façon, il serait possible pour le médecin de faire davantage de prévention auprès de ses patients. Il pourrait donc limiter l’administration de traitements intensifs puisqu’il existerait un moyen de prédire les chances de développement d’une arthrite sévère.

4.3.3 Conclusion

On a mis en évidence le fait que, pour l’échantillon considéré, les variables les plus discriminantes de l’AD sont les globules blancs, les PMN, les érosions et les pincements aux mains et aux pieds ainsi que l’anti-CCP. Il est normal que les érosions et les pincements expliquent l’arthrite sévère puisque ces variables démontrent une détérioration des articulations. De plus, la présence de l’anti-CCP ne fût pas surprenante puisqu’il est considéré comme un marqueur très important de la polyarthrite. Par contre, le fait que les globules blancs et les PMN soient les meilleurs discriminants étonne quelque peu, car ce ne sont point des variables ayant été analysées à de nombreuses reprises lors d’études antérieures. De plus, l’ensemble de ces variables pourrait éventuellement donner lieu à un bon modèle de prédiction de la non sévérité.

4.4 Analyse des résultats de l’ACM

4.4.1 Résultats de la première analyse

Lors de cette première analyse, on a fait une ACM sur l’ensemble des variables dichotomiques disponibles. L’analyse a porté sur 145 patients et non sur les 149 puisque 4 d’entre eux présentaient des valeurs manquantes lors du croisement des 26 variables qui sont en fait les 13 variables initiales que l’on a dédoublées en variables indicatrices des modalités positives et négatives de chacune d’entre elles. Les résultats statistiques complets sont présentés à l’annexe 8.

Tout d’abord, le tableau 15 fournit les valeurs propres communes à V_{I}A_{I} et V_{J}A_{J} classées en ordre décroissant, ainsi que les pourcentages d’inertie expliquée par chaque axe principal. On constate que les trois premiers axes principaux expliquent respectivement 21.01%, 15.56%, 11.62% de l’inertie totale pour un total de près de 50%. On se limite donc à l’analyse des données sur ces trois axes ce qui permet une grande réduction de la dimension du problème et qui indique l’existence d’une dépendance certaine entre les variables étudiées.

Comme en témoignent les valeurs élevées du χ^{2} , disponibles dans ce même tableau, il est possible de conclure qu’il existe bel et bien un lien entre les variables étudiées. En effet, sachant que la dimension totale est 26, si les différents paramètres étaient totalement indépendants les uns des autres, l’inertie expliquée par les trois premiers axes principaux aurait été approximativement 3 ∗ \frac{100}{26} soit près de 12% et non pas près de 50% comme dans le cas présent.

Les analyses et les interprétations qui suivent sont rendues possible grâce au tableau 16 disponible à l’annexe 8. Celui-ci présente les coordonnées et les qualités des représentations des différentes variables sur chaque axe ainsi que les contributions relatives des points à la création de chacun d’eux. Seuls les trois premiers axes principaux ont été conservés. Il est cependant possible d’afficher les résultats pour tous les axes existants en modifiant simplement la dimension de l’analyse des correspondances multiples.

4.4.2 Axe 1 (graphiques 4 et 5)

La dimension 1 explique à elle seule 20% de l’inertie totale. On constate que se sont les variables SaPos, FRPos, et CPPPos qui contribuent en grande partie à la création de cette dimension. De plus, on remarque, le long de cet axe, l’opposition entre les variables dites “positives” et celles dites “négatives”. Il est donc fort probable que cet axe représente les marqueurs auto-immuns des individus. Sur cet axe, tout comme pour tous les autres axes étudiés, toutes les variables, à l’exception de la durée et du sexe du patient, sont relativement bien représentées. Il est donc probable que les marqueurs pronostiques SA, CPP et FR expliquent bien les marqueurs immunitaires des individus utilisés pour la création de la base de données.

Il est premièrement possible de remarquer que le sexe des individus, affiché en tant que “femme” et “homme” sur le graphique, ne permet pas de faire une distinction entre l’arthrite rhumatoïde d’installation récente chez l’homme et chez la femme. Par contre, il ne faut pas perdre de vue que cette variable est la moins bien représentée du modèle ce qui rend prématurée une conclusion de cette ordre. Cette piètre qualité de représentation s’explique peutêtre par un nombre inférieur de patients masculins ayant participés à l’étude.

Une autre constatation peut être faite par rapport au centre de gravité des deux classes d’invidus présents dans l’enquête : sévère et non sévère. Ces deux points ont été projetés sur le graphique mais n’ont pas été inclus dans les calculs préliminaires. On constate que les deux barycentres se retrouvent très rapprochés l’un de l’autre. Ce qui confirme l’idée que le classement de la sévérité en seulement deux catégories n’est sans doute pas adéquat. L’introduction d’une classe intermédiaire permettrait, peut-être, de faire une plus grande distinction entre les variables gravitant autour de ces barycentres, ce qui pourrait rendre possible la distinction entre les critères biologiques expliquant les différents niveaux de sévérité. La seule constatation pouvant être faite sur la sévérité est que les patients classés comme ayant une arthrite non sévère ont tendance à avoir des marqueurs pronostiques qualifiés de négatifs et les patients ayant une arthrite sévère à les avoir positifs. Ceci n’apporte rien de nouveau aux connaissances sur le sujet mais cette affirmation confirme ce à quoi on devait s’attendre.

