Algèbres amassées quantiques de type 𝔸

Jean-Philippe Burelle^{∗}

23 mai 2011

Introduction

Les algèbres amassées sont des algèbres commutatives définies de manière combinatoire par Fomin et Zelevinsky [FZ02] dans le but de d’étudier concrètement les bases canoniques et la positivité totale dans les groupes quantiques. Plus précisément, les algèbres amassées donnent un modèle combinatoire pour les limites classiques de ces groupes quantiques quand le paramètre de déformation q est égal à 1. Pour étudier directement les groupes quantiques, Berenstein et Zelevinsky ont défini les algèbres amassées quantiques, un analogue q -commutatif des algèbres amassées [BZ04].

Une algèbre amassée est une algèbre commutative munie d’un ensemble distingué de générateurs appelés variables d’amas. Ces générateurs, qui sont généralement en nombre infini, sont définis récursivement à l’aide d’un procédé combinatoire appelé mutation. Bien que ne faisant appel qu’à des notions élémentaires, la nature récursive de la définition d’une algèbre amassée implique qu’il n’est pas toujours évident de se faire une idée précise de l’algèbre en question. Comme les algèbres amassées ont été inventées dans le but donner un cadre explicite à l’étude de théories plus abstraites, on souhaite obtenir des formules combinatoires closes, au moins pour des classes spécifiques d’algèbres amassées.

Parmi les cas les plus simples, on retrouve les algèbres amassées de type fini, c’est à dire celles n’ayant qu’un nombre fini de variables d’amas. La classification des algèbres amassées de type fini est la même dans le cas classique que dans le cas quantique, à savoir qu’elle se fait à l’aide des diagrammes de Dynkin. La plus simple classe de diagrammes de Dynkin est celle des diagrammes de type 𝔸 qui sera étudiée dans cet article. Il existe déjà plusieurs formules explicites pour calculer les variables amassées des algèbres de type 𝔸 dans le cas classique et notre but dans ce rapport est de trouver des analogues quantiques de ces formules.

Plus précisément, dans ce rapport, un analogue quantique de la frise de variables définie dans [ARS10] (voir aussi [AD11] pour une définition formelle) est introduit et une bijection entre l’image d’une frise et l’ensemble des variables amassées quantiques est démontrée.

∗Ce rapport a été rendu possible grâce à la contribution financière de l’ISM ainsi que du FQRNT par l’entremise de Virginie Charette, professeure au département de mathématiques de l’université de Sherbrooke.

Ensuite, une formule explicite pour calculer les variables amassées quantiques, cas particulier d’une formule dans [Qin10] est démontrée. Les méthodes pour cette démonstration sont purement combinatoires, tandis que la formule originale, bien plus générale, repose sur les liens existant entre variables amassées et représentations de carquois.

Finalement, on s’intéresse aux bornes inférieures (au sens de [BZ04]) dans le cas d’algèbres amassées quantiques de type 𝔸. On montre en particulier que la borne inférieure est égale à l’algèbre amassée dans ce cas ci. Ce résultat permet de trouver une autre formule close permettant de calculer les variables amassées quantiques, analogue aux polynômes de Tchebychev dans [Dup10a].

Nous avons également exploré la possibilité d’exprimer ces polynômes en utilisant des déterminants étant donné que cette possibilité existe dans le cas classique, mais sans succès. Néanmoins, la formule pour le calcul récursif de ces polynômes est relativement simple et son calcul reste aisé. L’investigation d’analogues quantiques a été poursuivie par la recherche d’un équivalent quantique des formules matricielles du type étudié dans [ARS10], mais l’existence d’un tel analogue reste un problème ouvert.

1 Définition d’une algèbre amassée quantique

Nous allons définir les concepts nécessaires à l’étude des algèbres amassées quantiques. Ces définitions sont tirées de [BZ04]. Tout au long du document, n ∈ ℕ est un entier fixé strictement positif. De plus, on considère ν une indéterminée de ℤ et on pose q = ν^{2}, avec la notation q^{1/2} = ν.

Définition 1. Soit Λ ∈ M_{n}(ℤ) antisymétrique. Par abus de notation, on notera également Λ(·, ·) la forme bilinéaire sur ℤ^{n} dont la matrice dans la base canonique est Λ. Le tore quantique de base T (Λ) est la ℤ[q^{±1/2}]-algèbre engendrée par la famille {X^{v}, v ∈ ℤ^{n}} et munie des relations

X^{u}X^{v} = q^{Λ(u,v)/2}X^{u+v}

pour tous u, v ∈ ℤ^{n}.

Une algèbre amassée quantique sera définie comme une sous-ℤ[q^{±1/2}]-algèbre de F (Λ), le corps de fractions de T (Λ). Tel qu’expliqué dans [BZ04], l’existence de ce corps de fractions est garantie par la propriété de l’algèbre T (Λ) d’être un domaine de Ore.

Exemple 1. Voici un exemple d’élément d’un tore quantique de base :

4q^{−3/2}X^{(2,−3)} − 2q^{5/2}X^{(0,1)} ∈ T ([\begin{matrix}0 & −2 \\ 2 & 0 \end{matrix}]) .

Notation 1. Le i-ème vecteur de la base canonique de ℤ^{n} est noté e_{i}.

