Indice d’efficacité relative fondé sur la statistique d’ordre

Bernard Colin Département de Mathématiques Université de Sherbrooke Sherbrooke J1K-2R1

Nacéra Mellal Département de Mathématiques et de Statistique Université d’Ottawa Ottawa K1N-6N5

Résumé

Soit (X, Y) un vecteur aléatoire de ℝ^{2} et soient respectivement ξ_{p}, ξ_{q} et η_{r}, η_{s} les quantiles d’ordres p et q (p > q) et d’ordres r et s (r > s) des composantes X et Y. On s’intéresse alors, en tant qu’indice relatif de

dispersion, au rapport \begin{matrix}(ξ_{p}−ξ_{q}) & ^{2} \\ (η_{r}−η_{s}) & ^{2} \end{matrix} et l’on montre que le rapport empirique correspondant est, pour ce dernier, un estimateur asymptotiquement normal, sans biais et convergent et qu’en outre il peut dans certains cas représenter, pour le rapport des variances \begin{matrix}σ & ^{2}_{X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix}, un estimateur concurrent du rapport des variances empiriques. Quelques simulations illustrent les résultats de normalité asymptotique et permettent de comparer les deux estimateurs.

Mots-clés : Loi bidimensionnelle, étendues interquantiles, copule, normalité asymptotique, rapport des variances.

Abstract

Let (X, Y) be a bivariate random vector and let ξ_{p}, ξ_{q} (p > q) and η_{r}, η_{s} (r > s) be respectively the quantiles of order p and q and the quantiles of order r and s of the components X and Y. We consider, as a relative

measure of dispersion, the ratio \begin{matrix}(ξ_{p}−ξ_{q}) & ^{2} \\ (η_{r}−η_{s}) & ^{2} \end{matrix} for which we show that its empirical counterpart is an asymptotically normal, unbiaised and efficient estimator and this one, moreover, may be consider under certain conditions, as a competitor of the usual estimator of the variances ratio \begin{matrix}σ & ^{2}_{X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix}. Some simulations illustrate the asymptotic normality results and provide us whith comparison of the two estimators.

Keywords : Bivariate random vector, interquantile range, copula, asymptotic normality, variances ratio.

1 Introduction

Les notions de risque, de rendement, de volatilité que l’on rencontre, entre autres, dans les domaines de l’économie, de la finance et des assurances, sont associées en général aux variances des variables aléatoires présentes dans un modèle donné. Parmi ces modèles, ceux qui font appel à des lois stables ou encore à des lois dites “asymptotiquement parétiennes”, posent problème puisque pour ces dernières, les variances des variables étant, pour certaines valeurs des paramètres, infinies (voir par exemple R.E. Feldman, M.S. Taqqu[7]), il n’est pas possible de considérer les notions précédentes telles qu’habituellement définies. Notant cependant que les étendues des intervalles interquartiles et plus généralement des intervalles interquantiles constituent des indices de dispersion, on peut alors, dans le but d’exprimer néanmoins une notion de risque relatif en l’absence de variances des variables aléatoires, considérer le rapport des carrés des étendues interquantiles puisque ce dernier s’exprime avec les mêmes unités que le rapport des variances. De plus, dans le cas où les variances sont finies, les estimations du risque relatif ou de l’efficacité relative, telle que définie dans le cadre de procédures statistiques, reposent sur des estimateurs de variances que l’on sait particulièrement sensibles aux valeurs aberrantes. Dans ce contexte, le rapport des carrés des étendues de deux intervalles interquantiles empiriques peut s’avérer également une alternative intéressante au rapport des variances empiriques en tant qu’estimateur du risque relatif ou de l’efficacité relative (tant asymptotique qu’à distance finie). Désignant respectivement par ξ̂_{p}, ξ̂_{q} et par η̂_{r}, η̂_{s} les quantiles empiriques d’ordres p, q et r, s de deux variables aléatoires X et Y quelconques, nous nous proposons dans les paragraphes qui suivent d’étudier, dans le cadre des lois bidimensionnelles absolument continues par rapport à une

mesure de référence, le rapport \begin{matrix}(ξ̂_{p}−ξ̂_{q}) & ^{2} \\ (η̂_{r}−η̂_{s}) & ^{2} \end{matrix} (espérance, variance, loi asymptotique) et en particulier dans le cas où p = r et où q = s qui, dans un certain nombre de situations, correspond au rapport \frac{V ar(X)}{V ar(Y)}. Enfin, quelques résultats découlant de cette étude sont illustrés à l’aide de simulations.

2 Généralités

Considérons un vecteur aléatoire de ℝ^{2}, de composantes X et Y, auquel est associé une structure statistique paramétrique dominée de la forme :

(ℝ^{2}, B_{ℝ^{2}}, {ℙ_{θ}} ; θ ∈ Θ, μ)

où μ désigne une mesure de référence σ−finie telle que ℙ_{θ} ≪ μ pour tout θ ∈ Θ et où Θ désigne l’espace paramètre de la famille {ℙ_{θ}} de mesures de probabilité. Soit :

t (X_{1}, Y_{1}) ,^{t} (X_{2}, Y_{2}) , …,^{t} (X_{n}, Y_{n})

un échantillon de taille n issu du modèle empirique (ℝ^{2}, B_{ℝ^{2}}, {ℙ_{θ}} , μ)^{⨂ n} et soient respectivement ξ̂_{p}, ξ̂_{q} et η̂_{r}, η̂_{s} les quantiles empiriques d’ordres p et q (p > q) et d’ordres r et s (r > s) déduits des observations