4.4.3 Axe 2 (graphiques 4 et 6)

L’axe 2 explique quant à lui près de 16% de l’inertie totale et est principalement créé par les variables ACRNeg, SymNeg et RaidNeg. Sur cette dimension, il est beaucoup moins évident de constater des oppositions entre les différentes modalités des variables. Par contre, d’après celles ayant les plus grandes contributions, il est possible d’affirmer que cet axe explique la représentation clinique des patients.

On constate tout d’abord que SymNeg est en très grande partie responsable de la création de l’axe deux. Puisque ce fait est très surprenant et ne confirme en rien les études et les prédictions des spécialistes, il faut être très prudent face aux conclusions apportées par ce fait. En effet, puisque la polyarthrite a tendance à être symétrique, il est possible que la sur-présence de patients possédant une symétrie positive soit en grande partie responsable de ce fait inusité. En raison de la position excentrée de la variable SymNeg, par rapport aux autres variables, on a jugé utile d’effectuer une nouvelle analyse en mettant cette dernière en variable supplémentaire. On trouvera les résultats de cette ACM à la prochaine section.

Quant aux classes de sévérité, il est impossible de tirer une conclusion autre que celle déjà prononcée lors de l’analyse de l’axe 1, affirmant la possibilité que la présence de seulement deux types de sévérité soit trompeuse. Il serait donc très intéressant de refaire une analyse des correspendances avec, cette fois ci, une classification plus détaillée de la sévérité des individus.

4.4.4 Axe 3 (graphiques 5 et 6)

L’axe 3 est une dimension qui explique près de 12% de l’inertie totale. En étudiant les contributions relatives et la qualités de la représentation des variables, on constate que se sont les modalités CRPNeg, SymNeg et RaidNeg qui ont tendance à créer cet axe. Il est possible de remarquer qu’il y a une certaine dispersion entre les modalités bien représentés contrairement aux deux axes précédents. Malgré cette constatation et malgré sa participation considérable à l’inertie totale, cette dimension n’apporte aucune information supplémentaire aux axes 1 et 2. Elle permet simplement de vérifier nos dires en vérifiant la direction des vecteurs représentant certaines variables importantes du modèle.

4.4.5 Résultats de la deuxième analyse

Cette deuxième analyse est extrêmement semblable à la précédente comme en témoigne le code SAS. En effet, la seule modification concerne la mise en supplémentaire de la variable symétrie ayant été qualifiée de douteuse lors de l’analyse de l’axe 2 dans l’ACM précédente. Il sera donc possible, grâce à ce changement, de noter l’emplacement des deux modalités de la variables symétrie par rapport aux autres variables sans toutefois l’inclure dans les calculs. Cela permet, si la variable est aberrante, d’annuler totalement sont effet sur la représentation graphique des corréraltions présentes entre les différentes modalités.

On se limitera encore une fois aux trois premières dimensions. Cellesci expliquent, tout comme dans la première analyse, près de 50% de l’inertie totale. En fait, elles expliquent respectivement 22.35%, 15.12% et 10.63%. Il est tout à fait normal que les résultats statistiques des analyses soient semblables. Les graphiques et les contributions aux axes seront peut-être, quant à eux, légèrement modifiés. Puisque la première analyse a révélé le faible intérêt de l’axe 3, on n’analysera, pour simplifier l’interprétation et pour alléger le contenu de cette analyse, que le premier plan créé par l’axe 1 et l’axe 2.

4.4.6 Axes 1 et 2 (graphique 7)

Le premier plan principal explique près de 38% de l’inertie totale. Tout comme dans l’analyse précédente, l’axe 1 est principalement créé par les modalités SaPos, FRPos et CCPPos. Quant au second axe, il s’explique encore une fois par les modalités RaidNeg, CRPNeg et SymNeg. Par contre, l’importance de la modalité de symétrie négative est beaucoup moins prononcée que précédemment. Il est donc possible que cette variable soit de fait aberrante dans le système.

Dans ce plan, on constate encore une fois l’opposition, sur le premier axe, entre les modalités négatives et les positives. De plus, il est possible de confirmer le fait que les modalités femme et homme ne se distingue aucunement. Leur représentation graphique étant extrêmement rapprochée et l’analyse d’un second plan disponible aux graphiquex 8 et 9 permettent d’affirmer que ces deux modalités sont fortement corrélées et varient dans le même sens. Donc il est impossible de définir des critères différents pour l’arthrite chez l’homme et chez la femme. De plus, comme affirmé lors de la précédente ACM, les barycentres des modalités de sévérité nous permettent simplement de dire que l’arthrite sévère est davantage liée à des marqueurs pronostiques positifs tandis que l’arthrite non sévère est liée à des négatifs.