Notation 2. On note X_{i} := X^{e_{i}}.

Proposition 1. T (Λ) vérifie les propriétés suivantes pour tous u, v ∈ ℤ^{n} et a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ ℤ.

1. X^{u}X^{v} = q^{Λ(u,v)}X^{v}X^{u} (quasi-commutativité).

2. X^{0} = 1.

3. X^{−v} = (X^{v})^{−1}.

4. X^{∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}} = q^{− ∑_{i<j} a_{i}a_{j}Λ_{i,j}/2}X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}} ⋯ X_{n}^{a_{n}}.

Démonstration. 1. X^{u}X^{v} = q^{Λ(u,v)/2}X^{u+v} = q^{Λ(u,v)}X^{v}X^{u}.

2. X^{0}X^{v} = X^{v}X^{0} = q^{Λ(0,v)/2}X^{0+v} = X^{v}.

3. X^{v}X^{−v} = q^{−Λ(v,v)/2}X^{0} = X^{0} = 1.

4. Par récurrence,

X^{∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}} = q^{−Λ(∑_{i=1}^{n−1}(a_{i}e_{i}),a_{n}e_{n})/2}X^{∑_{i=1}^{n−1} a_{i}e_{i}}X_{n}^{a_{n}}
= q^{− ∑_{i=1}^{n−1} a_{i}a_{n}Λ_{i,n}/2}X^{∑_{i=1}^{n−1} a_{i}e_{i}}X_{n}^{a_{n}}
= q^{− ∑_{i<j} a_{i}a_{j}Λ_{i,j}/2}X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}} ⋯ X_{n}^{a_{n}}.

La propriété 4 est celle qui motive la notation X^{e_{i}} := X_{i}, puisqu’on peut toujours décomposer un monôme de T (Λ) en un produit de X_{i}.

Définition 2. Une matrice B est dite antisymétrisable s’il existe une matrice diagonale D à coefficients dans ℤ_{>0} telle que DB est antisymétrique.

Définition 3. Une graine quantique est un triplet G = (B, Λ, X) où B, Λ ∈ M_{n}(ℤ) et qui vérifie les propriétés suivantes :

• B est antisymétrisable

• Λ est antisymétrique

• B^{t}Λ est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont strictement positifs. On dit alors que B et Λ forment une paire compatible

• X = (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) est une famille de variables algébriquement indépendantes sur ℤ[q^{±1/2}] qui engendre F (Λ). On dit que X est l’amas associé à la graine G et que les X_{i} sont des variables amassées.

Remarque 1. On remarque que la condition de paire compatible implique que la matrice B doit être inversible. On ne pourra donc pas quantifier sans changer sa matrice B une algèbre amassée classique dont la matrice B est non-inversible.

Définition 4. Soit 1 ≤ k ≤ n un entier. La mutation d’une graine quantique G = (B, Λ_{,}X) dans la direction k est donnée par

μ_{k}(G) = (B′, Λ′, X′),

où

B′_{i,j} = \begin{cases}−B_{i,j} & si i = k ou j = k \\ B_{i,j} + \frac{|B_{i,k}|B_{k,j}+B_{i,k}|B_{k,j}|}{2} & sinon, \end{cases}

Λ′_{i,j} = \begin{cases}Λ_{i,j} & si i ≠ k et j ≠ k \\ −Λ_{i,j} + ∑_{B_{i,k}>0} B_{i,k}Λ_{i,j} & si i = k ≠ j \\ −Λ_{i,j} − ∑_{B_{i,k}>0} B_{i,k}Λ_{i,j} & si i ≠ k = j \\ 0 & si i = j \end{cases}

et

X′ = (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{k−1}, X′_{k}, X_{k+1}, ⋯, X_{n}),

avec

X′_{k} = X^{−e_{k}+∑_{B_{i,k}>0} B_{i,k}e_{i}} + X^{−e_{k}−∑_{B_{i,k}<0} B_{i,k}e_{i}}.

On peut réécrire les mutations de B et Λ de manière plus succincte en utilisant les multiplications de matrices suivantes :

B′ = EBF
Λ′ = E^{t}ΛE

où

E_{i,j} = \begin{cases}δ_{i,j} & si j ≠ k \\ −1 & si i = j = k \\ max(0, B_{i,j}) & si i ≠ j = k \end{cases}

et

F_{i,j} = \begin{cases}δ_{i,j} & si i ≠ k \\ −1 & si i = j = k \\ max(0, −B_{i,j}) & si i = k ≠ j. \end{cases}

Cette définition est consistante avec toutes les propriétés d’une graine quantique, c’est à dire que la mutation dans la direction k donne à nouveau une graine quantique. La proposition 1 montre que la matrice Λ encode les relations de quasi-commutativité entre les variables de l’amas X de G. De la même manière, la nouvelle matrice Λ′ décrit les relations de quasi-commutativité entre les variables de l’amas X′ de μ_{k}(G). On peut également montrer que la mutation est involutive, c’est à dire que μ_{k}(μ_{k}(G)) = G.

On peut maintenant définir la structure étudiée dans cet article :

Définition 5. Soit G = (B, Λ, X) une graine quantique. L’algèbre amassée quantique A(G) est la ℤ[q^{±1/2}]-sous-algèbre de F (Λ) engendrée par l’union de tous les amas Y de toutes les graines obtenues par des suites de mutations à partir de G.