(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) et (Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{n})

des variables aléatoires X et Y. Dans le but d’introduire une notion “d’efficacité relative” pouvant se substituer au quotient de deux variances dans le cas où ces dernières n’existent pas (ou en cas de variances complexes à calculer, voire dans le cas où l’on ne dispose que d’approximations numériques de celles-ci), nous nous intéresserons dans ce qui suit au rapport des carrés des étendues interquantiles empiriques R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} défini par :

R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} = \begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{r} − η̂_{s}) & 2 \end{matrix} où p > q ; r > s

Plus précisément, nous déterminerons les approximations d’ordres 1 et 2 des quantités :

𝔼 [R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}] et V ar [R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}]

et nous montrerons que R̂^{2}_{(p,q);(r,s)} est un estimateur asymptotiquement normal, sans biais et convergent du rapport des carrés des étendues interquantiles théoriques :

R_{(p,q),(r,s)}^{2} = \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix}

On trouvera par ailleurs en annexe, une expression générale de la loi à distance finie de R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}.

3 Moments d’ordres 1 et 2 du rapport R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}

De façon générale il n’est pas possible de donner, pour tout n, une expression simple et explicite de l’espérance et de la variance de R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} en raison de la complexité de sa loi (voir Annexe 1). On peut cependant, pour des valeurs de n données, en obtenir des approximations en utilisant une démarche, en tout point comparable à celle utilisée dans [2], et dont le principe consiste à représenter la loi F_{X,Y} (x, y) du couple (X,Y) sous la forme d’une copule et à effectuer, par ailleurs, le développement limité jusqu’à l’ordre 2 de la fonction g (ξ_{p},ξ_{q},η_{r},η_{s}) définie par :

g (ξ_{p},ξ_{q},η_{r},η_{s}) = \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix}

3.1 Moment d’ordre 1

Considérant le changement de variables usuel Z_{1} = F_{X} (X) et Z_{2} = F_{Y} (Y), il découle du présent cadre théorique que les variables Z_{1} et Z_{2} suivent des lois uniformes U_{[0,1]} sur l’intervalle [0,1] et que la fonction de répartition

F_{Z_{1},Z_{2}} (z_{1}, z_{2}) = F_{X,Y} (F_{X}^{−1} (z_{1}) , F_{Y}^{−1} (z_{2}))

du couple (Z_{1}, Z_{2}), constitue une copule (voir Sklar [14], Fréchet [8], Kimeldorf et Sampson [9]). Adoptant dans ce qui suit la notation X_{r:n} afin de désigner la r^{e} statistique d’ordre déduite d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire quelconque X on a :

{X_{r:n}}_{1≤r≤n} = {F_{X}^{−1} (Z_{1_{r:n}})}_{1≤r≤n} ; {Y_{s:n}}_{1≤r≤n} = {F_{Y}^{−1} (Z_{2_{s:n}})}_{1≤r≤n}

Notons alors par Z_{n} = ^{t} (Z_{1_{u:n}}, Z_{1_{t:n}}, Z_{2_{w:n}}, Z_{2_{v:n}}) le vecteur des statistiques d’ordre associées aux quantiles empiriques ξ̂_{p}, ξ̂_{q}, η̂_{r} et η̂_{s} des variables X et Y et désignons respectivement par μ_{n} = ^{t} (μ_{u:n}, μ_{t:n}, ν_{w:n}, ν_{v:n}) et par Σ_{n} le vecteur moyen et la matrice de variance-covariance du vecteur Z_{n}. Soit enfin :

g (z_{n}) = g (z_{1_{u:n}}, z_{1_{t:n}}, z_{2_{w:n}}, z_{2_{v:n}}) = \begin{matrix}(F_{X}^{−1} (z_{1_{u:n}}) − F_{X}^{−1} (z_{1_{t:n}})) & 2 \\ (F_{Y}^{−1} (z_{2_{w:n}}) − F_{Y}^{−1} (z_{2_{v:n}})) & 2 \end{matrix}

dont le gradient et la matrice hessienne évalués en z_{n} = μ_{n} seront notés respectivement par Gradg|_{μ_{n}} et par D^{(2)}g|_{μ_{n}}. Suivant la démarche présentée dans [2], on montre alors que les approximations d’ordres 1 et 2 de 𝔼 (g (Z_{n})) = 𝔼 (R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}) sont données par :

\begin{matrix}(F_{X}^{−1} (μ_{u:n}) − F_{X}^{−1} (μ_{t:n})) & 2 \\ (F_{Y}^{−1} (ν_{w:n}) − F_{Y}^{−1} (ν_{v:n})) & 2 \end{matrix}

et par :

\begin{matrix}(F_{X}^{−1} (μ_{u:n}) − F_{X}^{−1} (μ_{t:n})) & 2 \\ (F_{Y}^{−1} (ν_{w:n}) − F_{Y}^{−1} (ν_{v:n})) & 2 \end{matrix} + \frac{1}{2!}𝔼 [^{t} (Z_{n}−μ_{n}) D^{(2)}g|_{μ_{n}} (Z_{n}−μ_{n})]

où μ_{n} = \frac{1}{n+1} ^{t} (u,t,w,v)