4.4.7 Conclusion

Par le biais de la première analyse des correspondances multiples, on a pu déterminer qu’il existe un lien étroit de dépendance entre les variables dichotomiques de la base de données. Le rôle privilégié des variables SA, FR et CPP sur les deux plans principaux permet de conclure que ces trois variables jouent sans aucun doute possible un rôle très important pour la représentation de l’arthrite rhumatoïde des patients étudiés.

Lors de la deuxième analyse, on a pu confirmer certaines de nos interprétations effectuées lors de la première ACM. De plus, cette analyse permet de constater que la modalité SymNeg avait, dans la première analyse, une représentation beaucoup plus importante que ce qui est effectivement le cas. Il est cependant difficile, dans les présentes circonstances, d’expliquer avec certitude la raison de cette représentation.

En ce qui à trait à la sévérité, cette analyse n’a pas été des plus

concluante. En effet, les centres de masse des modalités étant très rapprochées, une distinction entre l’arthrite sévère et non sévère est très difficile à faire. Il est simplement possible de confirmer le fait que les modalités positives sont davantage liées à une arthrite dite sévère, et les négatives à une arthrite moins sévère. Encore une fois, ces représentations graphiques des barycentres nous incitent à conclure qu’il serait intéressant de créer plus de deux niveaux de sévérité du type d’arthrite étudiée.

5 Conclusion générale

Les données utilisées dans cette analyse ont été fournies par le docteur Boire. Les objectifs initiaux de ce dernier consistaient à mettre en évidence une relation d’une part entre la sévérité et les marqueurs pronostiques et d’autre part entre les traitements et les marqueurs pronostiques. De plus, on se proposait d’obtenir un modèle prévisionnel de l’évolution de la maladie dans le cas d’un patient non traité et enfin de valider le choix des points critiques des variables.

Malheureusement, on ne disposait que de quatre mois pour effectuer les analyses. On s’est donc restreint à l’étude des relations entre les marqueurs pronostiques et la sévérité de la maladie. Afin de mettre en évidence ces liens, les analyses factorielles ont donc été préférées à d’autres types d’analyses. Pour réaliser les analyses, on a utilisé les variables quantitatives et qualitatives de types biomédicales et la variable dichotomique sévérité. En considérant les types de données (quantitatives et qualitatives), on a choisi d’effectuer une analyse en composantes principales, une analyse discriminante et une analyse des correspondances multiples. Une brève description de chaque analyse a été faite pour aider à mieux comprendre la théorie utilisée.

Pour l’analyse en composantes principales, les résultats obtenus confirment nos attentes pour l’échantillon considéré. Les variables les mieux représentées sont l’hémoglobine, l’hématocrite, les globules blancs, les PMN, le nombre d’érosions aux mains et aux pieds, le facteur rhumatoïde et l’anti-corps anti-CCP. Les liens entres ces variables et la raison pour laquelle elles sont bien représentées ont été facilement expliqués par le docteur Boire.

L’analyse discriminante nous a permis de discriminer facilement les patients ayant une arthrite peu sévère, mais identifier les patients ayant une arthrite sévère à été un tâche plus ardue. Les variables les plus discriminantes sont le nombre d’érosion aux mains et aux pieds, le nombre de pincements aux mains et aux pieds, l’anti-corps anti-CCP, les globules blancs et les PMN. Par le fait que leur corrélation était de signe négatif, les deux dernières variables de l’énumération semblent révéler un fait nouveau. Donc dans l’éventualité d’approfondir cette question, il serait intéressant d’effectuer une nouvelle analyse. En obtenant les deux centres de gravité correspondant aux deux groupes, sévère et non sévère, il est alors possible de déterminer le vecteur unité représentant la droite reliant les deux centres de gravité. Par la suite, en projetant la totalité des observations sur cette droite, une nouvelle série de valeurs serait obtenue pour chaque observation. En ajoutant ces nouvelles valeurs au tableau incluant toutes les variables biomédicales et en déterminant la corrélations entre les nouvelles valeurs de la projection et les 14 variables analysées, on pourrait alors déterminer de façon plus précise la raison du changement de signe dans les coefficients correspondant à la droite de la ligne des centres.

Les résultats obtenus avec la première analyse des correspondances multiples ont été étonnants puisque la présence de la variable symétrie négative a faussé quelque peu les résultats. En effectuant une deuxième analyse laissant de côté cette variable, on a obtenu des résultats beaucoup plus concluants. On a pu confirmer que les variables anti-SA, anti-CCP et le facteur rhumatoïde jouent un rôle important comme marqueurs pronostiques de l’arthrite rhumatoïde.

Pour satisfaire les objectifs fixés par le docteur Boire, il serait souhaitable d’effectuer une analyse des correspondances multiples en incluant, après les avoir mises sous forme de classes, les variables les mieux représentées de l’analyse en composantes principales. De plus, il serait intéressant d’effectuer une analyse pour étudier les relations entre les différents types de médicaments administrés et l’évolution des principaux marqueurs pronostiques.

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