Exemple 2. En prenant

G = (B, Λ, X) = ([\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] , \{X_{1}, X_{2}\}) ,

on a

μ_{1}(G) = (B′, Λ′, X′) = ([\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , \{X′_{1}, X_{2}\})

où

X′_{1} = X^{−e_{1}} + X^{−e_{1}+e_{2}} = X_{1}^{−1}(1 + q^{1/2}X_{2})

et

μ_{2}(μ_{1}((G)) = (B′′, Λ′′, X′′) = ([\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] , \{X′_{1}, X′_{2}\})

avec

X′_{2} = X^{′−e_{2}}+X^{′−e_{2}+e_{1}} = (X_{1}X_{2})^{−1}(X_{1}+q^{1/2}+qX_{2}) = X^{−e_{1}}+X^{−e_{1}−e_{2}}+X^{−e_{1}}.

2 Le type 𝔸

Dans cette section et dans le reste du présent document, on se restreint au cas où la matrice B est la matrice associée à un carquois de type 𝔸 linéairement orienté (fig. 1).

Pour associer une matrice antisymétrique à un carquois, on pose simplement

B_{i,j} = {nombre signé de flèches qui vont du sommet i vers le sommet j.}

Ici, nombre signé de flèches signifie que si on a des flèches en sens inverse on obtiendra un nombre négatif de flèches

La matrice obtenue dans le cas 𝔸 linéairement orienté est explicitée ci-dessous (1). On s’intéresse à cet exemple car il s’agit d’un des types d’algèbres amassées quantiques pour lesquels il existe seulement un nombre fini de variables amassées. Les calculs sont également simples pour ce cas particulier, en effet il existe plusieurs formules explicites au sujet des algèbres amassées classiques de type 𝔸. On essayera donc de généraliser certaines de ces formules ([CC06],[Dup10a]). Pour simplifier les calculs davantage, on se restreint au cas où le carquois est linéairement orienté.

𝔸_{n} =•^{1}→•^{2}→ ⋯ →•^{n}

Figure 1 – Le carquois 𝔸_{n} orienté linéairement.

Si une matrice B antisymétrique appartient à une graine quantique (B, Λ, X), alors elle doit être d’ordre pair. La raison est que, si B est antisymétrique et d’ordre impair, alors

det(B) = det(B^{t}) = det(−B) = (−1)^{n}det(B) = −det(B).

Le déterminant de B est donc nul, ce qui signifie que la matrice est noninversible, et donc qu’on ne peut pas trouver de matrice Λ satisfaisant la condition de compatibilité, tel qu’indiqué dans la remarque 1. Dans le cas où la matrice B est associée à un carquois de type 𝔸_{n} avec n pair, elle est inversible. On supposera donc n pair tout au long de l’étude de ce cas particulier. Pour

B = [\begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 & 0 \end{matrix}] ∈ M_{n}(ℤ),  (1)

on choisira

Λ_{i,j} = (B^{t})_{i,j}^{−1} = \{ \begin{matrix}−1 & si i pair, j impair et i > j \\ 1 & si i impair, j pair et i < j \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Il s’agit en fait du seul choix possible à une constante multiplicative près :

Proposition 2. Une matrice Λ est compatible avec B si et seulement si

Λ = λ(B^{t})^{−1}, λ ∈ ℝ_{>0}.

Démonstration. On a

(B^{t}Λ) = D.

Donc,

Λ = (B^{t})^{−1}D.

Comme on veut Λ antisymétrique, on doit avoir D(B^{t})^{−1} antisymétrique, ce qui signifie que D_{i,i}B_{j,i}^{−1} = −D_{j,j}B_{i,j}^{−1}. Mais B est antisymétrique, donc D_{i,i}B_{j,i}^{−1} = D_{j,j}B_{j,i}^{−1} pour tout i, j. Comme on connait les entrées de la matrice (B^{t})^{−1}, on connait que les valeurs de i, j pour lesquelles B_{j,i}^{−1} est non-nul. Ainsi, on obtient

D_{i,i} = D_{j,j} si i < j, i impair et j pair.
D_{i,i} = D_{j,j} si i > j, i pair et j impair.

En prenant i = 1, la première égalité nous dit que D_{j,j} = D_{1,1} pour toute valeur de j paire, et en particulier n est pair. De plus, la deuxième égalité nous donne que D_{n,n} = D_{j,j} pour toute valeur de j impaire. Ainsi, D_{j,j} = D_{1,1}, 2 ≤ j ≤ n, et donc Λ = D_{1,1}(B^{t})^{−1}.

2.1 Frise quantique

Définition 6. Soit T_{0} un ensemble dont on appellera les éléments sommets et T_{1} un ensemble de couples de T_{0} dont on appellera les éléments flèches. Le triangle 𝕋_{n} = (T_{0}, T_{1}) est le carquois défini de la manière suivante : l’ensemble des sommets est

T_{0} = {(i, j), 1 ≤ i ≤ j ≤ n}.

En notant (a, b) := a → b, les flèches qui relient les sommets sont

(i, j) → (i, j + 1) 1 ≤ i ≤ j ≤ (n − 1)
(i, j) → (i + 1, j) 1 ≤ i < j ≤ n.