Remarque 1 Si l’on suppose que n, u, t, w et v tendent vers l’infini de sorte que n^{−1}u → p, n^{−1}t → q, n^{−1}w → r et que n^{−1}v → s, on sait dans ce cas que, sous des conditions très générales, (voir Serfling [13], David [4], Lecoutre et Tassi [10]), les quantiles empiriques convergent, respectivement, presque sûrement vers p, q, r et s et comme par ailleurs μ_{n} converge vers μ = ^{t} (p,q,r,s), nous aurons, en vertu du fait que les fonctions F_{X}^{−1}et F_{Y}^{−1}sont continues et que

(Z_{n}−μ_{n}) →^{p.s} 0 : lim_{n→∞}𝔼 [\begin{matrix}(ξ̂_{p}−ξ̂_{q}) & ^{2} \\ (η̂_{r}−η̂_{s}) & ^{2} \end{matrix} ] = \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix}

3.2 Moment d’ordre 2

Toujours suivant la démarche utilisée dans [2], on montre sans peine que les approximations d’ordres 1 et 2 de V ar [g (Z_{n})] = V ar [R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}] sont données par :

t Gradg|_{μ_{n}} Σ_{n} Gradg|_{μ_{n}}

et par :

t Gradg|_{μ_{n}} Σ_{n} Gradg|_{μ_{n}} − \frac{1}{4} [𝔼 (^{t} (Z_{n}−μ_{n}) D^{(2)}g|_{μ_{n}} (Z_{n}−μ_{n}))]^{2}

Remarque 2 A l’aide des dérivées partielles de la fonction g il est possible d’obtenir des approximations numériques de la moyenne et de la variance de R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} en tenant compte du fait que :

V ar (Z_{1_{u:n}}) = \frac{u (n − u + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)} ; V ar (Z_{1_{t:n}}) = \frac{t (n − t + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)}
V ar (Z_{2_{w:n}}) = \frac{w (n − w + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)} ; V ar (Z_{2_{v:n}}) = \frac{v (n − v + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)}

et que :

Cov (Z_{1_{u:n}},Z_{1_{t:n}}) = \frac{u (n − t + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)} ; Cov (Z_{2_{w:n}},Z_{2_{v:n}}) = \frac{w (n − v + 1)}{(n + 1)^{2} (n + 2)}

Quant à la covariance de Z_{1_{r:n}} et de Z_{2_{s:n}} (pour r = u, t et pour s = w, v) il est nécessaire de connaître la loi conjointe du couple (Z_{1_{r:n}}, Z_{2_{s:n}}) pour la déterminer. Cependant, si les variables sont non corrélées ou si le couple (Z_{1_{r:n}}, Z_{2_{s:n}}) est “asymptotiquement indépendant” (voir Srivastava [15]) les calculs précédents s’en trouvent simplifiés.

4 Loi asymptotique du rapport des carrés des étendues interquantiles empiriques

À l’aide du théorème de représentation des quantiles de Bahadur [1], on

montre (Colin et Mellal [3]) que \frac{ξ̂_{p}−ξ̂_{q}}{η̂_{r}−η̂_{s}} est un estimateur asymptotiquement normal sans biais et convergent du rapport des étendues interquantiles théoriques \frac{ξ_{p}−ξ_{q}}{η_{r}−η_{s}}. Autrement dit :

\sqrt{n} (\frac{ξ̂_{p} − ξ̂_{q}}{η̂_{r} − η̂_{s}} − \frac{ξ_{p} − ξ_{q}}{η_{r} − η_{s}} ) ⟶^{L} N (0,σ^{2})

où l’expression de σ^{2} est donnée en annexe.

Ainsi, posant g (\frac{ξ̂_{p}−ξ̂_{q}}{η̂_{r}−η̂_{s}} ) = \begin{matrix}(ξ̂_{p}−ξ̂_{q}) & ^{2} \\ (η̂_{r}−η̂_{s}) & ^{2} \end{matrix} , il vient (voir Serfling [13]) :

\sqrt{n} (g (\frac{ξ̂_{p} − ξ̂_{q}}{η̂_{r} − η̂_{s}} ) − g (\frac{ξ_{p} − ξ_{q}}{η_{r} − η_{s}} )) ⟶^{L} N (0, (g′ (\frac{ξ_{p} − ξ_{q}}{η_{r} − η_{s}} ))^{2} σ^{2})

c’est-à-dire :

\sqrt{n} (\begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{r} − η̂_{s}) & 2 \end{matrix} − \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix} ) ⟶^{L} N (0,4\begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix} σ^{2})

ce qui permet de conclure que R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} est un estimateur asymptotiquement normal, sans biais et convergent de R_{(p,q),(r,s)}^{2}.

Considérons alors le cas p = r et q = s et supposons de plus que les lois marginales de X et de Y soient, en utilisant des notations évidentes, de la forme :

F_{X} (x,μ_{X},σ_{X}) = F_{0} (\frac{x − μ_{X}}{σ_{X}} ) et F_{Y} (y,μ_{Y} ,σ_{Y}) = F_{0} (\frac{y − μ_{Y}}{σ_{Y}} )

Dans ce cas, il vient :