Exemple 3. 𝕋_{4} =

(1, 4)

(1, 3)  (2, 4)

(1, 2)  (2, 3)  (3, 4)

(1, 1)  (2, 2)  (3, 3)  (4, 4)

Définition 7. Le triangle augmenté \overline{𝕋}_{n} est le carquois obtenu en ajoutant les sommets {(0, i), 0 ≤ i ≤ n − 1} au carquois 𝕋_{n} ainsi que les flèches

(0, i) → (0, i + 1) 0 ≤ i ≤ n − 1
(0, i) → (1, i) 1 ≤ i ≤ n.

Exemple 4. \overline{𝕋}_{4} =

(0, 3)  (1, 4)

(0, 2)  (1, 3)  (2, 4)

(0, 1)  (1, 2)  (2, 3)  (3, 4)

(0, 0)  (1, 1)  (2, 2)  (3, 3)  (4, 4)

Définition 8. Une frise de variables quantiques sur un triangle augmenté \overline{𝕋}_{n} = (T_{0}, T_{1}) est une application

f : T_{0} → F (Λ)

qui respecte la relation de frise quantique :

f(i, j)f(i + 1, j + 1) = q^{1/2}f(i + 1, j)f(i, j + 1) + 1

pour 1 ≤ i ≤ n et (i − 1) ≤ j ≤ n. On utilise la convention suivante :

f(i, i − 1) = 1.

Lemme 1. Une frise de variables quantiques est uniquement déterminée par ses valeurs sur la première tranche, c’est à dire l’ensemble

{f(0, j), 0 ≤ j ≤ (n − 1)}.

Démonstration. Supposons qu’on connait les valeurs f(k, j) pour un certain k et pour tout k ≤ j ≤ n. La relation de frise quantique nous dit que

f(k, k)f(k + 1, k + 1) = q^{1/2}f(k + 1, k)f(k, k + 1) + 1.

Donc,

f(k + 1, k + 1) = f(k, k)^{−1} (q^{1/2}f(k, k + 1) + 1) .

De plus, si on connait f(k + 1, j) on peut trouver f(k + 1, j + 1) de la manière suivante :

f(k + 1, j + 1) = f(k, j)^{−1} (q^{1/2}f(k + 1, j)f(k, j + 1) + 1) .

Les valeurs de f(k + 1, j) sont donc uniquement déterminées. Par récurrence on voit que les valeurs de f(i, j) sont uniquement déterminées par les f(0, j).

Lemme 2. Une frise de variables quantiques est uniquement déterminée par ses valeurs sur la ligne du bas, c’est à dire l’ensemble

{f(i, i), 0 ≤ i ≤ n}.

Proposition 3. Soit f une frise de variables quantiques telle que f(0, j) = X_{j+1} pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1. Alors, f(i, j) est une variable amassée quantique pour tout 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Démonstration. On effectue la suite de mutations suivante : μ_{n} ∘ μ_{n−1} ∘ ⋯ ∘ μ_{1}. Posons G^{1} = (B, Λ, X) et G^{k+1} = (B^{k+1}, Λ^{k+1}, X^{k+1}) = μ_{k}(G^{k}) pour 1 ≤ k ≤ n et soient X′_{1}, ⋯, X′_{k−1} de sorte que X^{k} = (X′_{1}, X′_{2}, ⋯, X′_{k−1}, X_{k}, ⋯, X_{n}). On remarque que la k-ème colonne de B^{k} contient toujours uniquement des nombres négatifs, et que la mutation en k de B^{k} revient simplement à changer de signe toutes les entrées de la matrice B dans la ligne et la colonne k. Il en est de même pour la matrice Λ.

En effectuant la suite de mutations ci-dessus, on obtient les variables suivantes :

X′_{1} = X^{−e_{1}} + X^{−e_{1}+e_{2}}
= X_{1}^{−1} + q^{1/2Λ_{1,2}}X_{1}^{−1}X_{2}
= X_{1}^{−1} + q^{1/2}X_{1}^{−1}X_{2},

donc

X_{1}X′_{1} = q^{1/2}X_{2} + 1,

c’est-à-dire

f(0, 0)X′_{1} = q^{1/2}f(0, 1) + 1

et donc

X′_{1} = f(1, 1).

Ensuite,

X′_{i} = X^{−e_{i}} + X^{−e_{i}+e_{i−1}+e_{i+1}}
= X_{i}^{−1} + q^{(Λ_{k,k−1}^{k}+Λ_{k,k+1}^{k}−Λ_{k−1,k+1}^{k})/2}X_{i}^{−1}X_{i−1}X_{i+1}.

On sait que Λ^{k} est égale à Λ à quelques changements de signe près. Ainsi, Λ_{k−1,k+1}^{k} = 0 par définition de Λ. De plus, comme on n’a pas encore fait de mutation dans la direction k ou k + 1, Λ_{k,k+1}^{k} = Λ_{k,k+1}. Comme on a fait une unique mutation dans la direction k − 1, Λ_{k,k−1}^{k} = −Λ_{k,k−1}. Donc,

X′_{i} = X_{i}^{−1} + q^{(−Λ_{k,k−1}+Λ_{k,k+1}^{k})/2}X_{i}^{−1}X_{i−1}X_{i+1}
= X_{i}^{−1} + q^{1/2}X_{i}^{−1}X_{i−1}X_{i+1},

et ainsi

X_{i}X′_{i} = q^{1/2}X′_{i−1}X_{i+1} + 1

c’est-à-dire

f(0, i − 1)X′_{i} = q^{1/2}f(1, i − 1)f(0, i) + 1.