ℙ (X ≤ ξ_{p}) = p = ℙ (\frac{X − μ_{X}}{σ_{X}} ≤ \frac{ξ_{p} − μ_{X}}{σ_{X}} ) = F_{0} (\frac{ξ_{p} − μ_{X}}{σ_{X}} )
ℙ (X ≤ ξ_{q}) = q = ℙ (\frac{X − μ_{X}}{σ_{X}} ≤ \frac{ξ_{q} − μ_{X}}{σ_{X}} ) = F_{0} (\frac{ξ_{q} − μ_{X}}{σ_{X}} )
ℙ (Y ≤ η_{p}) = p = ℙ (\frac{Y − μ_{Y}}{σ_{Y}} ≤ \frac{η_{p} − μ_{Y}}{σ_{Y}} ) = F_{0} (\frac{η_{p} − μ_{Y}}{σ_{Y}} )
ℙ (Y ≤ η_{q}) = q = ℙ (\frac{Y − μ_{Y}}{σ_{Y}} ≤ \frac{η_{q} − μ_{Y}}{σ_{Y}} ) = F_{0} (\frac{η_{q} − μ_{Y}}{σ_{Y}} )

On peut donc déduire des relations précédentes que :

\frac{ξ_{p} − μ_{X}}{σ_{X}} = \frac{η_{p} − μ_{Y}}{σ_{Y}}

et que :

\frac{ξ_{q} − μ_{X}}{σ_{X}} = \frac{η_{q} − μ_{Y}}{σ_{Y}}

Par conséquent il vient :

\begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{p} − η_{q}) & 2 \end{matrix} = \begin{matrix}σ & 2 X \\ σ & 2 Y \end{matrix}

et ce quels que soient p et q (p ≠ q) appartenant à l’intervalle ]0,1[. D’où :

\sqrt{n} (\begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{p} − η̂_{q}) & 2 \end{matrix} − \begin{matrix}σ & 2 X \\ σ & 2 Y \end{matrix} ) ⟶^{L} N (0,4\begin{matrix}σ & 2 X \\ σ & 2 Y \end{matrix} σ^{2})

ce qui montre que

R̂^{2}_{(p,q),(p,q)} = \begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{p} − η̂_{q}) & 2 \end{matrix}

est un estimateur asymptotiquement normal, sans biais et convergent de \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix}.

5 Cas particulier : test et estimation du rapport de deux variances

5.1 Construction du test

Supposons que les variables aléatoires X et Y soient indépendantes et que les lois de X et Y soient de nouveau de la forme : F_{X} (x, μ_{X}, σ_{X}) = F_{0} (\frac{x−μ_{X}}{σ_{X}} ) et

F_{Y} (y, μ_{Y} , σ_{Y}) = F_{0} (\frac{y−μ_{Y}}{σ_{Y}} ) et posons, afin d’obtenir une expression relative-

ment simple de la variance σ^{2}, q = 1−p (avec p > 0,5). La loi exacte du rapport R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} étant en général beaucoup trop complexe pour être utilisée dans la pratique, nous nous situerons dans le cadre où l’approximation normale de cette dernière est valide, c’est-à-dire pour des valeurs de n suffisament grandes ce qui, bien entendu, limite la portée pratique du test proposé ci-dessous mais qui suffit néanmoins dans bon nombre d’applications. Il est alors aisé dans ces conditions de vérifier que R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} suit approximativement, en supposant, par souci de simplification, que les lois de X et Y sont symétriques, une loi normale de moyenne \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} et de variance \frac{4}{n} \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} σ^{2} où σ^{2} est donné par (voir Annexe 2) :

\frac{2 (1 − p) (2p − 1)}{(η_{p} − η_{1−p})^{2}} [\frac{1}{f_{X}^{2} (ξ_{p})} + \begin{matrix}σ & 2 X \\ σ & 2 Y \end{matrix} \frac{1}{f_{Y}^{2} (η_{p})}]  (1)

Considérons alors l’hypothèse nulle H_{0} :

σ_{X}^{2} = k^{2}σ_{Y}^{2}

contre l’hypothèse alternative H_{1} :

σ_{X}^{2} ≠ k^{2}σ_{Y}^{2}

Si l’hypothèse nulle est vraie, alors la statistique R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} suit approximativement une loi normale de moyenne k^{2} et de variance τ^{2} donnée par :

τ^{2} = \frac{8k^{2}}{n} \begin{matrix}(1 − p) & (2p − 1) \\ (η_{p} − η_{1−p}) & 2 \end{matrix} [\frac{1}{f_{X}^{2} (ξ_{p})} + k^{2} \frac{1}{f_{Y}^{2} (η_{p})}]

Désignons par f_{0} la densité associée à F_{0} et par ξ_{p}^{0}, ξ_{1−p}^{0} les quantiles d’ordres p et 1 − p déduits de F_{0}. Il vient :

f_{X}^{2} (ξ_{p}) = \frac{1}{σ_{X}^{2}} f_{0}^{2} (ξ_{p}^{0})
= \frac{1}{k^{2}σ_{Y}^{2}} f_{0}^{2} (ξ_{p}^{0})
f_{Y}^{2} (η_{p}) = \frac{1}{σ_{Y}^{2}} f_{0}^{2} (ξ_{p}^{0})

D’où :

τ^{2} = \frac{16k^{4}}{n} \begin{matrix}(1 − p) & (2p − 1) \\ (η_{p} − η_{1−p}) & 2 \end{matrix} [\frac{σ_{Y}^{2}}{f_{0}^{2} (ξ_{p}^{0})}]

soit, en notant que (\begin{matrix}η & _{p} \\ σ & Y \end{matrix} − \begin{matrix}η & _{1−p} \\ σ & Y \end{matrix} )^{2} = (ξ_{p}^{0} − ξ_{1−p}^{0})^{2} :

τ^{2} = \frac{16k^{4} (1 − p) (2p − 1)}{n (ξ_{p}^{0} − ξ_{1−p}^{0})^{2} f_{0}^{2} (ξ_{p}^{0})}

Etant donné un risque de première espèce α, le test bilatéral construit sur R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} admettra une région d’acceptation de la forme :

k^{2} − z\frac{α}{2} τ ≤ R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} ≤ k^{2} + z\frac{α}{2} τ

où z\frac{α}{2} désigne le quantile d’ordre 1 − \frac{α}{2} de la loi normale centrée réduite. La précédente région d’acceptation peut également s’écrire en posant :

\frac{4\sqrt{(1 − p) (2p − 1) /n}}{(ξ_{p}^{0} − ξ_{1−p}^{0}) f_{0} (ξ_{p}^{0})} = γ (p,n,f_{0})

sous la forme :

k^{2} (1 − z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0})) ≤ R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} ≤ k^{2} (1 + z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0}))

ou encore sous la forme :

|\frac{R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}}{k^{2}} − 1| ≤ z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0})

Dans le cas où, par exemple, f_{0} correspond à la loi normale centrée réduite, on a pour p = 0,75, pour α = 0,05, et pour n = 100 :

z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0}) ⋍ 0,66

ce qui, pour une valeur donnée de k^{2} donne comme région d’acceptation de l’hypothèse H_{0} : \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = k^{2} :

0,34k^{2} ≤ R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} ≤ 1,66k^{2}

En particulier, on acceptera l’hypothèse d’égalité des variances (k^{2} = 1) si :

0,34 ≤ \begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{p} − η̂_{q}) & 2 \end{matrix} ≤ 1,66

Le test usuel d’égalité des variances dans le cas de la normalité, donne pour n = 100 et pour α = 0,05, une région d’acceptation bilatérale de la forme :

0,60 ≤ \frac{s_{x}^{2}}{s_{y}^{2}} ≤ 1,63

Ainsi, malgré le fait que le test construit sur R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} découle d’une approximation normale, les deux intervalles obtenus sont tout à fait comparables.

Si les lois de X et Y ne sont pas symétriques, un calcul élémentaire montre que l’on obtient également un intervalle d’acceptation de la forme :

k^{2} (1 − z\frac{α}{2} γ′ (p,n,f_{0})) ≤ R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} ≤ k^{2} (1 + z\frac{α}{2} γ′ (p,n,f_{0}))

mais où la fonction γ′ (p,n,f_{0}) a une expression plus complexe que celle de la fonction γ (p,n,f_{0}).

Remarque 3 Il est clair que le test construit ci-dessus permet, dans le cas général et moyennant quelques modifications élémentaires, de tester l’hypothèse nulle :

H_{0} : \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{p} − η_{q}) & 2 \end{matrix} = k^{2}

contre l’hypothèse alternative :

H_{1} : \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{p} − η_{q}) & 2 \end{matrix} ≠ k^{2}

On peut alors vérifier sans peine dans ce cas que l’intervalle d’acceptation est donné, pour un risque α de première espèce, par :

k^{2} − z\frac{α}{2} τ´ ≤ R̂^{2}_{(p,q),(p,q)} ≤ k^{2} + z\frac{α}{2} τ´

où τ´ est une fonction de n, k, p et q.

5.2 Intervalle de confiance

Les expressions obtenues ci-dessus permettent d’écrire immédiatement que :

\frac{R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}}{(1 + z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0}))} ≤ k^{2} ≤ \frac{R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}}{(1 − z\frac{α}{2} γ (p,n,f_{0}))}

où que :

\frac{R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}}{(1 + z\frac{α}{2} γ′ (p,n,f_{0}))} ≤ k^{2} ≤ \frac{R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}}{(1 − z\frac{α}{2} γ′ (p,n,f_{0}))}

ce qui donne un intervalle de confiance au seuil 1 − α pour le rapport \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix}.

La même remarque que ci-dessus est valable également en ce qui concerne l’intervalle de confiance, au seuil 1 − α, du rapport :

\begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{p} − η_{q}) & 2 \end{matrix}

6 Simulations

6.1 Distribution empirique du rapport R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)}

Les simulations présentées ci-dessous, illustrent, dans le cas de trois types de lois bidimensionnelles, la normalité asymptotique du rapport R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} avec p = 0,75 (Figures 1, 2 et 3). Les simulations ont été réalisées à l’aide du logiciel S-Plus. On notera à ce sujet que la présence, dans certains graphiques, de valeurs négatives pour le rapport R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} est due au logiciel utilisé qui, à des fins de présentation, complète les extrêmités des distributions empiriques. Enfin, pour chaque type de loi et pour chaque taille n d’échantillon, on donne les valeurs empiriques m et s^{2} de la moyenne et de la variance du rapport R̂^{2}_{(p,1−p),(p,1−p)} ainsi, qu’entre parenthèses, la valeur de n et les valeurs

théoriques μ = \begin{matrix}(ξ_{p}−ξ_{q}) & ^{2} \\ (η_{p}−η_{q}) & ^{2} \end{matrix} et σ_{n}^{2} = \frac{4}{n} \begin{matrix}(ξ_{p}−ξ_{q}) & ^{2} \\ (η_{p}−η_{q}) & ^{2} \end{matrix} σ^{2} correspondantes.