On remarque que B^{n+1} = B et Λ^{n+1} = Λ, on peut donc recommencer la même suite de mutations μ_{n} ∘ μ_{n−1} ∘ ⋯ ∘ μ_{1} et par le même argument, les mutations correspondent encore à des relations de frise.

Théorème 1. Soit G = (B, Λ, X) une graine quantique où B est une matrice associée à un carquois de type 𝔸 linéairement orienté. Soit f_{q} l’unique frise de variables quantiques telle que f(0, j) = X_{j+1} pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1. Alors, f_{q} est une bijection entre les sommets de \overline{𝕋}_{n} et les variables amassées quantiques de A(G).

Démonstration. Soit T_{0} l’ensemble des sommets de \overline{𝕋}_{n}, χ_{q} l’ensemble des variables amassées quantiques de A(G) et χ_{1} l’ensemble des variables amassées usuelles de l’algèbre amassée classique de type 𝔸_{n} associée à la matrice B de G.

Définissons le morphisme de ℚ-algèbres σ : F (Λ) → ℚ(x_{1}, ⋯, x_{n}) par les relations suivantes :

σ(q) = 1
σ(X_{i}) = x_{i} pour tout 1 ≤ i ≤ n.

C’est la spécialisation en 1 de l’algèbre amassée quantique, aussi appelée limite classique. Comme l’opération de mutation commute avec σ, c’est à dire σ(μ_{k}(X)) = μ_{k}(σ(X)), σ induit un morphisme de l’algèbre amassée quantique vers l’algèbre amassée classique. On obtient le diagramme suivant :

\begin{aligned}& T_{0} \\ f_{q}(T_{0}) & & f_{1}(T_{0}) \\ χ_{q} & & χ_{1} \end{aligned}_{\begin{matrix}f_{q} \\ f_{1} \\ σ \\ i \\ σ \end{matrix}}

où i représente l’inclusion démontrée dans la proposition 3, f_{q} est la frise de variables quantiques telle que f(0, j) = X_{j+1} pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1 et f_{1} est la frise classique sur le carquois 𝔸_{n} définie entre autres dans [AD11]. L’égalité f_{1}(T_{0}) = χ_{1} est démontrée implicitement dans [CC06]. Le diagramme est commutatif car les analogues quantiques sont construits de manière à se spécialiser au cas classique quand q = 1. Comme f_{1} = σ ∘ f_{q} est surjective, on trouve que σ : f_{q}(T_{0}) → f_{1}(T_{0}) est surjective. De plus, D’après [BZ04], l’application σ : χ_{q} → χ_{1} est une bijection. On trouve donc

#(χ_{q}) = #(χ_{1}) = #(f_{1}(T_{0})) ≤ #(f_{q}(T_{0})) ≤ #(χ_{q}).

Ainsi,

#(χ_{q}) = #(f_{q}(T_{0})).

Ce qui implique que f_{q}(T_{0}) = χ_{q}, c’est à dire que f_{q} est une bijection entre T_{0} et χ_{q}.

2.2 Une formule close pour les variables amassées quantiques de type 𝔸

La formule de Caldero et Chapoton [CC06] est une formule très générale qui permet de réaliser les variables amassées d’une algèbre amassée classique en termes de certaines représentations de carquois. On présente ici une formule qui peut être déduite dans ce cas particulier de son analogue quantique donné dans [Qin10], mais dont la validité sera démontrée de façon élémentaire.

Théorème 2. Soit n ∈ 2ℤ_{>0} et \overline{𝕋}_{n} = (T_{0}, T_{1}) le triangle augmenté d’ordre n. La fonction

f : T_{0} → F (Λ)

définie par la formule

f(i, j) = X_{(i,j)} = ∑_{k=i}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+1})}

est une frise de variables quantiques sur \overline{𝕋}_{n}, avec la convention que e_{0} = 0 et e_{n+1} = 0.

Démonstration. Par le calcul suivant, on montre que

X_{(i,j)}X_{(i+1,j+1)} − q^{1/2}X_{(i+1,j)}X_{(i,j+1)} = 1.

X_{(i,j)}X_{(i+1,j+1)} = ∑_{k=i}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+1})} ∑_{k=i+1}^{j+2} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+2})}

= (X^{(−e_{i}+e_{j+1})} + ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+1})})

( ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+2})} + X^{(−e_{j+1}+e_{i})}) .

En développant, on trouve

X_{(i,j)}X_{(i+1,j+1)} = q^{(1/2)} ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+1})}X^{(−e_{i}+e_{j+2})}

+ q^{(1/2)} ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+1})} ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+2})}

+ q^{(1/2)} ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+1})}X^{(−e_{j+1}+e_{i−1})} + 1.