6.1.1 Loi normale

On considère 500 échantillons, de tailles respectives n = 50, 100 et 1000, déduits de la loi normale N (ν,Σ) donnée par :

ν = ^{t} (0,0) et Σ = [ \begin{matrix}0,5 & 0,7 \\ 0,7 & 2 \end{matrix} ]

On a donc ici μ = \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 0,25

Les distributions empiriques du rapport R̂^{2}_{(0,75, 0,25),(0,75, 0,25)} sont illustrées aux figures 1, 2 et 3 qui suivent :

Fig. 1 – m = 0,2692 ; s^{2} = 0,0121 (n = 50, μ = 0,25, σ_{50}^{2} = 0,0102)

Fig. 2 – m = 0,2603 ; s^{2} = 0,0052 (n = 100, μ = 0,25, σ_{100}^{2} = 0,00512)

Fig. 3 – m = 0,2502 ; s^{2} = 0,00054 (n = 1000, μ = 0,25, σ_{1000}^{2} = 0,00051)

Puisque l’on se trouve dans le cas où R_{(p,q),(p,q)}^{2} = \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix}, on présente à titre indicatif, à l’aide des figures 4, 5 et 6 ci-dessous, les distributions empiriques du rapport \frac{σ̂_{X}^{2}}{σ̂_{Y}^{2}} , où m et s^{2} désignent respectivement les valeurs empiriques de la moyenne et de la variance de celui-ci.

Fig. 4 – m = 0,2553 ; s^{2} = 0,0031 ; n = 50 ; \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 0,25

Fig. 5 – m = 0,2512 ; s^{2} = 0,0013 ; n = 100 ; \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 0,25

Fig. 6 – m = 0,2497 ; s^{2} = 0,0001 ; n = 1000 ; \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 0,25

6.1.2 Loi exponentielle

On considére 500 échantillons, de tailles respectives n = 50 et 100, déduits de la loi de Gumbel Gm (α) de paramètre α = 0,5 dont la fonction de répartition F_{X,Y} (x,y) a pour expression :

F_{X,Y} (x,y) = 1 − e^{−x} − e^{−y} + e^{−x−y−0,5xy} où x > 0 et y > 0

On a donc ici μ = 1 puisque les variables X et Y ont même loi. Les distributions empiriques du rapport R̂^{2}_{(0,75, 0,25),(0,75, 0,25)} sont illustrées aux figures 7 et 8 ci-dessous :

Fig. 7 – m = 1,1709 ; s^{2} = 0,7206 (n = 50, μ = 1, σ_{50}^{2} = 0,4959)

Fig. 8 – m = 1,1525 ; s^{2} = 0,3169 (n = 100, μ = 1, σ_{100}^{2} = 0,2479)

A titre de comparaison, les figures 9 et 10 suivantes illustrent la distribution empirique du rapport \frac{σ̂_{X}^{2}}{σ̂_{Y}^{2}} , où m et s^{2} désignent respectivement les valeurs empiriques de la moyenne et de la variance de celui-ci.

Fig. 9 – m = 1,1535 ; s^{2} = 0,5670 ; n = 50 ; \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 1

Fig. 10 – m = 1,1349 ; s^{2} = 0,1612 ; n = 100 ; \begin{matrix}σ & {2 \atop X} \\ σ & ^{2}_{Y} \end{matrix} = 1

6.1.3 Loi de Cauchy

On considère enfin 200 échantillons de tailles respectives 20, 30, 50, 100 et 1000, tirés de la loi de Cauchy bidimensionnelle dont la densité de probabilité est donnée par :

f (x,y) = \frac{1}{2π (1 + x^{2} + y^{2})^{3/2}}

On sait alors dans ce cas (voir par exemple Devroye[5]) que les lois marginales sont des lois de Cauchy et que les lois conditionnelles d’une des variables étant donnée l’autre sont des lois de Student à 2 degrés de liberté ce qui permet de réaliser aisément les simulations voulues. On notera que l’on a encore ici μ = 1 alors que le rapport des variances n’existe pas, puisque les lois marginales sont des lois de Cauchy.

Les distributions empiriques du rapport R̂^{2}_{(0,75, 0,25),(0,75, 0,25)} sont illustrées aux figures 11 à 15 ci-dessous :

Fig. 11 – m = 1,8972 ; s^{2} = 7,3409 (n = 20, μ = 1, σ_{20}^{2} = 0,6581)

Fig. 13 – m = 1,2736 ; s^{2} = 0,7772 (n = 50, μ = 1, σ_{50}^{2} = 0,2632)

Fig. 14 – m = 1,0860 ; s^{2} = 0,2683 (n = 100, μ = 1, σ_{100}^{2} = 0,1316)

Les résultats des précédentes simulations, appellent les quelques commentaires qui suivent.

7 Conclusions

Afin d’étendre la notion d’efficacité relative ou de risque relatif , tant en ce qui concerne les procédures statistiques, que les applications que l’on rencontre en particulier dans les domaines de la finance, de l’économie ou des assurances, nous proposons, dans le cas où les variances des lois considérées n’existent pas (où encore dans le cas où ces dernières sont particulièrement difficiles à déterminer) de considérer le rapport

R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} = \begin{matrix}(ξ̂_{p} − ξ̂_{q}) & 2 \\ (η̂_{r} − η̂_{s}) & 2 \end{matrix} où p > q ; r > s

des carrés des étendues interquantiles empiriques des composantes d’une loi bidimensionnelle. Nous avons alors montré, en raison du comportement asymptotiquement normal de ce rapport, que ce dernier constitue un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent du rapport théorique

R_{(p,q),(r,s)}^{2} = \begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 2 \end{matrix}

ce que confirment les simulations faites dans le cas de trois lois différentes. En particulier, dans le cas de la loi de Cauchy bidimensionnelle, il semble que cet estimateur se comporte très bien dès que la taille n de l’échantillon est suffisamment grande (n ≥ 100). De plus, même dans le cas où les lois admettent des variances finies, le rapport R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} se compare fort bien au rapport

usuel \frac{σ̂_{X}^{2}}{σ̂_{Y}^{2}} même si, comparativement à celui-ci, il demeure moins précis, in-

convénient d’ailleurs qui s’atténue lorsque la taille de l’échantillon devient de plus en plus grande. Enfin le rapport R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} est particulièrement facile à calculer, puisque il nécessite seulement, afin de déterminer les quantiles empiriques, d’ordonner les observations pour chacune des composantes de l’échantillon, ce que l’on peut très facilement réaliser à l’aide d’un programme élémentaire.

Ce rapport présente donc, en tant qu’indice d’efficacité ou de risque relatif, une alternative intéressante au rapport des variances dans un contexte où au moins l’une de ces dernières n’existe pas. Il est clair par ailleurs que ce rapport, contrairement au rapport des variances, est soustrait à l’influence des valeurs extrêmes et nous nous proposons, à ce sujet, d’aborder dans un proche avenir tout ce qui concerne l’aspect de la robustesse de cet estimateur.

Annexe

1) Loi du rapport \begin{matrix}(X_{(u)}−X_{(t)}) & ^{2} \\ (Y_{(w)}−Y_{(v)}) & ^{2} \end{matrix}

Nous nous contenterons de donner ici l’expression générale de la densité

de probabilité de la variable aléatoire \begin{matrix}(X_{(u)}−X_{(t)}) & ^{2} \\ (Y_{(w)}−Y_{(v)}) & ^{2} \end{matrix} (cette dernière étant, dans le

cadre retenu, définie presque sûrement). Considérons le changement de variables suivant :

S_{1} = X_{(t)} , S_{2} = X_{(u)} − X_{(t)} , S_{3} = Y_{(v)} , S_{4} = Y_{(w)} − Y_{(v)}

La valeur absolue du Jacobien de la transformation étant égale à 1, il s’ensuit que la densité de probabilité f_{S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}) du vecteur aléatoire

t (S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4})

a pour expression :

f_{S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}) = f_{(t,u),(v,w)} (s_{1}, s_{1} + s_{2}, s_{3}, s_{3} + s_{4})
×𝕀{_{ℝ×ℝ}_{+}_{×ℝ×ℝ}_{+}} (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4})

où l’expression f_{(t,u),(v,w)}, telle qu’introduite dans [2], désigne la densité de probabilité du vecteur aléatoire (ξ_{t},ξ_{u},η_{v},η_{w}) En conséquence, la densité de probabilité f_{S_{2},S_{4}} (s_{2},s_{4}) du couple

(X_{(u)} − X_{(t)},Y_{(w)} − Y_{(v)})

est donnée par :

f_{S_{2},S_{4}} (s_{2},s_{4}) = ∫_{ℝ} ∫_{ℝ} f_{(t,u),(v,w)} (s_{1}, s_{1} + s_{2}, s_{3}, s_{3} + s_{4}) ds_{1}ds_{3}×𝕀_{{ℝ^{+}×ℝ^{+}}} (s_{2},s_{4})

On en déduit alors aisément la densité de probabilité f_{R} (r) du rapport R =

\frac{(X_{(u)}−X_{(t)})}{(Y_{(w)}−Y_{(v)})} en effectuant le changement de variables :

S = X_{(u)} − X_{(t)} , R = \frac{(X_{(u)} − X_{(t)})}{(Y_{(w)} − Y_{(v)})}

On obtient alors, en notant que la valeur absolue du Jacobien est donnée par \frac{S}{R^{2}} :

f_{R} (r) = [∫_{ℝ^{+}} f_{S_{2},S_{4}} (s,\frac{s}{r}) \frac{s}{r^{2}} ds] 𝕀_{\{ℝ^{+}\(0)\}} (r)

ce qui entraîne que la loi f_{Z} (z) de Z = R^{2} est donnée par :

f_{Z} (z) = [∫_{ℝ^{+}} f_{S_{2},S_{4}} (s,\frac{s}{\sqrt{z}} ) \frac{s}{z} ds] \frac{1}{2\sqrt{z}} 𝕀_{\{ℝ^{+}\(0)\}} (z)

2) Loi du rapport R̂^{2}_{(p,q),(r,s)}

Soit ^{t} (X_{i},Y_{i}) i = 1,2,...,n un échantillon de taille n issu du modèle empirique (ℝ^{2}, B_{ℝ^{2}}, {ℙ_{θ}} , μ)^{⨂ n}. Les quantiles empiriques ξ̂_{p}, ξ̂_{q}, η̂_{r} et η̂_{s} étant données respectivement par X_{u:n}, X_{t:n}, Y_{w:n} et Y_{v:n}, il s’ensuit que la loi de (ξ̂_{p}, ξ̂_{q}, η̂_{r}, η̂_{s}) se déduit aisément des résultats précédents et qu’il en est de

même pour la loi du rapport R̂^{2}_{(p,q),(r,s)} = \begin{matrix}(ξ̂_{p}−ξ̂_{q}) & ^{2} \\ (η̂_{r}−η̂_{s}) & ^{2} \end{matrix} .