Puis, en factorisant,

X_{(i,j)}X_{(i+1,j+1)} = q^{(1/2)} ( ∑_{k=i+1}^{j+1} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i}+e_{j+1})})

(∑_{k=i}^{j+2} X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+2})}) + 1

= q^{(1/2)}X_{(i+1,j)}X_{(i,j+1)} + 1,

tel que désiré.

Remarque 2. On remarque que chaque variable amassée X_{(i,j)} s’écrit comme une combinaison linéaire positive d’éléments de la forme X^{u} avec u ∈ ℤ^{n}. C’est un cas particulier d’un phénomène plus général, démontré pour toute algèbre amassée quantique associée à un carquois sans cycles orientés dans [Qin10].

2.2.1 Variables amassées classiques et quantiques

Théorème 3. Soit ϵ le morphisme d’anneaux défini par la formule suivante :

ϵ : T (Λ) ⟶ ℤ[x_{1}^{±1}, ⋯, x_{n}^{±1}]
q ⟼ 1
X^{∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}} ⟼ ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a_{i}}.

Alors ϵ induit une bijection entre les variables amassées classiques et quantiques.

Démonstration. Montrons d’abord que l’application ϵ est bien un morphisme d’anneaux. Puisque T (Λ) est librement engendré par q et les X^{∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}} comme ℤ-module, il suffit de montrer que ϵ est multiplicative. Cela suit directement de la suite d’égalités

ϵ(X^{u}X^{v}) = ϵ(q^{Λ(u,v)}X^{u+v})

= ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{u_{i}+v_{i}}

= ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{u_{i}}x_{i}^{v_{i}}

= ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{u_{i}} ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{v_{i}}

= ϵ(X^{u})ϵ(X^{v}).

Le morphisme ϵ, lorsqu’appliqué à une variable amassée quantique, donne exactement la formule de Caldero-Chapoton pour la variable amassée classique correspondante. On obtient

ϵ(X_{(i,j)}) = ∑_{k=i}^{j+1} ϵ(X^{(−e_{k−1}−e_{k}+e_{i−1}+e_{j+1})}) = ∑_{k=i}^{j+1} x_{k−1}^{−1}x_{k}^{−1}x_{i−1}x_{j+1}.

2.3 Bornes inférieures

Soit G = (B, Λ, X) une graine quantique avec B ∈ M_{n}(ℤ). Définie dans [BZ04], la borne inférieure d’une algèbre amassée quantique A(G) est la sous-ℤ[q^{±1/2}]-algèbre L(G) de A(G) engendrée par les variables amassées quantiques X_{1}, ⋯, X_{n}, X′_{1}, ⋯, X′_{n} où l’on a posé X′_{i} tel que

μ_{i}(X) = (X_{1}, ⋯, X_{i−1}, X′_{i}, X_{i+1}, ⋯, X_{n}).

Dans le cas où B est associée à un carquois de type 𝔸_{n} linéairement orienté avec n ∈ 2ℤ_{>0},On montrera que A(G) = L(G), ce qui est un cas particulier du théorème 7.5 de [BZ04]. Plus précisément, on explicitera une famille de polynômes telle que chaque variable amassée de A(G) s’écrive comme un polynôme en X_{1}, ⋯, X_{n}, X′_{1}, ⋯, X′_{n}. Ce résultat se trouve être un q-analogue des polynômes de Tchebychev généralisés introduits dans [Dup10a], à ne pas confondre avec les polynômes de Tchebychev généralisés quantiques introduits dans [Dup10b].

Proposition 4. On a les relations suivantes entre les variables X′_{i} :

X′_{i}X′_{i+1} − 1 = q(X′_{i+1}X′_{i} − 1)

et

X′_{i}X′_{i+k} = q^{(−1)^{k−1}}X′_{i+k}X′_{i}

pour k > 1.

Démonstration.

X′_{i}X′_{i+1} − 1 = (X^{−e_{i}+e_{i−1}} + X^{−e_{i}+e_{i+1}})(X^{−e_{i+1}+e_{i}} + X^{−e_{i+1}+e_{i+2}}) − 1
= qX^{−e_{i+1}+e_{i}}X^{−e_{i}+e_{i−1}} + qX^{−e_{i+1}+e_{i+2}}X^{−e_{i}+e_{i−1}}
+ 1 + qX^{−e_{i+1}+e_{i+2}}X^{−e_{i}+e_{i+1}} − 1
= q ((X^{−e_{i+1}+e_{i}} + X^{−e_{i+1}+e_{i+2}})(X^{−e_{i}+e_{i−1}} + X^{−e_{i}+e_{i+1}}))
− qX^{−e_{i+1}+e_{i}}X^{−e_{i}+e_{i+1}}
= q(X′_{i+1}X′_{i} − 1).

X′_{i}X′_{i+k} = (X^{−e_{i}+e_{i−1}} + X^{−e_{i}+e_{i+1}})(X^{−e_{i+k}+e_{i+k−1}} + X^{−e_{i+k}+e_{i+k+1}})
= q^{−1^{k−1}}X^{−e_{i+k}+e_{i+k−1}}X^{−e_{i}+e_{i−1}} + qX^{−e_{i+k}+e_{i+k+1}}X^{−e_{i}+e_{i−1}}
+ qX^{−e_{i+k}+e_{i+k−1}}X^{−e_{i}+e_{i+1}} + qX^{−e_{i+k}+e_{i+k+1}}X^{−e_{i}+e_{i+1}}

= q ((X^{−e_{i+k}+e_{i+k−1}} + X^{−e_{i+k}+e_{i+k+1}})(X^{−e_{i}+e_{i−1}} + X^{−e_{i}+e_{i+1}}))

= q(X′_{i+k}X′_{i}).

On définit ensuite une suite de polynômes

{P_{m}(X′_{i}, ⋯, X′_{i+m−1})}_{m∈ℕ}.

Remarquons que P_{m} est un polynôme de m variables. Dans la suite, pour simplifier l’écriture on utilisera la notation suivante :

Notation 3. P_{m,i} := P_{m}(X′_{i}, ⋯, X′_{m+i−1}).

P_{m,i} est donc un polynôme de m variables où les indices des variables vont de i à m + i − 1. Définissons P_{m,i} par récurrence :

P_{0,i} = 1
P_{1,i} = X′_{i}
P_{m+1,i} = \begin{cases}P_{m,i}X′_{i+m} − q^{− \frac{1}{2}} P_{m−1,i} & si m est pair \\ q^{− \frac{1}{2}} (P_{m,i}X′_{i+m} − P_{m−1,i}) & si m est impair. \end{cases}  (2)

On remarque au passage que cette formule est un analogue quantique de la définition des polynôme de Tchebychev généralisés classiques. En effet, en spécialisant q = 1 on retrouve la définition classique. Il existe une formule déterminantale pour calculer les polynôme de Tchebychev classiques, mais le problème de trouver un analogue de cette formule pour le cas quantique reste ouvert.

Lemme 3. Les égalités suivantes sont vraies pour tout k > 1 et 1 ≤ i ≤ n − (m − 1 + k).

P_{m,i}X′_{i+m−1+k} = q^{(−1)^{k−1}}X′_{i+m−1+k}P_{m,i} si m est impair,
P_{m,i}X′_{i+m−1+k} = X′_{i+m−1+k}P_{m,i} si m est pair.

Démonstration. Comme la définition de P_{m} ne change pas selon i, il suffit de montrer l’énoncé pour P_{m,1} = P_{m}(X′_{1}, ⋯, X′_{m}) qu’on notera simplement P_{m}. On a

P_{1}X′_{k+1} = X′_{1}X′_{k+1} = q^{(−1)^{k−1}}X′_{k+1}X′_{1} = q^{(−1)^{k−1}}X′_{k+1}P_{1}

et

P_{2}X′_{k+1} = q^{− \frac{1}{2}} (X′_{1}X′_{2} − 1)X′_{k+1}
= q^{− \frac{1}{2}} (q^{(−1)^{k−1}+(−1)^{k−2}}X′_{k+1}X′_{1}X′_{2} − X′_{k+1})
= X′_{k+1}P_{2}.

Supposons que l’énoncé est vrai pour P_{m} et P_{m+1}. Alors, si m + 2 est impair, on a

P_{m+2}X′_{m+2+k} = (P_{m+1}X′_{m+2} − q^{− \frac{1}{2}} P_{m})X′_{m+2+k}
= P_{m+1}X′_{m+2}X′_{m+2+k} − q^{− \frac{1}{2}} P_{m}X′_{m+2+k}

= q^{(−1)^{k−1}}P_{m+1}X′_{m+2+k}X′_{m+2} − q^{− \frac{1}{2}} q^{(−1)^{k+1}}X′_{m+2+k}P_{m}

= q^{(−1)^{k−1}}X′_{m+2+k}P_{m+1}X′_{m+2} − q^{− \frac{1}{2}} q^{(−1)^{k−1}}X′_{m+2+k}P_{m}

= q^{(−1)^{k−1}}X′_{m+2+k}P_{m+2}.

De la même manière, si m + 2 est pair, alors

P_{m+2}X′_{m+2+k} = X′_{m+2+k}P_{m+2},

ce qui termine l’argument par récurrence.

Lemme 4. Pour tout m ≥ 1 et 1 ≤ i ≤ n − m, on a l’identité suivante :

P_{m+1,i} = \begin{cases}X′_{m+1}P_{m,i} − q^{\frac{1}{2}} P_{m−1,i} & si m est pair \\ q^{\frac{1}{2}} (X′_{m+1}P_{m,i} − P_{m−1,i}) & si m est impair. \end{cases}

Démonstration. Encore une fois, il suffit de montrer l’énoncé pour i = 1 et on note P_{m}(X′_{1}, ⋯, X′_{m}) = P_{m}. Si m est pair,

P_{m}X′_{m+1} − q^{− \frac{1}{2}} P_{m−1} = q^{− \frac{1}{2}} (P_{m−1}X′_{m} − P_{m−2})X′_{m+1} − q^{− \frac{1}{2}} P_{m−1}

= q^{− \frac{1}{2}} (P_{m−1}X′_{m}X′_{m+1} − P_{m−2}X′_{m+1} − P_{m−1})

= q^{− \frac{1}{2}} (P_{m−1}(X′_{m}X′_{m+1} − 1) − X′_{m+1}P_{m−2})

= q^{− \frac{1}{2}} (qP_{m−1}(X′_{m+1}X′_{m} − 1) − X′_{m+1}P_{m−2})

= q^{− \frac{1}{2}} (qP_{m−1}X′_{m+1}X′_{m} − qP_{m−1} − X′_{m+1}P_{m−2}).