3) Expression de la variance de la loi asymptotique du rapport des étendues interquantiles empiriques

On montre dans [3] que :

\frac{ξ̂_{p} − ξ̂_{q}}{η̂_{r} − η̂_{s}} ⇝ AN (h (p,q,r,s) , \frac{1}{n} ^{t}Gradh|_{μ} Σ Gradh|_{μ})

où h (p,q,r,s) , μ, Σ et Gradh|_{μ} sont donnés respectivement par :

h (p,q,r,s) = \frac{F_{X}^{−1} (p) − F_{X}^{−1} (q)}{F_{Y}^{−1} (r) − F_{Y}^{−1} (s)} = \frac{ξ_{p} − ξ_{q}}{η_{r} − η_{s}} ; ^{t}μ = ^{t} (p,q,r,s)

Σ = [ \begin{matrix}p(1 − p) & q(1 − p)) & F_{Z_{1},Z_{2}} (p,r) − pr & F_{Z_{1},Z_{2}} (p,s) − ps \\ q(1 − p) & q(1 − q) & F_{Z_{1},Z_{2}} (q,r) − qr & F_{Z_{1},Z_{2}} (q,s) − qs \\ F_{Z_{1},Z_{2}} (p,r) − pr & F_{Z_{1},Z_{2}} (q,r) − qr & r(1 − r) & s(1 − r) \\ F_{Z_{1},Z_{2}} (p,s) − ps & F_{Z_{1},Z_{2}} (q,s) − qs & s(1 − r) & s(1 − s) \end{matrix} ];

tGradh|_{μ} = ^{t} ( \frac{1}{f_{X}(ξ_{p})(η_{r}−η_{s})},\frac{−1}{f_{X}(ξ_{q})(η_{r}−η_{s})},\frac{−(ξ_{p}−ξ_{q})}{f_{Y} (η_{r})(η_{r}−η_{s})^{2}} ,\frac{(ξ_{p}−ξ_{q})}{f_{Y} (η_{s})(η_{r}−η_{s})^{2}} ) avec F_{Z_{1},Z_{2}} (z_{1},z_{2}) = F_{X,Y} (F_{X}^{−1} (z_{1}) ,F_{Y}^{−1} (z_{2}))

On en déduit alors que :

\sqrt{n} (\frac{ξ̂_{p} − ξ̂_{q}}{η̂_{r} − η̂_{s}} − \frac{ξ_{p} − ξ_{q}}{η_{r} − η_{s}} ) ⟶^{L} N (0,σ^{2})

où σ^{2}= ^{t}Gradh|_{μ} Σ Gradh|_{μ} a pour expression :

\frac{1}{(η_{r} − η_{s})^{2}} (\frac{p(1 − p)}{f_{X}^{2} (ξ_{p})} + \frac{q(1 − q)}{f_{X}^{2} (ξ_{q})} − \frac{2q(1 − p)}{f_{X} (ξ_{p}) f_{X} (ξ_{q})})

+\frac{2 (ξ_{p} − ξ_{q})}{(η_{r} − η_{s})^{3}} ( \begin{matrix}\frac{(F_{X,Y} (ξ_{p},η_{s}) − ps)}{f_{X} (ξ_{p}) f_{Y} (η_{s})} + \frac{(F_{X,Y} (ξ_{q},η_{r}) − qr)}{f_{X} (ξ_{q}) f_{Y} (η_{r})} \\ −\frac{(F_{X,Y} (ξ_{p},η_{r}) − pr)}{f_{X} (ξ_{p}) f_{Y} (η_{r})} − \frac{(F_{X,Y} (ξ_{q},η_{s}) − qs)}{f_{X} (ξ_{q}) f_{Y} (η_{s})} \end{matrix} )

+\begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 4 \end{matrix} (\frac{r(1 − r)}{f_{Y}^{2} (η_{r})} + \frac{s(1 − s)}{f_{Y}^{2} (η_{s})} − \frac{2s (1 − r)}{f_{Y} (η_{r}) f_{Y} (η_{s})})

Dans le cas où les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, tous les termes faisant intervenir la fonction de répartition conjointe s’annulent et l’expression de σ^{2} devient :

\begin{matrix}\frac{1}{(η_{r} − η_{s})^{2}} & (\frac{p(1 − p)}{f_{X}^{2} (ξ_{p})} + \frac{q(1 − q)}{f_{X}^{2} (ξ_{q})} − \frac{2q(1 − p)}{f_{X} (ξ_{p}) f_{X} (ξ_{q})}) \\ +\begin{matrix}(ξ_{p} − ξ_{q}) & 2 \\ (η_{r} − η_{s}) & 4 \end{matrix} (\frac{r(1 − r)}{f_{Y}^{2} (η_{r})} + \frac{s(1 − s)}{f_{Y}^{2} (η_{s})} − \frac{2s (1 − r)}{f_{Y} (η_{r}) f_{Y} (η_{s})}) \end{matrix}

Si de plus l’on pose r = p et s = q = 1 − p (avec p > 0,5) et si de surcroît les lois de X et de Y sont symétriques, il est aisé de vérifier que l’expression précédente se réduit à :

\frac{2 (1 − p) (2p − 1)}{(η_{p} − η_{1−p})^{2}} [\frac{1}{f_{X}^{2} (ξ_{p})} + R_{(p,1−p),(p,1−p)}^{2} \frac{1}{f_{Y}^{2} (η_{p})}]

Références

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