En utilisant le lemme 3,

= q^{− \frac{1}{2}} (X′_{m+1}P_{m−1}X′_{m} − qP_{m−1} − X′_{m+1}P_{m−2})

= X′_{m+1}q^{− \frac{1}{2}} (P_{m−1}X′_{m} − P_{m−2}) − q^{\frac{1}{2}} P_{m−1}

= X′_{m+1}P_{m} − q^{\frac{1}{2}} P_{m−1}.

De la même manière, si m est impair,

q^{− \frac{1}{2}} (P_{m}X′_{m+1} − P_{m−1}) = q^{\frac{1}{2}} (X′_{m+1}P_{m} − P_{m−1}).

Théorème 4. Les P_{m} satisfont la relation de frise :

P_{m,i}P_{m,i+1} = q^{\frac{1}{2}} P_{m+1,i}P_{m−1,i+1} + 1

pour tout 1 ≤ i ≤ n − m.

Démonstration. Sans perte de généralité, supposons que i = 1. Supposons de plus que la relation fonctionne pour P_{m}, alors, si m est impair,

P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})P_{m+1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+2})

= P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})q^{\frac{1}{2}} (X′_{m+2}P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1}) − P_{m−1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m}))

= q^{\frac{1}{2}} P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})X′_{m+2}P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1})

− q^{\frac{1}{2}} P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})P_{m−1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m})

= q^{\frac{1}{2}} (P_{m+2}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+2}) + q^{− \frac{1}{2}} P_{m}(X′_{1}, ⋯, X′_{m}))P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1})

− q^{\frac{1}{2}} P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})P_{m−1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m})

= q^{\frac{1}{2}} P_{m+2}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+2})P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1})

+ P_{m}(X′_{1}, ⋯, X′_{m})P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1})

− q^{\frac{1}{2}} P_{m+1}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+1})P_{m−1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m})

= q^{\frac{1}{2}} P_{m+2}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+2})P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1}) + 1.

Si m est pair, de la même manière,

P_{m+1}(X′_{1}, ⋯,X′_{m+1})P_{m+1}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+2})
= q^{\frac{1}{2}} P_{m+2}(X′_{1}, ⋯, X′_{m+2})P_{m}(X′_{2}, ⋯, X′_{m+1}) + 1.

Théorème 5. Soit f_{q} la frise de variables quantiques telle que f(0, j) = X_{j+1} pour 0 ≤ j ≤ n − 1. Alors, pour tout sommet (i, j) de \overline{𝕋}_{n} tel que i ≥ 1, c’est-à-dire pour tout sommet (i, j) de 𝕋_{n}, on a :

f_{q}(i, j) = P_{j−i+1}(X′_{i}, ⋯, X′_{j}).

Démonstration. En utilisant la formule du théorème 2, on trouve

f_{q}(i, i) = X^{−e_{i}+e_{i+1}} + X^{−e_{i}+e_{i−1}} = X′_{i} = P_{1}(X′_{i})

pour 1 ≤ i ≤ n. Comme une frise de variables quantiques est uniquement déterminée par la ligne du bas (lemme 2) et que le théorème 4 montre que les polynômes P_{m} satisfont la relation de frise, on a le résultat.

Corollaire 1. Soit G une graine quantique dont la matrice B est associée à un carquois de type 𝔸_{n} linéairement orienté. L’ensemble des variables amassées quantiques χ_{q} de A(G) est donné par :

χ_{q} = {X_{1}, ⋯, X_{n}} ∪ {P_{j−i+1}(X′_{i}, ⋯, X′_{j}) | 1 ≤ i ≤ j ≤ n}

Démonstration. Ce résultat est une conséquence directe du théorème 1 et du théorème 5.

Références

[AD11] Ibrahim Assem et Grégoire Dupont : Friezes and a construction of the euclidean cluster variables. Journal of Pure and Applied Algebra, 215:2322–2340, 2011.

[ARS10] Ibrahim Assem, Christophe Reutenauer et David Smith : Friezes. Advances in Mathematics, 225:3134–3165, 2010.

[BZ04] A. Berenstein et A. Zelevinsky : Quantum cluster algebras. ArXiv Mathematics e-prints, avril 2004.

[CC06] Philippe Caldero et Frédéric Chapoton : Cluster algebras as hall algebras of quiver representations. Commentarii Mathematici Helvetici, (81):596–616, 2006.

[Dup10a] Grégoire Dupont : Cluster multiplication in regular components via generalized chebyshev polynomials. Algebras and Representation Theory, 2010. (à paraître).

[Dup10b] Grégoire Dupont : Quantized chebyshev polynomials and cluster characters with coefficients. Journal of Algebraic Combinatorics, 4(31):501–532, 2010.

[FZ02] Sergei Fomin et Andrei Zelevinsky : Cluster algebras i : Foundations. Journal of the American Mathematical Society, 15:497–529, 2002.

[Qin10] Fan Qin : Quantum cluster variables via serre polynomials, juillet 2010.